Lineare Algebra

    • Samy89
      Samy89
      Coach
      Coach
      Dabei seit: 18.06.2007 Beiträge: 3.225
      Hey

      E: x: (1/-1/2) + r(1/2/6) + s(-2/-1/0)

      Aufgaben:

      a) Bestimmten sie den Neigungswinkel der Ebene E gegen die x1/x2 Ebene.

      Soll ich da den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren angeben?
      Ich erkenne bei solcher Art von Aufgaben nicht,welche Vekotrn ich auszuwählen habe.


      Evtl. kommt gleich noch eiune Frage hinzu.
      Danke im Vorraus
  • 11 Antworten
    • Paty17
      Paty17
      Bronze
      Dabei seit: 26.03.2007 Beiträge: 1.048
      Ich würde einfach den Winkel (das Skalarprodukt) zwischen den entsprechenden Normalenvektoren ausrechnen.

      Irgendwie is das aber eher Geometrie und weniger Linalg.
    • Samy89
      Samy89
      Coach
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      Dabei seit: 18.06.2007 Beiträge: 3.225
      Original von Paty17
      Ich würde einfach den Winkel (das Skalarprodukt) zwischen den entsprechenden Normalenvektoren ausrechnen.

      Irgendwie is das aber eher Geometrie und weniger Linalg.
      Normalenvekotr und Skalarprodukt hab ich nicht drauf,weil es für den Mathe-GK nicht notwendig war.

      Alternative ?
    • pmatze
      pmatze
      Bronze
      Dabei seit: 05.03.2010 Beiträge: 1.002
      Original von Samy89
      Original von Paty17
      Ich würde einfach den Winkel (das Skalarprodukt) zwischen den entsprechenden Normalenvektoren ausrechnen.

      Irgendwie is das aber eher Geometrie und weniger Linalg.
      Normalenvekotr und Skalarprodukt hab ich nicht drauf,weil es für den Mathe-GK nicht notwendig war.
      Wie würdest du denn den Winkel zwischen den Richtungsvektoren ausrechnen?
    • Samy89
      Samy89
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      Dabei seit: 18.06.2007 Beiträge: 3.225
      Original von pmatze
      Original von Samy89
      Original von Paty17
      Ich würde einfach den Winkel (das Skalarprodukt) zwischen den entsprechenden Normalenvektoren ausrechnen.

      Irgendwie is das aber eher Geometrie und weniger Linalg.
      Normalenvekotr und Skalarprodukt hab ich nicht drauf,weil es für den Mathe-GK nicht notwendig war.
      Wie würdest du denn den Winkel zwischen den Richtungsvektoren ausrechnen?
      Mit der gängigen Formel: cos: (a-vektor * b-vektor) / wurzel a + wurzel b
    • TobWes
      TobWes
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      Dabei seit: 30.12.2006 Beiträge: 319
      ohne normalenvektor kein winkel zwischen zwei ebenen.
    • pmatze
      pmatze
      Bronze
      Dabei seit: 05.03.2010 Beiträge: 1.002
      Original von Samy89
      Original von pmatze
      Original von Samy89
      Original von Paty17
      Ich würde einfach den Winkel (das Skalarprodukt) zwischen den entsprechenden Normalenvektoren ausrechnen.

      Irgendwie is das aber eher Geometrie und weniger Linalg.
      Normalenvekotr und Skalarprodukt hab ich nicht drauf,weil es für den Mathe-GK nicht notwendig war.
      Wie würdest du denn den Winkel zwischen den Richtungsvektoren ausrechnen?
      Mit der gängigen Formel: cos: (a-vektor * b-vektor) / wurzel a + wurzel b
      ok, mit der Formel war Skalarprodukt gemeint, die ergibt sich nämlich daraus. Deswegen war ich auch verwirrt das du mit dem Begriff nichts anfängst, ebenso auch mit Normalvektor. Kann mir auch nichts ausdenken wie du ohne letzeren den Winkel berechnen kannst, vll kennst du einen anderen Namen?
      Der Normalvektor ist ein Vektor der orthogonal zu einem Vektor oder zu einer Ebene steht, also orthogonal zu beiden Richtungsvektoren. Wie du ihn berechnen kannst: wiki.

      Jedenfalls hilft es dir nicht den Winkel zwischen den Richtungsvektoren zu berechnen, bei solchen Aufgaben finde ich es immer hilfreich sich Blätter und Stifte zu nehmen und diese als Ebenen und Vektoren zu missbrauchen. In dem Fall kannste ja ein Blatt nehmen als Ebene und zwei Vektoren als Richtungsvektoren draufmalen, wenn du das Blatt jetzt in verschiedenen Winkeln auf dein Tisch (zweite Ebene) stellst, wird dir bewusst, das der Winkel zwischen den Richtungsvektoren völlig unabhängig von dem zwischen den Ebenen ist. Wenn du aber einen Stift als Normalvektor durch das Blatt durchsteckst und einen auf den Tisch stellst, sollte dir was auffallen.
    • Samy89
      Samy89
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      Dabei seit: 18.06.2007 Beiträge: 3.225
      Original von pmatze
      Original von Samy89
      Original von pmatze
      Original von Samy89
      Original von Paty17
      Ich würde einfach den Winkel (das Skalarprodukt) zwischen den entsprechenden Normalenvektoren ausrechnen.

      Irgendwie is das aber eher Geometrie und weniger Linalg.
      Normalenvekotr und Skalarprodukt hab ich nicht drauf,weil es für den Mathe-GK nicht notwendig war.
      Wie würdest du denn den Winkel zwischen den Richtungsvektoren ausrechnen?
      Mit der gängigen Formel: cos: (a-vektor * b-vektor) / wurzel a + wurzel b
      ok, mit der Formel war Skalarprodukt gemeint, die ergibt sich nämlich daraus. Deswegen war ich auch verwirrt das du mit dem Begriff nichts anfängst, ebenso auch mit Normalvektor. Kann mir auch nichts ausdenken wie du ohne letzeren den Winkel berechnen kannst, vll kennst du einen anderen Namen?
      Der Normalvektor ist ein Vektor der orthogonal zu einem Vektor oder zu einer Ebene steht, also orthogonal zu beiden Richtungsvektoren. Wie du ihn berechnen kannst: wiki.

      Jedenfalls hilft es dir nicht den Winkel zwischen den Richtungsvektoren zu berechnen, bei solchen Aufgaben finde ich es immer hilfreich sich Blätter und Stifte zu nehmen und diese als Ebenen und Vektoren zu missbrauchen. In dem Fall kannste ja ein Blatt nehmen als Ebene und zwei Vektoren als Richtungsvektoren draufmalen, wenn du das Blatt jetzt in verschiedenen Winkeln auf dein Tisch (zweite Ebene) stellst, wird dir bewusst, das der Winkel zwischen den Richtungsvektoren völlig unabhängig von dem zwischen den Ebenen ist. Wenn du aber einen Stift als Normalvektor durch das Blatt durchsteckst und einen auf den Tisch stellst, sollte dir was auffallen.
      Hey

      Du hattets in jedme Punkt recht.Habe mir gerade nochmal durchgelesen wie es geht und weiss nun bescheid.

      Zuerst wandel ich die Ebene in eine Koordinatenform um:2x1-2x2+x3 = 8
      Die Normalform der x1/x2 Ebene ist (0/0/1)
      Die Normalform einer x2/x3 Ebene wäre dementsprechen (1/0/0) oder?

      Nun kann ich die Formel raushauen: 2*0 + (-2) * 0 + 1 * 1 = 1/wurzel = 83 grad
      Lösung: 7 grad

      soweit richtig?
    • pmatze
      pmatze
      Bronze
      Dabei seit: 05.03.2010 Beiträge: 1.002
      Original von Samy89
      Zuerst wandel ich die Ebene in eine Koordinatenform um:2x1-2x2+x3 = 8
      Da hat sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen, dass ist nämlich nicht richtig, sag mal wie du darauf gekommen bist.
      Die Normalform der x1/x2 Ebene ist (0/0/1)Die Normalform einer x2/x3 Ebene wäre dementsprechen (1/0/0) oder?

      Jein, also das sind die Normalvektoren, die Normalenform einer Ebene benötigt noch einen Punkt der Ebene und daraus lässt sie sich dann bestimmen. Anschaulich, wenn du den Normalvektor (Stift) hast, dann kannst du unendliche viele Ebenen daran entlang haben (Stift durch Papier stecken und Papier beliebig hoch und runter bewegen)

      Nun kann ich die Formel raushauen: 2*0 + (-2) * 0 + 1 * 1 = 1/wurzel = 83 gradLösung: 7 gradsoweit richtig?

      Warum ziehst du denn da noch deine Lösung von 90° ab? Nur wenn der Winkel größer als 90° ist, musst du ihn von 180° abziehen. 90° wäre ja senkrecht und du hast 2 Winkel von 90°, wenn du den Winkel dann auf einer Seite größer machst, wird er auf der anderen kleiner und man gibt eben standardmäsig den kleineren Winkel an.
    • Samy89
      Samy89
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      Dabei seit: 18.06.2007 Beiträge: 3.225
      Original von pmatze
      Original von Samy89
      Zuerst wandel ich die Ebene in eine Koordinatenform um:2x1-2x2+x3 = 8
      Da hat sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen, dass ist nämlich nicht richtig, sag mal wie du darauf gekommen bist.
      Die Normalform der x1/x2 Ebene ist (0/0/1)Die Normalform einer x2/x3 Ebene wäre dementsprechen (1/0/0) oder?

      Jein, also das sind die Normalvektoren, die Normalenform einer Ebene benötigt noch einen Punkt der Ebene und daraus lässt sie sich dann bestimmen. Anschaulich, wenn du den Normalvektor (Stift) hast, dann kannst du unendliche viele Ebenen daran entlang haben (Stift durch Papier stecken und Papier beliebig hoch und runter bewegen)

      Nun kann ich die Formel raushauen: 2*0 + (-2) * 0 + 1 * 1 = 1/wurzel = 83 gradLösung: 7 gradsoweit richtig?

      Warum ziehst du denn da noch deine Lösung von 90° ab? Nur wenn der Winkel größer als 90° ist, musst du ihn von 180° abziehen. 90° wäre ja senkrecht und du hast 2 Winkel von 90°, wenn du den Winkel dann auf einer Seite größer machst, wird er auf der anderen kleiner und man gibt eben standardmäsig den kleineren Winkel an.
      Hi

      Ich habe die Koordinaten form bekommen,indem ich ein Gleichungssystem der Parameterform erstellt habe und mit x1,x2,x3 gleichgesetzt habe.

      Ich rechne es ebend nochma,sek.
      EDIT

      hab nun folgendes rausbekommen:

      2x1 + 4x2 -x3 = -8 ist diese richtig?
    • pmatze
      pmatze
      Bronze
      Dabei seit: 05.03.2010 Beiträge: 1.002
      Original von Samy89
      Ich habe die Koordinaten form bekommen,indem ich ein Gleichungssystem der Parameterform erstellt habe und mit x1,x2,x3 gleichgesetzt habe.

      Ich rechne es ebend nochma,sek.
      EDIT

      hab nun folgendes rausbekommen:

      2x1 + 4x2 -x3 = -8 ist diese richtig?
      Immernoch falsch, irgendein Vorzeichenfehler. Ich hab unten mal selbst so gelöst wie du, aber am besten nochmal bei dir nachschauen.
      Wie du selbst prüfen kannst ob es überhaupt stimmen könnte (was bei deinen beiden Lösungen nicht der Fall war): einen Punkt der Ebene einsetzten, in dem Fall den Stützvektor also (1/-1/2), der liegt ja in E und müsste somit die Gleichung erfüllen bei dir käme aber -4=-8 also etwas Falsches raus.
      x1=1+r-2s
      x2=-1+2r-s
      x3=2+6r

      r=x3/6-1/3

      x2=-1+x3/3-2/3-s
      s=-1+x3/3-2/3-x2

      x1=1+x3/6-1/3-2(-1+x3/3-2/3-x2)
      x1-2x2+x3/2=4


      Generell wäre es aber denke ich schneller und imo auch einfacher, wenn man den Normalvektor berechnet, damit kommt man dann auch ohne Probleme zur Koordinatenform, aber ist wohl Geschmacksache.
    • Samy89
      Samy89
      Coach
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      Dabei seit: 18.06.2007 Beiträge: 3.225
      Original von pmatze
      Original von Samy89
      Ich habe die Koordinaten form bekommen,indem ich ein Gleichungssystem der Parameterform erstellt habe und mit x1,x2,x3 gleichgesetzt habe.

      Ich rechne es ebend nochma,sek.
      EDIT

      hab nun folgendes rausbekommen:

      2x1 + 4x2 -x3 = -8 ist diese richtig?
      Immernoch falsch, irgendein Vorzeichenfehler. Ich hab unten mal selbst so gelöst wie du, aber am besten nochmal bei dir nachschauen.
      Wie du selbst prüfen kannst ob es überhaupt stimmen könnte (was bei deinen beiden Lösungen nicht der Fall war): einen Punkt der Ebene einsetzten, in dem Fall den Stützvektor also (1/-1/2), der liegt ja in E und müsste somit die Gleichung erfüllen bei dir käme aber -4=-8 also etwas Falsches raus.
      x1=1+r-2s
      x2=-1+2r-s
      x3=2+6r

      r=x3/6-1/3

      x2=-1+x3/3-2/3-s
      s=-1+x3/3-2/3-x2

      x1=1+x3/6-1/3-2(-1+x3/3-2/3-x2)
      x1-2x2+x3/2=4


      Generell wäre es aber denke ich schneller und imo auch einfacher, wenn man den Normalvektor berechnet, damit kommt man dann auch ohne Probleme zur Koordinatenform, aber ist wohl Geschmacksache.
      danke für deine mühe.
      ich schau morgen nochma drüber