*** to do: Der Beweis: Poker ist kein Glücksspiel ***

    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      Hey Leute,

      ich möchte ein mathematisches Framework schaffen, mit dessen Hilfe ich effektiv den Unterschied zwischen Glücks- und Strategiespielen erfassen kann um dann leztlich zu zeigen, dass Poker kein Glücksspiel ist.

      Ich glaube folgendes ist ein guter Ansatz:

      1) Grundsätzlich

      Nehmen wir Poker wie wir es kennen und definieren wir die Zufallsgröße G(x,n) als des Resultat eines Spieler mit Skill x nach 100*n Händen.

      Für x gilt dabei folgendes: x liegt zwischen 0 und 1 bzw zwischen 0 und 100%. Ein Spieler mit x = 1 ist besser als 100% aller Spieler. Ein Spieler mit x = 0.7 ist besser als die bottom 70% aber schlecher als die top 30%.

      Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass in einem Spiel wie Schach ein Spieler mit höherem Skill grundsätzlich nicht verlieren kann, sondern schlimmstenfalls Remi spielt. D.h. hier geht es nicht ums ELO Rating, sondern um die konkrete Performance eines Spieler in der jeweiligen Partie.


      1.1) Definitionen:

      Es gilt, folgende Begriffe zu definieren
      1. Den Erwartungswert eines Spieler mit Skill x ohne Rake/Gebühren
      2. Strategiefaktor: Wie stark beeinflusst der Skill den EV?
      3. Glücksfaktor: Wie hoch ist die Varianz im Vergleich zum EV?
      4. Der Glück/Skill-Quotient.
      5. Average EV: Wie hoch ist der EV eines Durchschnittsspieler?


      1) EV(x) = E(G(x,1)) = Lim (n->unendlich) [G(x,n)] | nach Gesetz der großen Zahlen.

      2) Für den Skillfaktor F gilt:

      S = VAR(EV) = Integral (0 bis 1) [EV(x) - EV(0.5)]^2

      3) Für den Glücksfaktor L gilt:

      L = Integral (x = 0 - 1) [Var[G(x,1)]] = Integral (x = 0 - 1) [G(x,1)-E(G(x,1))*P(G(x,1))]^2 = Integral (x = 0 - 1) [G(x,1)-EV(x)*P(G(x,1))]^2

      Vereinfacht können wir hier auch einfach die Varianzanzeige im PokerTracker nehmen. Dann würden wir die Annahme machen, dass die Varianz unabhängig von der Spielstärke ist.

      4) Q = L/S

      5) A = EV(0.5)


      1.2) Beispiele:


      1) Schach
      -1 = Loss, 0 = Remis, 1 = Win

      Grob sollte für ein Spiel gegen einen Spieler mit Performance 0.5 gelten:
      EV(x) = -1 für x < 0.4
      EV (x) = 0 für 0.4 < x < 0.6
      EV (x) = 1 für x >0.6

      S = 0.8
      L = 0
      Q = 0 (reines Strategiespiel)
      A = 0

      2) Roulette

      Sagen wir wir setzen 1 Stück. Dann ist

      EV(x) = -0.02 für alle x.

      S = 0
      L = keine Ahnung, größer 0 auf jeden Fall
      Q = unendlich (reines Glücksspiel)
      A = -0.02

      3) Poker

      EV(x) = abhängig von x, je höher x desto höher EV x, Range von - 10 BB/100 bis + 5 BB/100 (ohne Rake)

      S > 0, wie viel müsste man ausrechnen
      L > 0, wie viel müsste man ausrechnen
      Q = größer 0 aber nicht unendlich. Hier haben wir also sowohl Glücks- als auch Strategieelemente. Interessant ist nun: wie groß müsste unsere sample size sein, damit S > L wird?

      A = 0 oder leicht negativ, kommt drauf an ob die Winrates beim Rake-Free Poker normalverteilt sind.
  • 129 Antworten
    • TheOneAndOnlyMarkus
      TheOneAndOnlyMarkus
      Bronze
      Dabei seit: 20.02.2006 Beiträge: 3.784
      Ob es ein Glücksspiel ist oder nicht ist einzig und allein davon abhängig wie man 'Glücksspiel' definiert. Macht man es so wie z.B. in SSH ist es eins, macht man es so wie du dir es vorstellst ist es keins.
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      Original von TheOneAndOnlyMarkus
      Ob es ein Glücksspiel ist oder nicht ist einzig und allein davon abhängig wie man 'Glücksspiel' definiert. Macht man es so wie z.B. in SSH ist es eins, macht man es so wie du dir es vorstellst ist es keins.
      Bitte keine Grundsatzdiskussion, ich möchte hier eine Art konstruktive Work-Group schaffen ;)
    • TheOneAndOnlyMarkus
      TheOneAndOnlyMarkus
      Bronze
      Dabei seit: 20.02.2006 Beiträge: 3.784
      Aber du wirst mir doch sicher zustimmen, dass ein mathematischer Beweis ohne gründliche Definition der benutzen Begriffe einfach sinnlos ist. Ich kann genauso wenig zeigen dass eine Folge konvergiert wenn ich den Beriff "Konvergenz" nicht sauber definiert habe genau wie ich auch nicht zeigen kann das Poker ein/kein Glücksspiel ist wenn ich den Beriff "Glücksspiel" nicht sauber definiert habe. Ich glaube ich bin durchaus in der Lage auch aus mathematischer Sicht hier etwas beizutragen, wenn die nötigen Rahmenbedingungen geschaffen werden.

      Falls ich dir jetzt deinen Thread kaputt mache tu dir keinen Zwang an meine Beiträge zu löschen.
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      Original von TheOneAndOnlyMarkus
      Aber du wirst mir doch sicher zustimmen, dass ein mathematischer Beweis ohne gründliche Definition der benutzen Begriffe einfach sinnlos ist. Ich kann genauso wenig zeigen dass eine Folge konvergiert wenn ich den Beriff "Konvergenz" nicht sauber definiert habe genau wie ich auch nicht zeigen kann das Poker ein/kein Glücksspiel ist wenn ich den Beriff "Glücksspiel" nicht sauber definiert habe. Ich glaube ich bin durchaus in der Lage auch aus mathematischer Sicht hier etwas beizutragen, wenn die nötigen Rahmenbedingungen geschaffen werden.
      Klar, habe ja nicht umsonst Mathe studiert. Ich möchte hier erstmal ein klares Framework schaffen, mit dem man deutlich den Unterschied zwischen Schach, Poker, Skat, Roulette, Blackjack usw herausstellen kann.
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      Wir stellen uns die Frage, wie viel Prozent PG der Gewinner nach einer Spielrunde tatsächlich einen Wert von x > 0.5 haben.

      Bei S = 0 sind dies genau 50%.

      Bei L = 0 und S > 0 sind dies genau 100%

      Wie sieht diese Größe aus für die verschiedenen Werte von Q? Und haben zwei Spiele mit dem gleichen Q Wert auch immer den gleichen PG Wert?
    • hazz
      hazz
      Black
      Dabei seit: 13.02.2006 Beiträge: 4.771
      du hast doch schon werte wie ev und varianz in pt. wuerde da lieber aehnliche erfahrungswerte ausm schach/roulette etc nehmen. das ist die beste vergleichsmoeglichkeit.

      sehe uebrigens nen problem in deiner forderung nach max remis vs schlechtere und gleichzeitig von varianz reden?

      und wie kann beim schach der ev fuer 0.5 vs 0.4 0 sein?
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      Original von hazz
      du hast doch schon werte wie ev und varianz in pt. wuerde da lieber aehnliche erfahrungswerte ausm schach/roulette etc nehmen. das ist die beste vergleichsmoeglichkeit.
      Nein. Weil auch beim Roulette kann jemand nach 20k Spielen +EV sein, so wie beim Poker. Mit Werten allein lässt sich nicht zeigen, ob das nun Glück oder Skill war.
      Anders gesagt: Lasse ich 100 Leute für Zeit X Roulellte spielen, sind z.B. 40% im plus und 60% im minus. Beim Poker ist es ähnlich. Auch die Werte für EV und Varianz werden vergleichbar sein.


      sehe uebrigens nen problem in deiner forderung nach max remis vs schlechtere und gleichzeitig von varianz reden?
      Naja, eben. Deshalb ist beim Schach der Glücksfaktor ja auch 0.


      und wie kann beim schach der ev fuer 0.5 vs 0.4 0 sein?

      Die sogenannte Remisbreite. Beim Skill geht es hier nicht um einen ELO Wert, sondern um die Performance in der gespielten Partie. Ich habe einfach mal ne Remisbreite von 0.4 - 0.6 angenommen.
    • Kofi
      Kofi
      Bronze
      Dabei seit: 11.05.2006 Beiträge: 2.324
      Aber offensichtlich ist hier allem unklar, was du eigentlich zeigen möchtest.

      Ich verstehe es jetzt so, dass du (empirisch?) zeigen möchtest, dass bei Poker Q < unendlich gilt, dann wäre Poker nämlich nach deiner Definition kein Glücksspiel. Ist das korrekt?

      Dann wäre Black Jack aber ja beispielsweise kein Glücksspiel. Es gilt nämlich: EV(x) liegt im Intervall [-1, -0.475] und ist durchaus von x abhängig. Demnach ist offensichtlich S>0 und somit Q<unendlich (da auch L<unendlich).


      Noch zwei weitere Fragen: oben sprichst du vom Strategiefaktor, auf einmal heißt es Skillfaktor und dann auch noch mal F und mal S:

      2) Für den Skillfaktor F gilt:

      S = VAR(EV) = Integral (0 bis 1) [EV(x) - EV(0.5)]^2
      Und bei 1): Was bedeutet E(irgendwas)?
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      1) Blackjack ist auch kein Glücksspiel wie Roulette, sondern ein nicht schlagbares Strategiespiel mit Zufallskomponente.

      2) E von irgendwas ist schlichtweg der Erwartungswert von etwas.

      3) Ich möchte ein Framework schaffen, mit dem man formal die Unterschiede zwischen Poker, Blackjack, Roulette, Skat und Schach in Bezug auf Glück, Können und Gewinnmöglichkeiten erfassen kann.
    • NoSekiller
      NoSekiller
      Bronze
      Dabei seit: 29.08.2006 Beiträge: 7.727
      also ich glaube ich verstehe worauf du hinaus willst: ausrechnen, wie groß der Glücksanteil beim Poker ist und ab wieviel Händen der Strategieanteil größer ist.

      verstehe aber leider deine Vorgehensweise nicht ganz. Was für Werte sind der Skill- und der Glücksfaktor, also was genau bedeuten die (Definition?)? Und vorallem wie kommen die Formeln dafür zustande? Peile die leider nicht... =(
    • cjheigl
      cjheigl
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 09.04.2006 Beiträge: 24.495
      Falls das darauf hinauslaufen soll, dass Poker juristisch als Spiel anerkannt werden soll, bei dem der Zufallsfaktor keine ausschliessliche oder vorwiegende Rolle spielt, dann stösst man dabei auf die Schwierigkeit, dass bei der Beurteilung durch die Gerichte nicht der geübte Spieler, sondern der Durchschnittsspieler die massgebliche Rolle spielt. Und der verliert leider, weil er wenig Ahnung hat.

      Im Prinzip müsste es für den Nachweis, dass Poker kein Glücksspiel ist, ausreichen, wenn man eine Strategie formuliert, die auf lange Sicht mit Sicherheit gegen den Glücksfaktor gewinnt.

      Dazu braucht man zwei Dinge: Eine Strategie, die optimal wäre unter der Voraussetzung, dass Poker ein Glücksspiel ist (ich dachte dabei zuerst an die Maniac Strategie (Cap in allen Strassen bzw. all-in bei der ersten Gelegenheit, aber das haut mindestens NL nicht hin) und eine zweite Strategie, die diese erste Strategie unter realen Bedingungen mit Sicherheit schlägt.

      Die Maniac-Strategie ist bei NL keine optimale Strategie, weil sie dem Gegner die Wahl lässt, kleine Pötte zu verlieren oder grosse Pötte zu gewinnen. Damit lässt sich mit Leichtigkeit eine Strategie formulieren, die dagegen gewinnt (Equity >60 gegen random müsste dick reichen).

      Ich vermute, eine spieltheoretisch optimale Strategie, wenn Poker ein Glücksspiel wäre, ist eine "Bluff"strategie, die sich nach den Odds und der Equity gegen random richtet und ansonsten immer bis zum Showdown geht.

      Wenn die optimale Glücksspielstrategie von einer anderen Strategie zuverlässig geschlagen wird, dann kann das Spiel kein Glücksspiel sein.

      Ergänzung:

      Durch Computersimulationen wurde bereits gezeigt, dass es bessere und schlechtere Strategien gibt.

      Z. B. Poker as a Testbed for Machine Intelligence Research
      http://www.cs.ualberta.ca/~jonathan/Papers/Papers/ai98.poker.html
      Kapitel 5
    • BigStack83
      BigStack83
      Bronze
      Dabei seit: 15.12.2006 Beiträge: 6.715
      Original von hazz
      du hast doch schon werte wie ev und varianz in pt. wuerde da lieber aehnliche erfahrungswerte ausm schach/roulette etc nehmen. das ist die beste vergleichsmoeglichkeit.

      sehe uebrigens nen problem in deiner forderung nach max remis vs schlechtere und gleichzeitig von varianz reden?

      und wie kann beim schach der ev fuer 0.5 vs 0.4 0 sein?
      Wo finde ich das denn in PT?


      Topic ist mir ehrlich gesagt zu kompliziert. Der rein mathematische Teil des Pokerns ist ja noch zu übersetzen (je höher der Skill ist desto näher liegen EV und Equity für eine Hand zusammen, weil "höherer Skill=stochstisch korrekteres Spiel"), aber den Skill nur darüber zu definieren wäre viel zu einfach, da fehlt ja noch das ganze bluffen.
    • Kofi
      Kofi
      Bronze
      Dabei seit: 11.05.2006 Beiträge: 2.324
      Ich versuch mal die Formeln zu erklären:

      Der Erwartungswert des Skills x ergibt sich ganz einfach aus der durchschnittlichen Winrate wenn die Samplesize gegen unendlich strebt.

      Stell dir jetzt die Differenz des EVs von x und des EVs von 0.5 als Kurve vor. Der Skillfaktor ist ganz einfach die Fläche unter dieser Kurve. Allerdings muss die Kurve vorher normiert werden, weil sie ja teilweise negativ ist. Dies geschieht durch quadrieren.

      Was Korn mit dem Glücksfaktor angestellt hat versteh ich nicht so ganz, aber es ist wohl irgendwie einfach die Fläche unter der Kurve des Zufallsergebnisses.

      @cjheigl: Wie willst du denn den Glücksfaktor vom Strategiefaktor lösen? Ich kann mir nicht vorstellen, wie man sagen könnte, dass eine Strategie gegen den Glücksfaktor gewinnt.

      /edit: Antwort auf Bigstack:

      Original von BigStack83
      Topic ist mir ehrlich gesagt zu kompliziert. Der rein mathematische Teil des Pokerns ist ja noch zu übersetzen (je höher der Skill ist desto näher liegen EV und Equity für eine Hand zusammen, weil "höherer Skill=stochstisch korrekteres Spiel"), aber den Skill nur darüber zu definieren wäre viel zu einfach, da fehlt ja noch das ganze bluffen.
      Es geht hier gar nicht um EV von speziellen Händen oder um Equity. Und mit Skill ist nicht bluffen gemeint. Sondern er ist - absolut abstrakt - einfach das, was den Erwartungswert einer Pokerhand gespielt mit Skill x von dem Erwartungswert einer Pokerhand gespielt mit Skill y unterscheidet. Das ist so allgemein, dass die Definition nicht falsch sein kann, höchstens kann man die Kritik üben, dass man weder für einen Spieler genau angeben kann, dass er besser als x% der Spieler ist, noch seinen Erwartungswert genau angeben kann, da man nie eine unendlich große Samplesize hat.
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      @Kofi:

      Der Glücksfaktor ist einfach die Varianz aus PT, aber wir nehmen diese für alle Skill-faktoren X (denn ein Noob hab ggf. mehr Varianz als ein Pro) und gewichten diese.
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      Original von cjheigl
      Falls das darauf hinauslaufen soll, dass Poker juristisch als Spiel anerkannt werden soll, bei dem der Zufallsfaktor keine ausschliessliche oder vorwiegende Rolle spielt, dann stösst man dabei auf die Schwierigkeit, dass bei der Beurteilung durch die Gerichte nicht der geübte Spieler, sondern der Durchschnittsspieler die massgebliche Rolle spielt. Und der verliert leider, weil er wenig Ahnung hat.
      Darum geht es nicht. Es geht darum, warum der Durchschnittsspieler verliert. Weil er Pech hat? Oder weil er einfach zu schlecht war?

      Hier gilt es im Grunde auszurechnen, nach wie viel Hände die Chance für einen 1 BB/100 Spieler winning player zu sein größer als 90% ist, und umgekehrt, die Chance für einen -1 BB/100 Spieler im plus zu sein, kleiner als 10% ist.
      Oder andersrum: Sagen wir ein Spieler ist nach X Händen im Minus. Wie hoch ist dann die Chance, dass er kein 1 BB/100 Spieler ist, also einfach schlecht gespielt hat?

      Wäre super wenn einer von euch applied mathematicians hier mal die Formeln dafür reinstellen würde, also diese Wahrscheinlichkeiten in Abhängig von BB/100 und der Anzahl der gespielten Hände


      Nachzuweisen, dass Poker eine Skillkomponente hat ist einfach: wir lassen einfach zwei Bots gegeneinander spielen. Einer wird besser sein als der andere! Nur das reicht nicht aus, wir müssen zeigen, wie groß der Skillfaktor ist und zudem, dass auch der "Durchschnittsspieler" das Schicksal selbst in der Hand hat.
    • NoSekiller
      NoSekiller
      Bronze
      Dabei seit: 29.08.2006 Beiträge: 7.727
      Original von KornHier gilt es im Grunde auszurechnen, nach wie viel Hände die Chance für einen 1 BB/100 Spieler winning player zu sein größer als 90% ist, und umgekehrt, die Chance für einen -1 BB/100 Spieler im plus zu sein, kleiner als 10% ist.
      Oder andersrum: Sagen wir ein Spieler ist nach X Händen im Minus. Wie hoch ist dann die Chance, dass er kein 1 BB/100 Spieler ist, also einfach schlecht gespielt hat?
      2 BB/100 oder bin ich ein winning player ?

      ??
    • YourRedeemer
      YourRedeemer
      Bronze
      Dabei seit: 04.06.2006 Beiträge: 1.384
      Hier gilt es im Grunde auszurechnen, nach wie viel Hände die Chance für einen 1 BB/100 Spieler winning player zu sein größer als 90% ist, und umgekehrt, die Chance für einen -1 BB/100 Spieler im plus zu sein, kleiner als 10% ist.


      Dann wenn die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße BB/100 um mehr als 1 von ihrem EV abweicht kleiner als 10% ist.

      Vereinfacht können wir hier auch einfach die Varianzanzeige im PokerTracker nehmen. Dann würden wir die Annahme machen, dass die Varianz unabhängig von der Spielstärke ist.


      Und wenn wir das machen ist es doch ganz einfach, oder?
      Wir können dann einfach die tschebyschewsche Ungleichung anwenden und für Var(X) den Wert aus PT verwenden.

      Auf nicht empirischen Wege lässt sich die Varianz wohl nicht berechnen, da sie ja auch davon abhängt, wie unsere Gegner sich verhalten und nicht nur davon welche Karten wir kriegen und ob wir treffen.
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      Ja ;) Kann das mal einer von euch machen? ;) Ich hasse angewandte Mathematik.


      Wäre super wenn einer von euch applied mathematicians hier mal die Formeln dafür reinstellen würde, also diese Wahrscheinlichkeiten in Abhängig von BB/100 und der Anzahl der gespielten Hände
    • LordesQ
      LordesQ
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2007 Beiträge: 1.107
      Und du hast Mathe studiert? xD