Mathe: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

    • GeneralLee
      GeneralLee
      Bronze
      Dabei seit: 27.11.2006 Beiträge: 4.590
      Hallo!

      Ich hoffe, es stört niemanden, dass ich dieses Forum als Mathe-Hotline missbrauche =)

      Folgende Frage: Wie untersuche ich eine beliebige Funktion auf Stetigkeit oder Differenzierbarkeit? Geht das nur mit epsilon-Umgebung, so wie es für die Stetigkeit bei wikipedia steht, oder gibt es da einen schöneren und einfacheren Weg?

      Es wäre klasse, wenn mir da jemand helfen könnte!
  • 16 Antworten
    • Madzger
      Madzger
      Bronze
      Dabei seit: 16.09.2005 Beiträge: 915
      imo ist das delta-epsilon-kriterium oft am einfachsten .. die definition klingt ein bisschen kompliziert, aber man gewöhnt sich schnell daran damit zu arbeiten

      es gibt auch noch das folgenkriterium
      f ist in x0 stetigt <=> für jede folge xn mit lim xn = x0 gilt: lim f(xn) = f(x0)

      das ist auch oft nützlich
    • BlackBull
      BlackBull
      Bronze
      Dabei seit: 20.07.2006 Beiträge: 507
      Gibts noch ein anderes Wort für Stetigkeit.

      Hab vor 1 Monat Mathe LK Abi geschrieben und könnte spontan nicht sagen, wass das ist. -.-
    • ZarvonBar
      ZarvonBar
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 21.03.2006 Beiträge: 33.550
      Klingt nach Uni-Mathe, ich kenn's auch nicht.
    • Madzger
      Madzger
      Bronze
      Dabei seit: 16.09.2005 Beiträge: 915
      gibt es nicht
      wird aber in der schule auch nicht behandelt (pro semester lernst du im mathestudium schätzungsweise 200 begriffe, die man aus dem mathe lk nicht kennt :D )
    • HoldemBomber
      HoldemBomber
      Bronze
      Dabei seit: 25.09.2006 Beiträge: 234
      mindestens...

      kauf dir mal die Formelsammlung:
      Mathematische Formeln
      Autor: Vachenauer
      Verlag: Springer

      ist denk ich sowieso besser als ausm internet/wikipedia...
    • GeneralLee
      GeneralLee
      Bronze
      Dabei seit: 27.11.2006 Beiträge: 4.590
      Moment, ich bin LK Mathe und brauch das für mein Abi in ein paar Tagen =) (Und das im Pisa-Verliererland Bremen!)

      So, das musste ich mal loswerden ;)



      Das Folgenkriterium klingt gut... d. h. ich kann mir eine beliebige Folge xn mit lim(xn) = x0 nehmen? Also zum Beispiel immer xn = x0 + 1/n? Und wenn ich dann zeige, dass lim(x0 + 1/n) = x0 für alle x0 gilt, muss dann f stetig sein?
    • FjodorM
      FjodorM
      Bronze
      Dabei seit: 14.02.2006 Beiträge: 11.238
      Original von Madzger
      (pro Woche lernst du im mathestudium schätzungsweise 200 begriffe, die man aus dem mathe lk nicht kennt :D )
      Und ich hab nicht mal Mathe, sondern nur Physik studiert. Zum Glück braucht man dafür ja kaum Mathe, man muß nur rechnen können :D

      Und zur Frage: Als Physiker hau ich die Funktion in den Computer, laß mir den Graph plotten und schau an ob ein Sprung drin ist :D
    • oleole12345
      oleole12345
      Bronze
      Dabei seit: 24.11.2006 Beiträge: 241
      Original von HoldemBomber
      mindestens...

      kauf dir mal die Formelsammlung:
      Mathematische Formeln
      Autor: Vachenauer
      Verlag: Springer

      ist denk ich sowieso besser als ausm internet/wikipedia...
      ich bin fürs repetitorium der höheren mathemathik, son orangenes buch, da steht alles drin :D
      und prinzipiell bei stetigkeit einfach die grenzwerte von links/ rechts betrachten...
    • Madzger
      Madzger
      Bronze
      Dabei seit: 16.09.2005 Beiträge: 915
      Original von GeneralLee
      Moment, ich bin LK Mathe und brauch das für mein Abi in ein paar Tagen =) (Und das im Pisa-Verliererland Bremen!)

      So, das musste ich mal loswerden ;)



      Das Folgenkriterium klingt gut... d. h. ich kann mir eine beliebige Folge xn mit lim(xn) = x0 nehmen? Also zum Beispiel immer xn = x0 + 1/n? Und wenn ich dann zeige, dass lim(x0 + 1/n) = x0 für alle x0 gilt, muss dann f stetig sein?
      nein, du musst es für jede folge mit grenzwert x0 zeigen
    • GeneralLee
      GeneralLee
      Bronze
      Dabei seit: 27.11.2006 Beiträge: 4.590
      Ah ok, sorry, alles klar (hoffe ich). Gut, danke für deine (und alle anderen) Antworten! Morgen schau ich mir das mal genauer an..
    • TheOneAndOnlyMarkus
      TheOneAndOnlyMarkus
      Bronze
      Dabei seit: 20.02.2006 Beiträge: 3.784
      Stetigkeit in der Schule ist doch meistens definiert als "Graph ohne Stift absetzen zeichnen können" :D .

      @GeneralLee:

      Das Folgenkriterium klingt gut... d. h. ich kann mir eine beliebige Folge xn mit lim(xn) = x0 nehmen? Also zum Beispiel immer xn = x0 + 1/n? Und wenn ich dann zeige, dass lim(x0 + 1/n) = x0 für alle x0 gilt, muss dann f stetig sein?


      Nein, es muss für alle Folgen xn mit xn -> x0 gelten, dass lim f(xn) = f(x0). Sonst könnte man ja einfach immer eine konstante Folge xn mit xn=x0 für alle n definieren, damit wären dann alle Funktionen stetig.

      Ergo: Du solltest dich mit dem epsilon-delta-Krit. anfreunden :P

      EDIT: Jetzt hab ich auch ma was gewusst und dann bin ich zu spät :( :D
    • GeneralLee
      GeneralLee
      Bronze
      Dabei seit: 27.11.2006 Beiträge: 4.590
      f(x) ist in x0 stetig...
      ...wenn zu jedem epsilon ein delta existiert, so dass für alle x aus der delta-Umgebung von x0 gilt:
      Die Differenz zwischen f(x) und f(x0) ist kleiner als epsilon.

      Korrekt? Könnt ihr mir mal einen beispielhaften Beweise zeigen, ich sponsor ich euch auch eine stetige Funktion f(x) = e^x =)
    • Madzger
      Madzger
      Bronze
      Dabei seit: 16.09.2005 Beiträge: 915
      e^x ist stetig, weil jede potenzreihe in den inneren punkten des konvergenzintervalls stetig ist :D

      mit dem delta-epsilon kriterium ist meine lsg jetzt relativ kompliziert geworden, aber vielleicht liegt das daran, dass ich es ewig nicht mehr gemacht habe und ich irgendwas übersehen habe

      Sei x0 bel.
      Sei eps > 0 bel.
      Wähle delta = min (ln(eps/e^x0+1),ln(e^x0/(e^x0-eps=) )

      Dann gilt für alle x aus [x0,x0+delta]
      |e^x - e^x0)| = e^x - e^x0 <= e^(x0+delta) - e^x0 = e^x0 * e^delta - e^x0 = e^x0 (e^delta -1) <= e^x0 * (e^(ln(eps/e^x0+1)) -1) = e^x0 * (eps/e^x0 +1 -1) = e^x0 * eps / e^x0 = eps

      und für alle x aus [x0-delta,x0]
      |e^x - e^x0| = e^x0 - e^x <= e^x0 - e^x0 / e^delta <= e^x0 - e^x0 / e^(ln(e^x0/(e^x0-eps)) = e^x0 - e^x0 / e^x0 / (e^x0-eps) = e^x0 - e^x0 + eps = eps

      also gilt für alle delta aus [x0-delta, x0+delta] |e^x-e^x0| <= eps

      Damit ist e^x in x0 stetig für bel x0, also ist e^x stetig.


      in der definition heisst es eigtl |f(x)-f(x0)| < eps, hier hat man nur <= gezeigt .. ich glaube aber die definitionen sind äquivalent .. wenn nicht, schafft man es auch relativ leicht auf < zu kommen
    • skibbel
      skibbel
      Bronze
      Dabei seit: 24.02.2006 Beiträge: 1.874
      Epsilon-Delta ist imho für stetigkeit in punkten.

      Allgemein gehts am einfachsten wenn man folgendes weiß: Eine Verkettung mit *, +, - ist immer stetig.
      Wenn f(x), g(x) stetig ist, ist f(g(x)) das auch. Beispiel f(x)=x^2 ist stetig auf R g(x)=sin(x) ist stetig auf R dann ist f(g(x))=(sin x)^2 auch stetig auf R.
    • draghkar
      draghkar
      Bronze
      Dabei seit: 16.08.2006 Beiträge: 12.432
      das folgenkriterium solltest du i.a. dann nehmen wenn du "durch scharfes hinsehen" ;) schon weißt, dass die funktion nicht stetig ist (weil du dir dann eben eine folge suchen kannst die das krit. nicht erfüllt.

      zur nachweis der stetigkeit empfiehlt sich das epsilon-delta-krit. nachher sind stetigkeitsbeweise eh trivial weil alles verkettungen stetiger funktionen sind ;)
    • KittenKaboodle
      KittenKaboodle
      Bronze
      Dabei seit: 29.01.2006 Beiträge: 3.527
      Original von GeneralLee
      f(x) ist in x0 stetig...
      ...wenn zu jedem epsilon ein delta existiert, so dass für alle x aus der delta-Umgebung von x0 gilt:
      Die Differenz zwischen f(x) und f(x0) ist kleiner als epsilon.

      Korrekt? Könnt ihr mir mal einen beispielhaften Beweise zeigen, ich sponsor ich euch auch eine stetige Funktion f(x) = e^x =)
      Der Betrag der Differenz....wenn ich mich recht erinnere. =)