Asymptotenbestimmung von ln(x)^2/x x->unendlich

    • storge
      storge
      Bronze
      Dabei seit: 09.08.2005 Beiträge: 22.519
      Ja, wie oben genannt, wie kann ich die Asymptote für x->unendlich berechnen, bei einer Funktion wie f(x)=ln(x)^2/x .

      Polynomdivision geht nicht und ohne l'Hospital bitte.

      Vielen Dank im Voraus! ;)
  • 23 Antworten
    • Alexmf
      Alexmf
      Bronze
      Dabei seit: 22.01.2007 Beiträge: 2.854
      Müsste 0 sein.

      Grund: ln(x) steigt langsamer an als jede Potenz von x

      Müsste auch mit dem Satz von de l'hospital gehen aber mein Spezialgebiet ist das Thema nicht ;)

      Mit l'hospital:

      lim f(x) für x -> unendlich = "unendlich : unendlich" = lim f'(x) für x -> unendlich

      möglicherweise hab ich allerdings auch Quatsch erzählt :evil: bin mir da nicht sicher und auch ned in der Laune nachzudenken, da Ferien ^^
    • TheMarl
      TheMarl
      Bronze
      Dabei seit: 06.02.2006 Beiträge: 902
      Wasn das fürn Scheiß?

      Muss man das mit nem Hauptschulabschluss können?
    • storge
      storge
      Bronze
      Dabei seit: 09.08.2005 Beiträge: 22.519
      Kopf zu, TheMarl.


      @Alexmf: Woher weiß ich, dass ln(x)^2 < x? Zu l'Hospital hab ich nochmal editiert.
    • TobiasNRW
      TobiasNRW
      Silber
      Dabei seit: 21.09.2006 Beiträge: 22.169
      Meinst du ln(x)^2 geteilt durch x?
      oder ln(x) hoch 2/x?

      Fall 1:

      korrekt nach Alexmf
      Oben und unten 2 mal ableiten: 2/x : 1= 1/x
      Das nach unendlich geht gegen 0.

      Fall 2:

      Müsste 1 sein.

      2/x geht schnell gegen 0,

      Ln(x)^0 = 1
    • 2fold
      2fold
      Bronze
      Dabei seit: 03.10.2006 Beiträge: 1.097
      "Regel von l'hospital" oder so ähnlich.

      Zähler und Nenner einzeln ableiten und schauen ob dann was endliches rauskommt. falls ja bist du fertig. falls nicht, nochmal das gleiche.

      hier: f(x)--> 0 für x-->unendlich

      denn:
      ( ln(x)^2 )' = 2ln(x)/x und x' =1 ergibt immer noch einen unbestimmten Ausdruck für x--> unendlich

      also nochmal :
      (2lnx)' = 2/x und x' = 1 ergibt also ein asmptotisches Verhalten wie 2/x für x--> unendlich. Und das ist =0.

      Hoffe, das war einigermaßen verständlich.

      EDIT:
      oh zu langsam.....
    • Bunti
      Bunti
      Bronze
      Dabei seit: 25.09.2006 Beiträge: 323
      also ohne L'Hopital würd ichs wiefolgt begründen:
      zunächst einmal würde ich aus der Funktion die Wurzel ziehen, dies ändert den Grenzwert nicht.
      dann hast du ln(x) / Wurzel(x)
      der ln ist die Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion, die Wurzel die der quadratischen Funktion. Da die Exponentialfunktion deutlich stärker steigt als die quadratische (im Bereich x -> unendlich) steigt der ln deutlich weniger als die Wurzel.
      Somit ist ln(x) << Wurzel(x) für x->unendlich
      und deswegen ist der Grenzwert der eigentlichen Funktion 0.
      Ich hoffe das ist verständlich und richtig ;)
    • storge
      storge
      Bronze
      Dabei seit: 09.08.2005 Beiträge: 22.519
      Deine Idee ist sehr gut. Aber kann ich einfach hinnehmen, dass ln-Funktionen langsamer/e-Funktion schneller wachsen, als Potenzfunktionen?
    • Bunti
      Bunti
      Bronze
      Dabei seit: 25.09.2006 Beiträge: 323
      Original von storge
      Deine Idee ist sehr gut. Aber kann ich einfach hinnehmen, dass ln-Funktionen langsamer/e-Funktion schneller wachsen, als Potenzfunktionen?
      Also ich weiß jetzt nicht genau, wofür du das brauchst, aber jede ^x-Funktion mit einer Basis größer 1 steigt für x->unendlich schneller als jede beliebige x^-Funktion. Ich glaub das kann man nur mit dem Satz von L'hopital beweisen.
    • emsthal
      emsthal
      Bronze
      Dabei seit: 17.07.2006 Beiträge: 57
      Original von storge
      Deine Idee ist sehr gut. Aber kann ich einfach hinnehmen, dass ln-Funktionen langsamer/e-Funktion schneller wachsen, als Potenzfunktionen?
      Normalerweise reicht das als Argument...
    • Remoh
      Remoh
      Bronze
      Dabei seit: 11.03.2006 Beiträge: 1.215
      Das ist mal geil.
      Falls ich nächste Woche im Abi sitz und sowas kommt wo ich normal kein plan von wegen Grenzwert hab, dann hau ich denen einfach mal den Satz von l'hospital um die ohren, auch wenn ich kein plan hab was der genau macht ^^
    • Cyclonus
      Cyclonus
      Bronze
      Dabei seit: 17.01.2005 Beiträge: 1.414
      Die Funktion ist für alle positiven Werte grösser als Null. Extremstellen bestimmen, Wendepunkte bestimmen -> Monotonieverhalten -> All In
    • Bunti
      Bunti
      Bronze
      Dabei seit: 25.09.2006 Beiträge: 323
      Original von Remoh
      Falls ich nächste Woche im Abi sitz und sowas kommt wo ich normal kein plan von wegen Grenzwert hab, dann hau ich denen einfach mal den Satz von l'hospital um die ohren, auch wenn ich kein plan hab was der genau macht ^^
      Der ist eigentlich ganz einfach, wenn du so Fälle hast wie unendlich/unendlich oder 0/0 (jeweils für x->unendlich) leitest du den Zähler und den Nenner einzeln ab, also OHNE Quotientenregel, und schaust dann wie der Grenzwert der neuen Funktion ist. Sollte das wieder so ein Fall sein, leitest du wieder beides einzeln ab usw. bist du eine eindeutige Lösung hast, also unendlich/0 oder sowas...
    • cjheigl
      cjheigl
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 09.04.2006 Beiträge: 24.652
      So geht's auch: Wenn f(x)/g(x) konvergiert/divergiert, dann auch e^2f(x)/e^g(x), da e^x eine streng monoton steigende Funktion ist.

      e^(ln(x)^2)/ e^x = x^2/e^x -> 0 für x-> unendlich.

      Edit: gilt wohl nur für f(x)/g(x) > 0 für x-> unendlich, das ist hier der Fall.
    • storge
      storge
      Bronze
      Dabei seit: 09.08.2005 Beiträge: 22.519
      Jo, mit e^ hatte ich auch schon angedacht. Ansonsten: es soll/muss ohne l'Hospital funktioneren, darum geht's mir hier. ;)

      @ Cyclonus: Wie bestimme ich denn dann das Monotonieverhalten?
    • 2fold
      2fold
      Bronze
      Dabei seit: 03.10.2006 Beiträge: 1.097
      Mit Potenzreihenentwicklung müsste es auch gehen.

      also :

      f(x)=ln(x)^2/x=[ln(x)/x^(1/2)]^2

      man nehme nun irgendeine Potenzreihenentwicklung von ln(x).
      Die sieht so aus , dass sie unendlich viele Summanden hat, die alle für sich im Zähler x in der selben Potenz stehen haben wie im Nenner.

      Wenn man nun jeden Summanden durch x^(1/2) teilt, erhöht sich die Potenz des Nenners. Dann geht jeder einzelne Summand gegen 0 für x->unendlich.
      (Und damit auch die gesamte Summe.)

      -------------------
      Bsp. einer Darstellung für ln(x) :

      ln(x)=2*[ (x-1)/(x+1) + (x-1)^3/3(x+1)^3 +....

      + (x-1)^(2n+1)/(2n+1)(x+1)^(2n+1) +...]

      ist, glaub ich, nicht für alle Bereiche definiert/zugelassen, aber für x-->unendlich dürfte es gehen.
    • efkay
      efkay
      Gold
      Dabei seit: 25.03.2005 Beiträge: 3.697
      werdet ihr damit den weltfrieden bringen?
    • Alexmf
      Alexmf
      Bronze
      Dabei seit: 22.01.2007 Beiträge: 2.854
      Original von storge

      @ Cyclonus: Wie bestimme ich denn dann das Monotonieverhalten?
      f'(x) bilden und wenn f'(x) ungleich null ist ist die Fkt. entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend, dann halt noch einen Wert einsetzen und bei <0 -> streng monoton fallend
    • Salokin
      Salokin
      Black
      Dabei seit: 16.08.2006 Beiträge: 1.002
      Original von 2fold
      Dann geht jeder einzelne Summand gegen 0 für x->unendlich.
      (Und damit auch die gesamte Summe.)
      Da die Summe unedndlich viele Summanden hat, ist es nicht hinreichend, dass jeder einzelne Summand gegen Null geht, um sicher sagen zu können, dass der Wert der Summe auch gegen Null geht...
    • ghoustfaize
      ghoustfaize
      Bronze
      Dabei seit: 12.09.2006 Beiträge: 222
      Original von storge
      Ja, wie oben genannt, wie kann ich die Asymptote für x->unendlich berechnen, bei einer Funktion wie f(x)=ln(x)^2/x .

      Polynomdivision geht nicht und ohne l'Hospital bitte.

      Vielen Dank im Voraus! ;)
      Da hilft nur noch eins:
      Gib dir die goldene Kugel.... :D :D :D :D :D
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