Reihenentwicklung

  • 5 Antworten
    • KittenKaboodle
      KittenKaboodle
      Bronze
      Dabei seit: 29.01.2006 Beiträge: 3.527
      Du entwickelst nicht den Nenner in eine Reihe sondern die gesamte Funktion. Schau Dir noch mal an, wie eine Reihenentwicklung funktioniert.

      http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe
    • Dougles
      Dougles
      Bronze
      Dabei seit: 18.03.2008 Beiträge: 874
      Ich hätte natürlich dazuschreiben müssen, dass ich gerade nicht die Taylorformel benutzen möchte, damit wärs natürlich überhaupt kein Problem!

      In der Lösung stand 1/(1 +1 + x²/2 + ... ) und dannach richtige Lösung., also 1/2 - 1/8 x² + ...
      Die Aufgaben waren extra so gestellt das sie ohne lange Rechnungen mit Taylorformel gelöst werden können!
    • SlowLarry
      SlowLarry
      Bronze
      Dabei seit: 07.04.2006 Beiträge: 940
      1/(1 +1 + x²/2 + ... ) = 1/2 * 1/(1-(-x²/4-...))

      dann Summenformel geometrische Reihe und zusammenfassen?
    • Dougles
      Dougles
      Bronze
      Dabei seit: 18.03.2008 Beiträge: 874
      Ja, danke! Die Sache mit der geom. Reihe hatte ich auch schon, nur hab ich das direkt am Amfang versucht, also 1/1-(-1-x²/2 ...) was ja nicht funktionierte.

      Warum lässt man bei Reihenentwicklungen wie zB hier http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28exp%282x%29+-1%29+series

      das ln(2x) stehen? Ist das Konvention, da man solche Funktionen sonst nicht um x = 0 entwickeln könnte (ln ist ja dort nicht definiert)? Im Prinzip ist es ja so keine Nährung durch ein Polynom mehr.

      Noch eine Sache zur Reihenmultiplikation:
      Ist es eigentlich möglich 2 Reihen , zB:

      ( x + O(x^3)) * ((x-1) + 0.5*(x-1)^2 + O((x-1)^3))

      zu multiplizieren? Ich würde dann aus den Termen der Ordnung (x-1)^3 immer wieder Terme der Ordnung 0,1... bekommen, oder?
    • SlowLarry
      SlowLarry
      Bronze
      Dabei seit: 07.04.2006 Beiträge: 940
      Original von Dougles
      Warum lässt man bei Reihenentwicklungen wie zB hier http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28exp%282x%29+-1%29+series

      das ln(2x) stehen? Ist das Konvention, da man solche Funktionen sonst nicht um x = 0 entwickeln könnte (ln ist ja dort nicht definiert)? Im Prinzip ist es ja so keine Nährung durch ein Polynom mehr.
      Genau. Man kann ja logischerweise nicht durch ein Polynom nähern, weil das nirgendwo divergiert. In dieser Schreibweise kann man dann rauslesen wo und wie die Fkt. divergiert und hat trotzdem ne Reihenentwicklung, die die Differenz zum bekannten log angibt.

      u.U. kann man in solchen Fällen Laurententwicklungen machen, die dann negative Exponenten von x enthalten.


      Noch eine Sache zur Reihenmultiplikation:
      Ist es eigentlich möglich 2 Reihen , zB:

      ( x + O(x^3)) * ((x-1) + 0.5*(x-1)^2 + O((x-1)^3))

      zu multiplizieren? Ich würde dann aus den Termen der Ordnung (x-1)^3 immer wieder Terme der Ordnung 0,1... bekommen, oder?
      Verstehe ich nicht ganz. Aber es sollte doch O(x^n) = O((x-1)^n) und O(x^n)*O(x^ m) = O(x^(m+n)) sein.