Varianz eines Pushes berechnen

    • chessmasterD
      chessmasterD
      Black
      Dabei seit: 07.08.2006 Beiträge: 2.385
      Hmm ich meine, dass es früher einen extra Unterforum für Mathematik und Wahrscheinlichkeiten gab, bin ich grad blind oder ist er weg oder ich hab Amnesie?..

      Jedenfalls hier meine Fragestellung:

      Mich interessiert wie man die Varianz bzw die SD berechnen eines Pushes:
      1) Hand gegen Hand
      2) Hand gegen Range
      3) Range gegen Range

      Meine Überlegung ist, dass bei ganz geringen Edges die Varianz so groß wird, dass es eventuell keinen Sinn mehr macht diese Edge auszunutzen. Wenn die Wahrscheinlichkeit mit einem Play nach 1000 Runs im Plus zu sein nur 51% ist und ich nur 100 solche Situationen im Jahr hab, würde ich das Play auslassen, weil ich Jahrzehnte brauche um die Varianz zu schlagen.

      Ich hoffe, es ist klar, worauf ich hinaus möchte.

      Vielleicht konkrete Beispiele: Wie ist die Varianz bei 1000 runs:
      1) QQ vs AK
      2) QQ vs JJ+, AK
      3) JJ+, AK vs JJ+, AK

      Falls ich den Matheunterforum doch übersehen hab, bitte verschieben.
  • 15 Antworten
    • HockeyTobi
      HockeyTobi
      Bronze
      Dabei seit: 03.12.2005 Beiträge: 23.227
      Original von chessmasterD

      Falls ich den Matheunterforum doch übersehen hab, bitte verschieben.
      Hey,

      ne das gibts nicht mehr, hier bist du richtig aufgehoben ;)

      Viele Grüße
      Tobi
    • JojoDeluxe
      JojoDeluxe
      Bronze
      Dabei seit: 03.08.2006 Beiträge: 3.638
      Ich hab keinen Plan wie man das ausrechnet aber ich glaube man sollte nie einen +ev Spot auslassen, weil du durch einen fold in dem +ev-Spot ja immer $ liegen lässt auch wenn er nur close ist. Und da beim Pokern die Edges eh klein sind bringt das freiwillige verschenken von +ev Spots dich ganz sicher zu einer negativen Winrate, die dann vielleicht aber mit weniger Varianz zu spielen ist ;)

      Also für mich hört sich das ganz klar nach moneyscaredness an. Einfach genug BR haben, dann stören dich Swings nicht mehr. Pokern ohne Swings wirds nie geben. Sonst gäbs auch keine Fische blablabla... alles schon tausend mal gehört...
    • wess0r1982
      wess0r1982
      Black
      Dabei seit: 22.01.2007 Beiträge: 1.028
      Hi,

      wenn man mal splitpots aussen vor lässt gehts eigentlich ganz einfach:

      EV=(eq*Pot-Einsatz)*N (EV ist das was übrig bleibt wenn wir unseren Einsatz abziehen von dem Was uns vom Pot zusteht.)

      Var=eq*(1-eq)*Pot^2*N (kann man zB einfach von der Binomialverteilung hernehmen)
      N ist dabei die anzahl der Allins (oder runs)

      Ob Hand vs Range, Hand vs Hand oder Range vs Range ist egal. (nur wenn man splitpots vernachlässig, sonst ändert die splitfrequenz die Varianz bei konstanter Equity. Extrembeispiel: K8s vs 22 hat andere Varianz als QQ vs QQ)


      Naja und nun ist es nur noch einsetzen.
      Nehmen wir zB mal an der Einsatz ist 1*Stack und der Pot ist 2*Stack groß und wir bringen es mit 51% rein. Das ganze 1000mal.

      EV=(0,51*2*Stack-1*Stack)*1000=20*Stack

      Var=0,51*(1-0,51)*(2*Stack)^2*1000=ca 1000*Stack^2

      Die Varianz geht quadratisch mit der beobachteten Größe, deswegen betrachtet man in der Regel die Standardabweichung (=Wurzel der Varianz):

      std=wurzel(Var)=ca 32*Stack

      Wikipedia:
      Die Standardabweichung σ beschreibt die Breite der Normalverteilung und hängt mit der Halbwertsbreite zusammen. Es gilt näherungsweise:

      Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 68,27 % aller Messwerte zu finden,
      Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 95,45 % aller Messwerte zu finden,
      Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 99,73 % aller Messwerte zu finden.
      Und ebenso lassen sich umgekehrt für gegebene Wahrscheinlichkeiten die maximalen Abweichungen vom Mittelwert finden:

      50 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 0,675σ vom Mittelwert,
      90 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 1,645σ vom Mittelwert,
      95 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 1,960σ vom Mittelwert,
      99 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 2,575σ vom Mittelwert.


      also zB zu 95% liegt man irgendwo zwischen -32Stacks und 72Stacks.

      Beachte bei der Entscheidung welche spots du eignehen willst nicht nur die isolierte Hand, sondern auch wie sich solche Hände auf deinen Gameplan bzw auf den EV deiner restlichen Range auswirken könnten.
    • chessmasterD
      chessmasterD
      Black
      Dabei seit: 07.08.2006 Beiträge: 2.385
      Danke, wessor, hat mir sehr geholfen. Klingt alles sehr einleuchtend soweit ich das grad im übermüdeten Zustand beurteilen kann. Ich wusste, dass es nicht so kompliziert sein kann, aber Statistik (für Medizinier, lol) liegt schon einige Semester zurück und ich konnte es nicht mehr zusammen bekommen.

      Eins habe ich aber nicht verstanden: meiner Logik nach sollte die Varianz bei Hand vs Range ja größer seine als Hand vs Hand, auch wenn der EV gegen die Range gleich dem EV gegen die Hand ist. Denn dann ist doch noch die Varianzkomponente drin, gegen welche Hand aus der Range man dann läuft oder nicht?

      Werde mir ein paar Szenarien durchspielen wenn ich wieder fit im Kopf bin..
    • Betstreet
      Betstreet
      Bronze
      Dabei seit: 12.07.2011 Beiträge: 1.005
      wtf chessmaster, deine argumentation bezüglich der Begründung deiner Frage suckt enorm! Denk mal drüber nach!

      Und zwar meine ich das hier :"
      Meine Überlegung ist, dass bei ganz geringen Edges die Varianz so groß wird, dass es eventuell keinen Sinn mehr macht diese Edge auszunutzen. Wenn die Wahrscheinlichkeit mit einem Play nach 1000 Runs im Plus zu sein nur 51% ist und ich nur 100 solche Situationen im Jahr hab, würde ich das Play auslassen, weil ich Jahrzehnte brauche um die Varianz zu schlagen. "
    • wess0r1982
      wess0r1982
      Black
      Dabei seit: 22.01.2007 Beiträge: 1.028
      Für die Varianz macht es keinen Unterschied ob Hand vs Hand oder Range vs Range. Denn wir haben ja trotz Range vs Range immer noch nur zwei Ereignisse: Erfolg oder Misserfolg. Was zählt sind die WKeiten dafür, wie sie sich zusammensetzen ist egal. (Wenn du dir die Varianz dafür ausrechnest, kannst du halt immer die Einzelequties wieder zur mittleren Equity zusammenfassen.)

      Aber: Es sind schon zwei unterschiedliche Verteilungen, nur eben mit gleichem Erwartungswert und gleicher Varianz. Wohlgemerkt gleicher Varianz in mathematischem Sinne. Das was man umgangssprachlich oft mit Varianz meint muss nicht gleich sein.
      Beispiel:
      a) faire Münze, Kopf 1€ Gewinn und Zahl=-1€, EV=0, Var=1€^2
      b) Münze landet zu 50% auf der Kante (=0€) und zu 25% auf Kopf wo es hier sqrt(2)€ gibt und zu 25% auf Zahl wo man hier sqrt(2)€ verliert. Auch hier ist EV=0 und Var=1€^2

      Viele würden wohl sagen, dass die "Varianz" (umgangssprachlich) bei b) geringer ist, da man ja nur in 25% der Fälle verlieren kann und nicht zu 50% wie in a). Die mathematische Varianz ist gleich.


      Die aussagen die im letzen Post von mir im spoiler stehen, gelten nur in näherung durch Normalverteilung (zentraler Grenzwertsatz). Die Normalverteilung ist allerdings schon durch Varianz und Mittelwert vollständig charakterisiert. Nach der Näherung ist also alle über die Unterschiedlichkeit der Verteilungen verloren.

      Ohne Näherung kann es einen Unterschied geben wenn man zB P(Gewinn > 0) ausrechnen will. Allerdings ist bei N=1000 die Näherung schon sehr gut.


      Btw, wieviel equity muss ich denn nun überhaupt haben um nur zu 51% im Plus zu sein nach 1000 runs? (unter Nutzung des Modells aus meinem letzten Post)
      Ich nähere wieder und lasse die standardabweichung Konstant bei 31,7Stacks. Nun muss ich den Mittelwert der Normalverteilung bestimmen so, dass

      0.51=int(1/sqrt(2*pi*31,7^2)*exp(-1/2*(x-EV)^2/31,7^2),x=0..infnity)
      (Integral der Normalverteilung mit gegebener Standardabweichung und unbekannten Mittelwert von 0 bis unendlich gibt die Wkeit an und die soll gleich 51% sein)

      Wolfram-Alpha sagt ca 0,8 Stacks EV was zu einer benötigten durchschnittsequity von ca 50,04% führt. (std wäre 31,6 kann nicht zu schlecht sein die näherung)

      Immer bedenken, dass das Modell sehr einfach ist, sprich es ist quasi der Call eines openpushes last to act ohne Blinds und Rake. Deadmony einbauen ist einfach, aber irgendwo muss man ja starten.
    • SonnyPeda
      SonnyPeda
      Bronze
      Dabei seit: 25.09.2008 Beiträge: 6.306
      Original von JojoDeluxe
      Ich hab keinen Plan wie man das ausrechnet aber ich glaube man sollte nie einen +ev Spot auslassen, weil du durch einen fold in dem +ev-Spot ja immer $ liegen lässt auch wenn er nur close ist. Und da beim Pokern die Edges eh klein sind bringt das freiwillige verschenken von +ev Spots dich ganz sicher zu einer negativen Winrate.
      Ich weiß man kann das alles nicht so genau berechnen und sicherlich nichts aufs spiel übertragen aber rein von der theorie her, wenn du und villain 200bb stacks deep seid und du komst in einen spot der overall +0,2bb hat. Dann ist der spot zwar +EV aber trotzdem wirds wenn man alles betrachtet -ev sein, da du aufgrund eines losses von 200bb sicherlich durchschnittlich mehr als 0,2bb vertilest. Wenn du nicht grad ein mindset wie eine maschine hast... so ist zumindest meine meinung :D

      Es kann also durchaus sein, dass ein +EV spot overall -EV sein wird. Aber in der realität sieht das natürlich anders aus, weil mans nie im leben so gut abschätzen kann... also wirds kaum sinnvoll sein jemals einen +EV spot auszulassen.
    • topspit
      topspit
      Bronze
      Dabei seit: 07.02.2008 Beiträge: 4.138
      [quote][i]

      [...]

      [/quote]wenn du varianz nicht magst, dann lass halt solche Spots weg.

      Longterm kostets dich natürlich deine Winnings. Musste selber wissen was du willst.

      +EV ists auf jeden Fall nicht einen +EV Spot auszulassen. Auch wenn es nur +0.5 sind...

      den Spot wegzulassen, kostet dich halt dann -0.5...
    • obsession
      obsession
      Bronze
      Dabei seit: 11.10.2006 Beiträge: 660
      Hier stand kein sinnvoller Diskussionsbeitrag
    • SonnyPeda
      SonnyPeda
      Bronze
      Dabei seit: 25.09.2008 Beiträge: 6.306
      [quote]Original von topspit
      [quote][i]

      [...]

      [/quote]wenn du varianz nicht magst, dann lass halt solche Spots weg.

      Longterm kostets dich natürlich deine Winnings. Musste selber wissen was du willst.

      +EV ists auf jeden Fall nicht einen +EV Spot auszulassen. Auch wenn es nur +0.5 sind...

      den Spot wegzulassen, kostet dich halt dann -0.5...[/quote]lies dir mal meinen post durch. Nur weil ein spot alleine marginal +EV ist, muss es theoretisch nicht heißen das er overall +EV wird...
    • Spinshot
      Spinshot
      Bronze
      Dabei seit: 23.01.2007 Beiträge: 964
      Ist eine korrekte Annäherung an die Varianz überhaupt möglich? Wir betrachten doch Wahrscheinlichkeiten in Bezug auf n->inf Durchgänge, um halbwegs präzise zu sein.

      Wenn es nicht so wäre, könnte ich aus jedem Spot Any2 Pushen, wenn ich kurzfristig über EV laufe, und das widerrum würde den Spielzug anhand der minimalen Varianz zu dem Zeitpunkt über EV rechtfertigen.

      Also entweder hab ich die Frage noch nicht richtig verstanden oder ich hab nen Denkfehler..
    • chessmasterD
      chessmasterD
      Black
      Dabei seit: 07.08.2006 Beiträge: 2.385
      Hm interessant, also dass die Varianz von Hand vs Range = Hand vs Hand bei gleicher Equity ist, klingt für mich zunächst sehr kontrainuitiv, aber es scheint tatsächlich so zu sein^^.

      Für die Praxis spielen solche Berechnungen natürlich kaum eine Rolle, da man nie die Range des Gegners so genau einschätzen kann, dass man auf Prozentbruchteile den EV und die Varianz berechnen könnte. Aber als Gedankenexperiment finde ich die Frage halt ziemlich spannend. Man könnte die Frage ja auch umformulieren und sich fragen, ob es sich lohnt, an einem Tisch zu spielen, wo man halt zB die im Beispiel von Wessor berechnete 50,04% Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Bzw ab welchem BRM man den Tisch spielen kann ohne ein zu hohes Risk of Ruin einzugehen. Das wäre durchaus praxisrelevant.

      Aber solche Berechnungen gibt es ja schon. Ganz klar - je kleiner die Edge, desto größer muss das BRM sein. Deswegen ja auch meine Überlegung am Anfang - natürlich sollte man mit einer Endlos BR jeden +EV Spot eingehen. Aber mit einer normalen endlichen BR wird theoretisch bei zu geringer Edge der Risk of Ruin zu hoch.

      Aber wie gesagt, alles sehr theoretisch, natürlich. Dafür hab ich mit den Formeln jetzt was zum spielen, danke =)

      @Spinshot: Checke grad vlt irgendwie nicht was du meinst, aber ob du grad über EV läufst hat ja keinen Einfluss auf die Gewinnwahrscheinlichkeit in der Zukunf, ein -EV push bleibt -EV und ist immer schlecht im Vakuum.
    • Spinshot
      Spinshot
      Bronze
      Dabei seit: 23.01.2007 Beiträge: 964
      Achso, nach deinem Post hab ich verstanden was ihr gerechnet habt.

      Ihr wolltet die Varianz im Zusammenhang mit der Edge berechnen.

      Okay. Finde aber immer noch, dass eine Annäherung etwas paradox ist, weil sich die Equitydifferenz auf unendlich viele Durchgänge bezieht.

      Selbst wenn ich die Range des Gegenspielers auf X% festlegen kann, weiß ich immer noch nicht, ob ich in diesem Spot die nächsten 200x gewinne oder verliere. Das war das was ich nicht verstanden habe
    • Forstning
      Forstning
      Bronze
      Dabei seit: 26.05.2007 Beiträge: 1.727
      naja das ist in der statistik so: wenn man eine sehr große zahl an wiederholungen berechnet kann man anfangen vereinfachungen zu treffen. so können wir auch mit der ziemlich einfachen boltzmann verteilung JEDEN zustand extrem gut berechnen, wenn nur genügend teilchen dabei beteiligt sind.

      genauso läuft das bei der varianz. natürlich kann es mal passieren, dass man über die varianz hinausschiesst. aber das ist in etwa unwahrscheinlicher als es teilchen im universum gibt. (1:10^99 oder so)
    • Kingbase
      Kingbase
      Bronze
      Dabei seit: 16.10.2007 Beiträge: 3.762
      Original von chessmasterD
      Hm interessant, also dass die Varianz von Hand vs Range = Hand vs Hand bei gleicher Equity ist, klingt für mich zunächst sehr kontrainuitiv, aber es scheint tatsächlich so zu sein^^.

      nein auch nicht für n gegen unendlich

      rechne einfach mal die varianz aus für 49/51 vs 29/71+49/51+71/29 da kommen ganz andere werte raus obwohl beide den gleichen ev haben