Matheaufgabe

    • domman40
      domman40
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      Dabei seit: 09.03.2006 Beiträge: 689
      Da hier ja so einige sind, die meinen, sie seien so gut in Mathe, hier eine Aufgabe:

      Quer durch einen würfelförmigen Raum der Kantenlänge 4 Meter ragt eine Eisenstange von einer Ecke zur gegenüberliegenden. Wie groß ist die größte Kugel, die trotzdem in den Raum passt, ohne von der Eisenstange durchbohrt zu werden?
      Aber nicht nur die Lösung sagen, sondern auch den Lösungsweg beschreiben!

      :f_biggrin:
  • 21 Antworten
    • Bolders
      Bolders
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      Dabei seit: 23.01.2006 Beiträge: 96
      Wie dick ist die Stange?
    • domman40
      domman40
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      Dabei seit: 09.03.2006 Beiträge: 689
      Original von Bolders


      Folglich Durchmesser = 2m
      Mathematischen Lösungsweg bitte. Im übrigen ist die Antwort falsch.
    • Bolders
      Bolders
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      Dabei seit: 23.01.2006 Beiträge: 96
      Ja ist mir auch aufgefallen =)
    • NoLimitNOOB
      NoLimitNOOB
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      Dabei seit: 10.07.2007 Beiträge: 2.138
      Würfel ist 3D ... die Approximation über das Quadrat ist schon falsch.

      Aber srsly, not your army und so.
    • rhanarion
      rhanarion
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      Dabei seit: 13.01.2011 Beiträge: 901
      Eisenstange ist

      x^2 = 4^2 + 4^2 (Satz des Pythagoras für den "Boden")

      x^2 = 32

      x = sqrt(32)

      y^2 = 4^2 + sqrt(32)^2 (Satz des Pythagoras für die Stange)
      y^2 = 16 + 32
      y = sqrt(48)

      Meter lang, die größte Kugel wird durch das Dreieck aus 2 Kanten und der Eisenstange begrenzt.

      Der Radius eines Inkreises in Dreiecken ist definiert als:

      r = (2*Flächeninhalt) / (Länge Seite a + Länge Seite b + Länge Seite c)

      r = (2*A)/(4+sqrt(48)+ sqrt(32))

      Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist definiert als:

      A = (a * b) / 2 = 4 * sqrt(32) * 1/2 = 8 * sqrt(2)

      Damit ist der Radius des Inkreises:

      r = (2*(8 * sqrt(2)))/(4+sqrt(48)+ sqrt(32)) = 1.36432551

      Da die Situation in alle Richtungen gleich ist, kann eine Kugel maximal einen Durchmesser von ca 2.728651019m haben :) .

      Macht das Sinn? :D
    • sarc
      sarc
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 06.06.2008 Beiträge: 12.611
      So ähnlich war mein erster Ansatz, is aber auch falsch, da du keine zwei Kanten hast. Und Inkreis kriegst du erst recht keinen, die Kugel stößt an den Oberflächen an, nicht an den Kanten.

      OP, kennst du den Lösungsweg? Hab nämlich keinen Bock, dir hier deine Aufgaben zu rechnen... Ich komm aktuell auf 2sqrt(3)/(1+sqrt(3)), also ungefähr 1,27. Kommt das hin?
    • StephanN
      StephanN
      Bronze
      Dabei seit: 18.08.2007 Beiträge: 6.528
      Ich würde gerne den Rechwenweg verstehen. Wir können ja den Würfel in 2 Teiel schneiden und dann haben wir unseren körper wo wir jetzt gucken, wie die größtmögliche Kugel aussieht.

      Da der Kreis ja leider nicht die Ecken berührt ist es ja nicht so einfach. WIe löst sich das denn im 2D, also 2 Kanten à 4 Meter und dann die Eisenstange mit Länge Wurzel 32. Das lässt sich doch bestimmt analog übertragen. =)

      Mal schauen ob ich einen Ansatz habe:

      In diesem Fall haben wir ja ein Kreis und der berührt nicht die Ecke. Dann müsste man den Punkt auf der Diagonalen finden, wo der Abstand zu beiden Kanten maximal ist?

      Als Funktion ist die Diagonale f(x)=x.

      Man ne keine Ahnung. ;(
    • domman40
      domman40
      Bronze
      Dabei seit: 09.03.2006 Beiträge: 689
      Original von sarc
      So ähnlich war mein erster Ansatz, is aber auch falsch, da du keine zwei Kanten hast. Und Inkreis kriegst du erst recht keinen, die Kugel stößt an den Oberflächen an, nicht an den Kanten.

      OP, kennst du den Lösungsweg? Hab nämlich keinen Bock, dir hier deine Aufgaben zu rechnen... Ich komm aktuell auf 2sqrt(3)/(1+sqrt(3)), also ungefähr 1,27. Kommt das hin?

      Du musst mir nix rechnen, du hast aber die Möglichkeit zu beweisen, ob du/ihr in der Lage seid, eine komplizierte Matheaufgabe zu lösen. Immerhin geben doch einige hier ordentlich an, wie gut sie in Mathe seien...nun ich warte, sagen wir eine Woche. Mal sehen, ob es jemand herauskriegt und Pisa-Studien etc. trotzt! :f_p:
    • Rubnik
      Rubnik
      Bronze
      Dabei seit: 12.02.2006 Beiträge: 10.742
      dann beantworte docvj erstmal die Frage aus dem 2. (?) post: WIE DICK DIE STANGE IST WILL ER WISSEN
    • MrMarv89
      MrMarv89
      Bronze
      Dabei seit: 03.01.2009 Beiträge: 2.657
      Original von Rubnik
      dann beantworte docvj erstmal die Frage aus dem 2. (?) post: WIE DICK DIE STANGE IST WILL ER WISSEN
      die "stange" wird keine dicke haben, genauso wie ein punkt keinen durchmesser hat
    • domman40
      domman40
      Bronze
      Dabei seit: 09.03.2006 Beiträge: 689
      Wenn du auch noch mit der Dicke der Stange rechnen willst, kriegst es nie raus. :f_biggrin:
      Da sie in die Ecken passen muss, gehen wir der Einfachheit also einfach von Linien aus und jetzt frag nicht, wie dick die Linie ist ... :f_confused:
    • philwen
      philwen
      Bronze
      Dabei seit: 13.05.2007 Beiträge: 5.601
      Lösung mit analytischer Geometrie:

      Kugel ist durch 4 Ebenen begrenzt:
      Die 3 Ebenen die durch jeweils 2 Achsen aufgespannt werden, und:

      E = (0,4,0) + i * (-1,0,1) + j * (1,-1,1) (Die Ebene die durch die Stange gegeben ist)

      umgeformt:
      E: x + 2y + z - 8 = 0


      Der Mittelpunkt unseres gesuchten Kreises ist: X = (x1,x2,x3)
      - Der Mittelpunkt hat zu allen Ebenen die gleichen Abstand
      - Also kann man schonmal umformen zu X = (x1, x1, x1) , da x1 = x2 = x3

      Der Abstand vom Mittelpunkt zur 4. Ebene ist:

      d (E,X) = | x1*1 + x1*2 + x1*1 - 8| / sqrt(1+4+1)

      da der Mittelpunkt auch den gleichen Abstand zur 4. Ebene hat wie zu allen anderen: d(E,X) = x1

      x1 = |4*x1 -8| /sqrt(6)

      x1 = 8 / ( sqrt(6) +4)

      x1 = 1,2404
    • DestructOne
      DestructOne
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      Dabei seit: 25.05.2006 Beiträge: 2.049
      annahme: kugel geht durch die punkte (0,4,0) und (4,0,4).

      die kugel ist durch 4 punkte begrenzt:
      den punkt (2,2,2) (wegen symmetrie) und die drei punkte (?,?,0), (?,0,?), (0,?,?). zu allen vier punkten hat der mittelpunkt denselben abstand.

      von den drei normalen punkten einen abstand von x, von dem punkt (2,2,2) einen abstand von sqrt(2((sqrt(2*((2-x)^2)))^2))=4-2x, somit ist x=4/3 (=radius)
    • philwen
      philwen
      Bronze
      Dabei seit: 13.05.2007 Beiträge: 5.601
      die annahme dass die kugel durch (2,2,2) begrenzt wird ist mMn nicht richtig...

      edit:

      auf jeden stimmt da trotzdem irgendwas nicht:
      der mittelpunkt ist 4/3 von (2,2,2) entfernt, also bei (2/3,2/3,2/3) ,somit ist der mittelpunkt aber nur 2/3 von den anderen ebenen entfernt...


      edit2:

      ach alles bullshit - ich mus snochmal überlegen ^^
    • DestructOne
      DestructOne
      Bronze
      Dabei seit: 25.05.2006 Beiträge: 2.049
      äh ja, auch vertan^^

      es ist nicht 4-2x, sondern sqrt(3)*(2-x). wenn man die gleichung dann auflöst, ergibt sich x=1.268
    • philwen
      philwen
      Bronze
      Dabei seit: 13.05.2007 Beiträge: 5.601
      Original von DestructOne
      äh ja, auch vertan^^

      es ist nicht 4-2x, sondern sqrt(3)*(2-x). wenn man die gleichung dann auflöst, ergibt sich x=1.268
      jo stimmt =)
    • sarc
      sarc
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 06.06.2008 Beiträge: 12.611
      Was ziemlich genau das ist, was ich oben hingeschrieben hab... ;)

      Ach ja, lieber OP: Sorry, aber das Schwerste an der Aufgabe ist doch eher, sich das erst mal korrekt vorzustellen. Ab dann ist der größte Teil noch Symmetrieüberlegungen, die Rechnungen, die dann noch nötig sind, kriegt man auch in der Mittelstufe hin... ;)

      Und... Sorry... Die ganze Aufmachung klingt halt extrem nach Übungsaufgabe. Oder wo is die her? ;)
    • KittenKaboodle
      KittenKaboodle
      Bronze
      Dabei seit: 29.01.2006 Beiträge: 3.530
      Bei einer Kantenlänge von a bekomme ich mit der üblichen linearen Algebra nach wenigen Zeilen den Wert

      r(a) = (a/2) * (3^0.5)/(1+3^0.5)

      raus. Für a=4 ergibt sich also

      r = (2*3^0.5)/(1+3^0.5) = 1.268...

      Das ist gleiche Ergebnis wie bei DestructOne.

      Allerdings fehlt ein formaler Beweis, dass es sich um das globale Maximum handelt.
    • make0
      make0
      Bronze
      Dabei seit: 24.06.2007 Beiträge: 307
      Original von philwen
      Lösung mit analytischer Geometrie:

      ...

      x1 = 8 / ( sqrt(6) +4)

      x1 = 1,2404
      Rechenweg: M=(r,r,r), Abstand(M; Diagonale)=r
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