Jemand Lust über rangebasierten Cardremoval nachzudenken?

    • nopi
      nopi
      Gold
      Dabei seit: 18.08.2006 Beiträge: 1.702
      Hi smarte FL-ler,

      ist zwar nicht reines FL, aber interessant allemal. Es geht um folgenden Thread: Range-basiertes Cardremoval?

      Gesucht ist eine Methode für Berechnung des rangebasierten Cardremovals.

      Als Beispiel sei genannt: Range1 = Top20% und Range2 = Top50%.
      Frage 1: Weil Range1 diverse Aces enthält, wie groß muss man die einzelnen acehaltigen Kombis aus Range2 reduzieren?
      Frage 2: Inwieweit wird eine Range asslastiger, weil vorher alle gefoldet haben? (und damit dort potentiell nicht so viele Asse vorhanden waren)
      etc.

      Gruß, nopi


      P.S. Ich hab' da von jemandem gehört, der jemanden kennt, der sowas vielleicht implementieren will ;)
  • 13 Antworten
    • kriegshahn
      kriegshahn
      Bronze
      Dabei seit: 17.02.2007 Beiträge: 4.013
      Man kann sowas mit einen Programm von der Konkurrenz (Cardrunners EV) simulieren. Wenn Du genau schreibst, was dich interessiert, kann ich es mal eintippen.

      Einen solchen Fall habe ich schon mal durchgespielt:
      Angenommen an einem FR FL Tisch folden alle Spieler zum BU und der BU open raised die top 50% der Hände. Dann ist sein RFI tatsächlich knapp 52%, auf Grund der Cardremovels.


      Vg
    • nopi
      nopi
      Gold
      Dabei seit: 18.08.2006 Beiträge: 1.702
      Original von kriegshahn
      Man kann sowas mit einen Programm von der Konkurrenz (Cardrunners EV) simulieren. Wenn Du genau schreibst, was dich interessiert, kann ich es mal eintippen.
      Bist Du sicher, dass CREV sowas kann?
      Bsp1: Range1 = { QQ+ }, wie sind in einer zweiten Range AA, AKo oder AKs gewichtet?
      Bsp2: Alle folden zum Button. Wir geben dem MP2 genau die inverse Openingrange, da er ja gefoldet hat, ... analog MP3 und CO. Wie sind in der BU-Range alle Einzelkombos (169) gewichtet. Sicher sind Aces deutlich höher gewichtet, wie z.B. die deuces.
      usw.
      Bsp3: Rangebasierter Cardremoval über mehr als zwei Ranges.

      Original von kriegshahn
      ...RFI...
      Was meinste denn mit RFI?


      Danke und Gruß, nopi
    • cjheigl
      cjheigl
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 09.04.2006 Beiträge: 24.496
      1) Ich denke, das wird schwierig mit einer geschlossenen Formel zu rechnen und man muss es durchzählen.

      2) Exakt ausrechnen kann man es wohl auch nur durch auszählen.

      3) Die eigenen Karten könnten einen deutlichen Einfluss auf die Range eines Gegners haben, da die eigenen Karten definitiv in der Range des Gegners fehlen und nicht nur vielleicht, wie bei den gefoldeten Händen.

      Idee einer guten Näherung:

      Das Problem beim Durchzählen ist, dass man sehr viele Kombinationsmöglichkeiten bekommt, sobald mehr als 3 Ranges im Spiel sind. Man kann aber die Häufigkeiten bestimmen, mit der in den anderen Ranges kein Ass, ein, zwei drei, vier Asse vorkommen (bei vielen verschiedenen Ranges zur Not über Monte Carlo). Diese Wahrscheinlichkeiten kann man benutzen, um den Removal Effekt näherungsweise auszurechnen.

      Beispiel 1:

      Alle anderen Ranges zusammen enthalten
      0 Asse 30%
      1 Ass 60%
      2 Asse 8%
      3 Asse 2%
      4 Asse 0%
      (Zahlen frei erfunden)
      Dann rechnet man den Removal Effekt einzeln für jede Anzahl der Asse aus und gewichtet nach den Wahrscheinlichkeiten einen Mittelwert.

      @kriegshahn: was rechnet das Programm aus? Ich vermute, den Anteil der top 50% Hände im Reststapel, und da dann mehr gute Hände im Reststapel bleiben, sind die top 50% des gesamten Kartenstapels zu den top 52% des Reststapels geworden. Für die einzelnen Hände der Range macht das aber keinen Unterschied, da die immer nur auf den Gesamtstapel bezogen sind. Der Spieler raist also nach wie vor die Range top 50% (wie sie im Equilab angezeigt wird), nur hat er die halt 2% öfter im Vergleich zu der Situation, dass es vor ihm keine Spieler gab, die hätten folden können. Das heisst, dass sich die gemessene Statistik insofern verfälscht, dass seine tatsächliche Range etwas tighter ist als der statistiche Wert, den ein Tracker anzeigen würde.
    • cjheigl
      cjheigl
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 09.04.2006 Beiträge: 24.496
      Wie stellt man den Removal Effekt dar?

      Es geht um die Zahl der Kartenkombinationen. Es interessiert nur, wieviele Kartenkombinationen durchschnittlich ein Ass enthalten im Verhältnis zu allen übrigen Kombos:

      Beispiel 2:

      Wir nehmen die Häufigkeitsverteilung aus Beispiel 1 (obiger Post). Der Spieler, für den wir uns interessieren, soll eine top 20% Range haben. Da die Grundmenge der Karten bzw. Hände in dieser Range unabhängig vom Removal Effekt ist, weil wir die Range zunächst immer auf das gesamte Deck beziehen und nicht auf das Restdeck (siehe meine Bemerkung zu kriegshahn oben), ist das die Range

      66+,A4s+,K8s+,Q9s+,J9s+,T9s,A9o+,KTo+,QTo+,JTo.

      Die wollen wir reduzieren. Sie enthält 6 Kombos AA und 100 Kombos Ax bei insgesamt 270 Kombos.

      Je nach Anzahl der Asse reduzieren sich die Kombos zu:
      0: 6/100
      1: 3/75
      2: 1/50
      3: 0/25
      4: 0/0

      Wir gewichten also

      Ax Kombos Durchschnitt = 30%*100 + 60%*75 + 8%*50 + 2%*25 + 0%*0 = 79,5
      AA Kombos Durchschnitt = 30%*6 + 60%*3 + 8%*0 + 2%*25 + 0%*0 = 4,1

      Die erste Näherung wäre also 79,5 / (270 - 20,5 - 1,9) = 32,1% Ax statt 100/270 = 37,0% Ax.

      Ganz fertig ist man aber hier noch nicht, weil auch für die übrigen Hände in der Range ein Removal Effekt besteht. Man muss also den Removal Effekt für alle Hände bzw. Handklassen ausrechnen und die Häufigkeiten der verschiedenen Hände bzw. Ax zu der so reduzierten Handrange in Beziehung setzen. Zu den anderen Ranges kommt man genau so wie bei den Assen. Ein Fehler bleibt, weil nicht alle Kicker in den anderen Ranges gleich häufig sind. Der sollte aber recht klein sein. Wenn man verfeinern will, dann kann man die Häufigkeiten in den anderen Ranges nach Kickern vornehmen (AA, AK-A2). Dann sollte es im Rahmen der Rechengenauigkeit (Monte Carlo) exakt hinkommen.
    • nopi
      nopi
      Gold
      Dabei seit: 18.08.2006 Beiträge: 1.702
      zunächst mal vielen Dank cjheigl ... ich wusste doch, dass die FL-ler was auf'm Kasten haben :s_thumbsup: ... (siehe analogen Thread im NL-Forum )


      Original von cjheigl
      1) Ich denke, das wird schwierig mit einer geschlossenen Formel zu rechnen und man muss es durchzählen.

      2) Exakt ausrechnen kann man es wohl auch nur durch auszählen.
      Ja, genau da bin ich inzwischen auch gelandet (inspiriert durch mtheories guten Post Range-basiertes Cardremoval?)
      Ich denke man muss tatsächlich jede Kombo der ersten Range gegen jede Kombo der zweiten Range betrachten, removen und das Ganze natürlich dann noch entsprechend wichten.

      Bei mehr als zwei Ranges wirds assig ... dazu später mehr.


      Original von cjheigl
      ...
      3) Die eigenen Karten könnten einen deutlichen Einfluss auf die Range eines Gegners haben, da die eigenen Karten definitiv in der Range des Gegners fehlen und nicht nur vielleicht, wie bei den gefoldeten Händen.
      Nicht nur "könnten", sondern "haben". Dieser direkte Card-Removal-Effekt ist ja schon im Equilab implementiert.


      Original von cjheigl
      Wie stellt man den Removal Effekt dar?
      Das ist eine gute Frage.

      Wie erwähnt, ist bisher nur der direkte Card-Removal-Effekt implementiert.
      Dort bewegt sich die Anzahl der Hände immer im Ganzzahlbereich und wird durch das Equilab folgendermaßen dargestellt:
      - hellblau: Alle Hände einer Kombo enthalten
      - dunkelblau: Nicht alle Hände einer Kombo enthalten
      - grau: Keine Hand in der Kombo möglich


      Wenn man nun den rangebasierten Card-Removal-Effekt betrachtet, so werden sich die Anzahl der Hände innerhalb einer Kombo nicht mehr im Ganzzahlbereich bewegen. Dies ist imo nur durch Wichtung darzustellen. Vielleicht sowas in dieser Richtung hier:



      Hier sind gute Ideen willkommen :)



      Gruß, nopi
    • nopi
      nopi
      Gold
      Dabei seit: 18.08.2006 Beiträge: 1.702
      Original von nopi
      ...
      Bei mehr als zwei Ranges wirds assig ... dazu später mehr.
      ...
      Jetzt will ich kurz zur Assigkeit bei mehreren Ranges bzw. bei schon gewichteten Ranges etwas sagen:

      Wenn man ein Range anhand einer anderen Range wichten will, so kann man das durch Kombination aller Hände gegeneinander machen. Man erhält in der zweiten Range jeweils unterschiedlich gewichtete Kombos.

      Hierzu ein Beispiel:
      Range1 = { AKs }
      Range2 = { AA }
      AA reduziert um AdKd => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AhKh => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AsKs => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AcKc => 1 Kombo bleibt übrig
      => Im Mittel bleiben also 1 Kombo in AA übrig
      => Man wichtet also AA mit 16.6%, da nur eine der urspünglich 6 Kombos noch enthalten ist.

      Hierzu noch ein zweites Beispiel:
      Range1 = { KK+ }
      Range2 = { AA }
      AA reduziert um AdAh => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AdAs => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AdAc => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AhAs => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AhAc => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AsAc => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um KdKh => 6 Kombos bleiben übrig
      AA reduziert um KdKs => 6 Kombos bleiben übrig
      AA reduziert um KdKc => 6 Kombos bleiben übrig
      AA reduziert um KhKs => 6 Kombos bleiben übrig
      AA reduziert um KhKc => 6 Kombos bleiben übrig
      AA reduziert um KsKc => 6 Kombos bleiben übrig
      => Im Mittel bleiben also 3.5 Kombos in AA übrig
      => Man wichtet also AA mit 58.3%, da nur 3.5 Kombos der urspünglich 6 Kombos noch enthalten sind.


      Will ich nun eine dritte Range anhand der zwei Ranges davor reduzieren, so habe ich eine erste Range ohne Wichtungen und ein zweite Range, die durch Reduzierung schon intern gewichtet ist. Jetzt breche ich mal das Problem auf "Wie reduziere ich eine Range anhand einer schon gewichteten Range?" runter.


      Wie reduziere ich eine Range anhand einer schon gewichteten Range?

      Hierzu bemühe ich wieder das 2. Beispiel, diesmal aber mit abgeänderter, gewichteter erster Range:
      Range1 = { 50%:AA, 100%:KK }, soll heißen: In der Range sind 50% der Aces und 100% der Kings enthalten => 9 Kombos
      Range2 = { AA }

      Jetzt das Problem:
      Reduziere ich AA um 0 Karten => dann bleiben 6 Kombos übrig
      Reduziere ich AA um 1 Karte => dann bleiben 3 Kombos übrig
      Reduziere ich AA um 2 Karten => dann bleiben 1 Kombo übrig
      Reduziere ich AA um 3 Karten => dann bleiben 0 Kombos übrig
      Das Ganze ist leider nicht linear :evil:

      Was macht man, wenn man (wie in diesem Fall) um 0.5 Karten reduzieren will?
      Wie viele Kombos bleiben da übrig?

      Für Suiteds stellt sich diese Frage nicht, da dort die Reduzierung linear ist (0->4, 1->3, 2->2, 3->1, 4->0). Für Offsuits hab ichs noch gar nicht durchgespielt.


      Lange Rede kurzer Sinn ... HILFE
    • kriegshahn
      kriegshahn
      Bronze
      Dabei seit: 17.02.2007 Beiträge: 4.013
      Original von nopi
      Original von kriegshahn
      Man kann sowas mit einen Programm von der Konkurrenz (Cardrunners EV) simulieren. Wenn Du genau schreibst, was dich interessiert, kann ich es mal eintippen.
      Bist Du sicher, dass CREV sowas kann?
      Bsp1: Range1 = { QQ+ }, wie sind in einer zweiten Range AA, AKo oder AKs gewichtet?
      Bsp2: Alle folden zum Button. Wir geben dem MP2 genau die inverse Openingrange, da er ja gefoldet hat, ... analog MP3 und CO. Wie sind in der BU-Range alle Einzelkombos (169) gewichtet. Sicher sind Aces deutlich höher gewichtet, wie z.B. die deuces.
      usw.
      Bsp3: Rangebasierter Cardremoval über mehr als zwei Ranges.

      Original von kriegshahn
      ...RFI...
      Was meinste denn mit RFI?


      Danke und Gruß, nopi

      CR EV kann das insofern, dass man sich eine Simulation basteln kann, die die gewünschten Ergebnisse liefert. Eine Funktion für Cardremovel ist wie hier gesucht ist aber nicht implementiert.
    • kriegshahn
      kriegshahn
      Bronze
      Dabei seit: 17.02.2007 Beiträge: 4.013
      Original von nopi

      Will ich nun eine dritte Range anhand der zwei Ranges davor reduzieren, so habe ich eine erste Range ohne Wichtungen und ein zweite Range, die durch Reduzierung schon intern gewichtet ist. Jetzt breche ich mal das Problem auf "Wie reduziere ich eine Range anhand einer schon gewichteten Range?" runter.


      Wie reduziere ich eine Range anhand einer schon gewichteten Range?

      Hierzu bemühe ich wieder das 2. Beispiel, diesmal aber mit abgeänderter, gewichteter erster Range:
      Range1 = { 50%:AA, 100%:KK }, soll heißen: In der Range sind 50% der Aces und 100% der Kings enthalten => 9 Kombos
      Range2 = { AA }

      Jetzt das Problem:
      Reduziere ich AA um 0 Karten => dann bleiben 6 Kombos übrig
      Reduziere ich AA um 1 Karte => dann bleiben 3 Kombos übrig
      Reduziere ich AA um 2 Karten => dann bleiben 1 Kombo übrig
      Reduziere ich AA um 3 Karten => dann bleiben 0 Kombos übrig
      Das Ganze ist leider nicht linear :evil:

      Was macht man, wenn man (wie in diesem Fall) um 0.5 Karten reduzieren will?
      Wie viele Kombos bleiben da übrig?

      Für Suiteds stellt sich diese Frage nicht, da dort die Reduzierung linear ist (0->4, 1->3, 2->2, 3->1, 4->0). Für Offsuits hab ichs noch gar nicht durchgespielt.


      Lange Rede kurzer Sinn ... HILFE
      Letzteres könnte man folgendermaßen machen:
      Man zerlegt Range1 in einzelne Hände und berechnet die entsprechenden W'keiten für Range2. Dann gewichtet man die erhaltenen W'keiten entsprechend der Häufigkeiten der einzelnen Hände in Range1.
    • Django3
      Django3
      Bronze
      Dabei seit: 16.10.2009 Beiträge: 1.339
      Original von nopi
      Jetzt das Problem:
      Reduziere ich AA um 0 Karten => dann bleiben 6 Kombos übrig
      Reduziere ich AA um 1 Karte => dann bleiben 3 Kombos übrig
      Reduziere ich AA um 2 Karten => dann bleiben 1 Kombo übrig
      Reduziere ich AA um 3 Karten => dann bleiben 0 Kombos übrig
      Das Ganze ist leider nicht linear :evil:

      Was macht man, wenn man (wie in diesem Fall) um 0.5 Karten reduzieren will?
      Wie viele Kombos bleiben da übrig?
      Hier hilft uns der Binomialkoeffizient , wobei n die Anzahl der übrigen Karten sind und k die Anzahl der Karten, die wir auswählen (bei Texas Hold'em logischerweise immer 2). Berechnet wird das ganze dann nach dieser Formel hier:



      Für dein Beispiel wo AA um 0.5 Karten reduziert wird ist n=3.5 und k=2 und damit erhältst du 4.375 Kombinationen AA, die übrig bleiben.
    • cjheigl
      cjheigl
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 09.04.2006 Beiträge: 24.496

      Hierzu ein Beispiel:
      Range1 = { AKs }
      Range2 = { AA }
      AA reduziert um AdKd => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AhKh => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AsKs => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AcKc => 1 Kombo bleibt übrig
      => Im Mittel bleiben also 1 Kombo in AA übrig
      => Man wichtet also AA mit 16.6%, da nur eine der urspünglich 6 Kombos noch enthalten ist.
      Das verstehe ich nicht ganz, denn es sollten jeweils 3 Kombos übrig bleiben.

      AA reduziert um AdKd -> bleiben A A, A A und A A = 3 Kombos übrig.
      Die anderen entsprechend.

      Reduzierung um 0,5 Karten:
      Mit meiner Methode aus meinem letzten Post sollte das kein Problem sein, weil man immer nur mit ganzzahligen Karten rechnet. Die Reduzierung um 0,5 Karten entspricht einer Verteilung der Wahrscheinlichkeiten über die Anzahl der Karten, über die reduziert werden muss.

      Beispiel 1:
      0,5 Karten zu reduzieren kann sein
      50% um 0 Karten reduziert
      50% um 1 Karte reduziert

      Geht es um AA, das um 0,5 Asse reduziert wird, rechnet sich das zu
      50% * 6 Kombos + 50% * 3 Kombos = 4,5 Kombos.
      Das unterscheidet sich übrigens vom Ergebnis der binomischen Formel. Ich denke, die ist hier auch nicht anwendbar. Beweis im nächsten Beispiel.

      Beispiel 2:

      Eine Reduktion um 0,5 Asse könnte auch aus folgender Verteilung kommen:
      0: 75%
      1: 0%
      2: 25%
      3 = 4: 0%

      Daraus resultieren
      75% * 6 + 25% * 1 = 4,75 Kombos für AA.

      Diese Verteilung ist nicht so unrealistisch wie sie aussieht, siehe Beispiel 3. Sie zeigt, dass es auf die Verteilung ankommt, weil sich das Ergebnis von Beispiel 1 unterscheidet. Die Angabe um 0,5 Asse zu reduzieren ist nicht ausreichend, um korrekt reduzieren zu können. Wir müssen tatsächlich ausrechnen, wie oft um 0, 1, 2, 3, 4 Asse mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten reduziert werden muss. Zum Glück können wir das, weil wir die Ranges kennen.

      Beispiel 3:
      Range1 = 50% AA, 100% KK = insgesamt 9 Kombos
      Range2 = AA

      Wir rechnen erst mal aus, wie sich die Wahrscheinlichkeiten für die Reduktion verteilen. Aus Range1 geht hervor, dass entweder um 0 Asse oder um zwei Asse reduziert werden muss. Um 1 Ass muss nie reduziert werden, weil in Range1 keine Kombo mit nur einem Ass existiert.

      Also:
      0 Asse: 6/9 = 66,7%
      2 Asse: 3/9 = 33,3%
      -> 66,7*6 + 33,3*1 = 4,335 Kombos

      Beispiel 4:

      Range1 = 50% AA, 60% AKs, 70% KK
      Range2 = AA

      Jetzt sind die Zahlen mal etwas krummer und es sind auch Kombos mit nur einem Ass dabei. Range1 schlüsselt sich auf in
      2 Asse = 50% * 6 Kombos = 3
      1 Ass = 60% * 4 Kombos = 2,4
      0 Asse = 70% * 6 Kombos = 4,2

      Insgesamt 3 + 2,4 + 4,2 = 9,6 Kombos
      Damit ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten zu
      2 Asse = 3/9,6 = 0,3125
      1 Ass = 2,4/9,6 = 0,25
      0 Asse = 4,2/9,6 = 0,4375

      -> Reduktion für Range2 = 0,3125*1 + 0,25*3 + 0,4375 * 6 = 3,6875

      Trotz krummer Zahlen bleibt alles leicht beherrschbar.

      Beispiel 5:

      3 Ranges:

      Wenn man Range1 und Range2 hat, um die Range3 reduziert werden soll, dann hat man das Problem, dass Range1 und Range2 auch schon voneinander abhängen und sich gegenseitig reduzieren. Ich denke, diese Reduktion ist kommutativ, so dass es egal ist, mit welcher Range man anfängt.

      Man kann aber das ganze Verfahren iterativ anwenden und das macht es leicht beherrschbar.

      Man erhält folgende Kette:

      Range1 Wahrscheinlichkeit Asse 0: x0 -> Range1 Anzahl der Asse 0: y00
      ........................................................................................1: y01
      ........................................................................................2: y02
      Range1 Wahrscheinlichkeit Asse 1: x1 -> Range1 Anzahl der Asse 0: y10
      ........................................................................................1: y11
      ........................................................................................2: y12

      usw. bis man alle y(i,j) für i,j = 0,..,2 ausgerechnet hat.

      Sei Z= Gesamtanzahl der Kombos für (Range1 x Range2)

      Dann summiert man für die gesuchten gesamten Wahrscheinlichkeiten erst mal die Kombos
      0 Asse: y00
      1 Asse: y01+y10
      2 Asse: y02+y11+y20
      3 Asse: y12+y21
      4 Asse: y22

      Auf die Wahrscheinlichkeiten für Range1+Range2 kommt man, in dem man die so gewonnene Zahl der Kombos durch Z teilt. Ab da geht es dann wie in Beispiel 4 weiter.

      Also
      0 Asse: y00 / Z = y0 = Wahrscheinlichkeit, dass in Range1 und Range2 kein Ass vorkommt
      -> Range3 muss für diese Wahrscheinlichkeit nicht reduziert werden.

      Dieses Verfahren kann leicht für noch mehr Ranges erweitert werden.

      4 Ranges:

      Da man aus Range1 und Range 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen für 0, 1, 2, 3, 4 Asse bekommt, kann man diese verwenden, um für Range3 z01 - z22 auszurechnen. Das geht analog zu oben.

      Der Rechenaufwand dieses Verfahrens steigt nur mit O(n), mit n = Anzahl unterschiedlicher Ranges, was ganz nett ist.

      Darstellung

      Ich finde die Darstellung in der Kartenmatrix mit einer Dezimale hinter dem Komma gut. Eine andere Möglichkeit wäre, eine Kombo mit einer Prozentzahl darzustellen, aber da man sich am Ende doch für die Anzahl der Kombinationen über die gesamte Range interessiert, ist die Prozentzahl nur für die Range1 aus den obigen Beispielen brauchbar, wenn die Range einstellt, um die reduziert werden soll.

      So a la der Gegner raist AA zu 80% und zu 20% callt er, und da er geraist hat, hat er die AA Kombos mit 80%. Die Möglichkeit einer solchen Feineinstellung würde ich in das Auswahlfenster für die Farbwahl der Karten setzen, weil man meistens gar keine Feineinstellung haben will, sondern ein schnelles Ergebnis.
    • nopi
      nopi
      Gold
      Dabei seit: 18.08.2006 Beiträge: 1.702
      Original von cjheigl

      Hierzu ein Beispiel:
      Range1 = { AKs }
      Range2 = { AA }
      AA reduziert um AdKd => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AhKh => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AsKs => 1 Kombo bleibt übrig
      AA reduziert um AcKc => 1 Kombo bleibt übrig
      => Im Mittel bleiben also 1 Kombo in AA übrig
      => Man wichtet also AA mit 16.6%, da nur eine der urspünglich 6 Kombos noch enthalten ist.
      Das verstehe ich nicht ganz, denn es sollten jeweils 3 Kombos übrig bleiben.

      AA reduziert um AdKd -> bleiben A A, A A und A A = 3 Kombos übrig.
      Die anderen entsprechend.
      ...
      Du hast natürlich recht ... war Murks, was ich da gechrieben habe.

      Den Rest schau ich mir mal im Laufe des Tages an ... zunächst mal Danke :)
    • nopi
      nopi
      Gold
      Dabei seit: 18.08.2006 Beiträge: 1.702
      @cjheigl:
      yupp ... genau das scheint die richtige Methode zu sein :)

      Leicht assig scheinen mir aber noch die Suiteds und die Offsuits.
      Man kann hier nicht einfach so sagen "ich reduziere um ein Ass und um einen King". Hier müssen die Farben auch noch betrachtet werden. Es ist ja ein Unterschied, ob ich AKs um Ad,Kd reduziere, oder ob ich um Ad,Kh reduzieren ... analog bei den Offsuits.

      Auf den ersten Blick siehts für mich so aus, als müsste man jede Einzelhand (1326) gegen jede Kombo (169) betrachten ...
      Beinhaltet die zweite Range auch Einzelkarten ala (KK+, QdQh), dann muß man wohl jede Hand gegen jede Hand betrachten ... hmmm
      Wenn die zweite Range schon (user-)gewichtet ist, was ist dann?
      ... ach menno

      ... doch nicht ganz so simpel, wie ich gehofft habe :evil:

      Gruß, nopi
    • nopi
      nopi
      Gold
      Dabei seit: 18.08.2006 Beiträge: 1.702
      aus aktuellem Anlass ;) ... ausgrabermente :)

      @cjheigl:
      Leider haut das mit dem einfach Zählen der Vorkommen einer jeden Karte nicht hin.

      Bsp. 1:
      Range 1: AKs
      Range 2: AKs
      => In Range 2 bleiben 3 Kombos AKs übrig = 75%

      Bsp. 2:
      Range 1: AKo
      Range 2: AKs
      => In Range 2 bleiben diesmal nur 2 Kombos AKs übrig = 50%
      und das obwohl in beiden Beispielen jeweils 50% Asse und 50% Könige enthalten sind.

      Man muß also tatsächlich auch die Suits betrachten ... :evil:


      Ich bleib' am Ball :)