x^n;Y^(n-1)

    • Muadib74
      Muadib74
      Bronze
      Dabei seit: 01.03.2008 Beiträge: 645
      Hi,

      mir geht grad ne Frage durch den Kopf, und dachte ich kann sie mal den Mathecracks hier stellen.

      Wir hatten gerade die Diskussion das ein Passwort aus Groß-, Kleinbuchstaben und Zahlen (62 Möglichkeiten), bei länge n besser ist als ein Passwort das zusätzlich Sonderzeichen (92 Möglichkeiten) hat aber nur n-1 lang ist. Sprich ein komplexes Passwort soll angeblich mit einer Stelle weniger nicht so sicher sein wie ein weniger komplexes Passwort dass eine Stelle mehr hat.

      Mein Kollege hat mir dann auch fleissig eine Excel unter die Nase gehalten wo er von 6 bis 10 Stellige Passwörter alles durchgerechnet hat, und tatsächlich stimmt die obige AUssage dafür. Aber mir kam das spanisch vor und ich meinte er soll mal den raum auf 24 Stellen erweitern. und siehe da. ab der 14 Stelle in diesem Szenario schneiden sich die Graphen und das weniger lange aber komplexere Passwort hat mehr Kombinationsmöglichkeiten als das andere.

      Im Kopf ist mir völlig klar, dass es bei dieser Rechnung immer einen Schnittpunkt der Graphen geben muss, wo das Verhältnis kippt. Aber ich kriegs nicht zu fassen.

      Als Formel sieht das so aus:
      X^n=Y^(n-1) (wobei X<Y)

      Wenn ich die Formel in Wolfram Alpha eingebe bekomme ich leider keinen Graphen, setze ich für X und Y konkrete Zahlen ein bekomme ich immer einen Graphen zu sehen der meine Annahme bestätigt, also ein Schnittpunkt der Graphen besteht.

      Wie komme ich bei dem Ding zu einer allgemeingültigen Aussage? Oder gibts in einem noch größeren Zahlenraum evtl. wieder einen Schnittpunkt?
      Ich such quasi den mathematischen Beweis... :-P

      Hoffe ich konnts gut formulieren....
  • 2 Antworten
    • lemslin
      lemslin
      Bronze
      Dabei seit: 21.09.2009 Beiträge: 1.553
      Solche Formeln sind einfach zu lösen, indem man beide Seiten der Gleichung mit Exp(LN) erweitert, dann die Potenz aus dem Logarithmus rauszieht und dann die Eindeutigkeit der Exp.funktion ausnutzt.

      In deinem Fall also:

      x^n=Y^(n-1)
      <=>
      Exp(Ln(x^n))=Exp(Ln(y^(n-1)))
      <=>
      Exp(n*(Ln(x)))=Exp((n-1)*Ln(y))
      =>
      n*(Ln(x))=(n-1)*Ln(y)
      <=>
      n=Ln(y)/(Ln(y)-Ln(x))

      Eigentlich könnte man auch sofort den Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung anwenden. Muss halt nur alles größer Null sein.
    • Merlinius
      Merlinius
      Platin
      Dabei seit: 30.06.2006 Beiträge: 3.519
      Jo, da log bijektiv ist auf R+ (und Wertebereich R), ist Logarithmieren eine Äquivalenzumformung. Ob man jetzt exp davorschreibt oder nicht, ändert hier aber auch nichts daran, dass es > 0 sein muss.

      @OP: Dir ist aber schon klar, dass der Graph der Funktion f(x, y, n) = x^n - y^(n-1) vierdimensional ist? Ich weiß gar nicht, ob Wolframalpha in der Lage ist, dies darzustellen. Das lässt sich natürlich zeichnen (z.B. dreidimensional + Färbung), aber ob Du da so viel rauslesen kannst, lässt sich bezweifeln.

      Allerdings kannst Du mit der Formel von lemlin eine Funktion mit dreidimensionalem Graphen erstellen.

      g(x, y) = log(y)/(log(y)-log(x))

      [ definiert auf (0, oo)²\{(t, t) | t aus (0, oo)} ]

      Dann sind die Funktionswerte jeweils die (reellen) n bei denen sich x^n und y^(n-1) schneiden. Es ist mir aber leider aus unerklärlichen Gründen nicht gelungen, dies mit Wolframalpha zu zeichnen, obwohl das Programm keine Probleme macht, wenn ich etwa die Klammer weglasse...