Advanced Trinkspiel

    • ETBrooD
      ETBrooD
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      Dabei seit: 16.09.2009 Beiträge: 2.421
      Mir ist gerade ein mathematisches Rätsel in den Sinn gekommen, bei dem ich keine Ahnung habe, wie man auf die Lösung kommt. Ich hoffe ihr könnt mir helfen, ich finds recht interessant :)

      Ich hab über ein bekanntes Trinkspiel nachgedacht. Man wirft eine Münze in ein leeres Glas, und muss sie dabei vorher mindestens einmal auf dem Tisch abprallen lassen. Wenn die Münze ins Glas fällt muss der andere trinken. Verfehlt man darf er werfen. Nach jedem Treffer darf man erneut werfen. Das geht hin und her, bis alles weggetrunken ist.

      Jetzt habe ich mir ein hypothetisches Szenario mit 10 gefüllten Gläsern überlegt, bei dem Mr. Perfekt so geschickt ist, dass er bei jedem einzelnen Wurf eine 100% Chance hat zu treffen.
      Mr. Underdog käme dann nie an die Reihe und wäre ständig am saufen, also wird eine Regel eingeführt, dass Mr. Perfekt nie 2 Würfe hintereinander machen darf.
      Das ist allerdings für Mr. Underdog noch immer nicht fair, da seine Chance zu treffen niedriger ist.

      Mathematiker wissen, dass man mit einer Chance von <100% je Wurf über keine erdenkliche Menge Würfe jemals eine 100% Chance erlangen kann, außer man wirft unendlich oft.

      Mr. Underdog kommt sofort auf die Lösung und schlägt vor, dass er unendlich oft werfen darf, und damit die Chancengleichheit gewahrt bleibt. Nach einem Treffer ist wieder Mr. Perfekt dran, welcher einmal wirft, dann ist Mr. Underdog dran, und so weiter.

      Mr. Perfekt wirft ein, dass das langweilig ist. Er wird immer genau einmal werfen, dann wird Mr. Underdog unendlich oft werfen bis er trifft, und somit wird jeder einmal pro Runde treffen (und einmal trinken).

      Mr. Underdog stimmt zu und erklärt, dass er nicht unendlich oft werfen wird, und dass er nach dem ersten Treffer weiter werfen darf, bis er daneben wirft. So ist zumindest unklar, wann und wie oft pro Runde Mr. Perfekt trinken muss.

      Mr. Perfekt ist einverstanden, aber er und Mr. Underdog sind nicht klug genug (also ich :f_frown: ), um zu berechnen wieviele Freiwürfe Mr. Underdog bekommen soll. Es wird ein Thread auf pokerstrategy.de eröffnet und die Community befragt:

      Wieviele Freiwürfe muss Mr. Underdog haben, damit beide Spieler die gleiche Chance haben, das Trinkspiel zu gewinnen?
      Die Antwort darf mit einer beliebigen Trefferchance für Mr. Underdog gefunden werden, vorzugsweise ganze Zahlen von 1-99%


      PS: Es wird nach einem Durchgang und Chancengleichheit derjenige die bessere Gewinnchance haben, der den ersten Wurf macht. Deswegen werden zwei Durchgänge gespielt und der erste Wurf abgewechselt.

      Ich hoffe ihr könnt helfen :)
  • 27 Antworten
    • pg89
      pg89
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      Dabei seit: 05.04.2008 Beiträge: 6.002
      Denk mal morgen nochmal nüchtern drüber nach... Wenn Mr perfect jede Runde trifft, muss underdog auch jede Runde treffen. Unendlich viele Würfe sind also schon richtig, wenn man ihm ein Limit setzt, hat Mr perfect immer den höheren ev.
    • ETBrooD
      ETBrooD
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      Dabei seit: 16.09.2009 Beiträge: 2.421
      Darüber hab ich schon nachgedacht, das ist nicht die Lösung.
      Mr. Underdog bekommt mindestens einen weiteren Wurf, nachdem er getroffen hat, und ist fertig sobald er wieder verfehlt. Somit hat er - wenn er unendlich oft werfen darf bis er zum ersten Mal trifft - eine höhere Chance einen kompletten Durchgang zu gewinnen als Mr. Perfekt.
    • Tanzhase
      Tanzhase
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      Dabei seit: 14.02.2006 Beiträge: 1.360
      50%
    • kingpowl
      kingpowl
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      Dabei seit: 15.10.2006 Beiträge: 2.393
      Underdog hat 10% (sagen wir mal). Dann hat er 10 Würfe. Werfen und treffen kann er beliebig oft.
      Wenn du bei deiner Einschränkung bleiben willst, dass er maximal 2x treffen darf, wirds komplizierter.
    • Rubnik
      Rubnik
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      Dabei seit: 12.02.2006 Beiträge: 10.297
      Er darf ja nach dem ersten Treffer nur noch genau EINMAL werfen und soll am Ende genauso oft gewinnen wie Mr. perfect, die GesamtWS muss also bei 1,5 Treffern liegen imo.
    • kingpowl
      kingpowl
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      Dabei seit: 15.10.2006 Beiträge: 2.393
      Er darf ja nach dem ersten Treffer nur noch genau EINMAL werfen und soll am Ende genauso oft gewinnen wie Mr. perfect, die GesamtWS muss also bei 1,5 Treffern liegen imo.
      wir haben beide falsch gelesen. er darf nach dem ersten treffer beliebig oft weiterwerfen, bis er verfehlt.

      aber deinen zweiten teil versteh ich nicht.. der ev für die gesamte reihe muss obv bei _einem_ treffer liegen. soll doch fair sein?


      hab aber ehrlich gesagt kein bock mich damit auseinanderzusetzen, ist rel kompliziert^^ "binominalverteilung" und "markow kette" etc könnten dir vll weiterhelfen
    • Rubnik
      Rubnik
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      Dabei seit: 12.02.2006 Beiträge: 10.297
      ja, stimmt...
    • ETBrooD
      ETBrooD
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      Dabei seit: 16.09.2009 Beiträge: 2.421
      Original von kingpowl
      Underdog hat 10% (sagen wir mal). Dann hat er 10 Würfe. Werfen und treffen kann er beliebig oft.
      Wenn du bei deiner Einschränkung bleiben willst, dass er maximal 2x treffen darf, wirds komplizierter.
      1. Leider ist es nicht so einfach, denn 10% je Wurf über 10 Würfe ist nicht 100% sondern 1 - (0,9 hoch 10) = ~65%
      Selbst wenn es 100% wäre, wäre seine Trefferchance je Runde >100%, da er dann noch einen Wurf bekommt, und das darf nicht sein.

      2. Nach jedem Treffer darf Mr. Underdog weiter werfen (der andere Wortlaut dafür: nach dem ersten Treffer darf er weiter werfen, bis er verfehlt).

      Original von kingpowl
      Er darf ja nach dem ersten Treffer nur noch genau EINMAL werfen und soll am Ende genauso oft gewinnen wie Mr. perfect, die GesamtWS muss also bei 1,5 Treffern liegen imo.
      wir haben beide falsch gelesen. er darf nach dem ersten treffer beliebig oft weiterwerfen, bis er verfehlt.
      Genau :)

      aber deinen zweiten teil versteh ich nicht.. der ev für die gesamte reihe muss obv bei _einem_ treffer liegen. soll doch fair sein?
      Das dachte ich ursprünglich auch, aber da Mr. Underdog im aktuellen Regelwerk nicht unendlich viele Freiwürfe bekommt liegt seine Trefferchance <100%
      Anders gesagt, egal wie hoch seine Trefferchance ist und welche Anzahl Freiwürfe er bekommt, er wird mit seinen Freiwürfen nie zu 100% treffen.
      Aber: Da Mr. Underdog erneut werfen darf, nachdem er getroffen hat, kann man seine average Trefferchance auf 100% bringen => Grund: Er kann 2x oder öfter treffen. Wenn er also meistens 1x oder nicht trifft, und manchmal 2x oder öfter, dann kann er seinen average pro Runde auf 100% bringen.

      Ich hoffe das hilft den Genies unter uns, die Lösung zu finden :)
      Ich kanns nicht :(

      hab aber ehrlich gesagt kein bock mich damit auseinanderzusetzen, ist rel kompliziert^^ "binominalverteilung" und "markow kette" etc könnten dir vll weiterhelfen
      Schade, aber danke fürs Mitdenken :p
    • pg89
      pg89
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      Dabei seit: 05.04.2008 Beiträge: 6.002
      Ah, ich hatte es auch falsch verstanden... Dann vergiss meinen ersten Post :p
    • Tanzhase
      Tanzhase
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      Dabei seit: 14.02.2006 Beiträge: 1.360
      Hab mir die Frage jetzt auch noch mal genau durchgelesen ;-).
      Bei einer 50%en Trefferchance brauche ich genau einen Freiwurf. Man kann auch recht leicht eine Formel für den allgemeine Fall aufstellen, siehe (unendliche) Reihe als Ausgangspunkt.
    • Rubnik
      Rubnik
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      Dabei seit: 12.02.2006 Beiträge: 10.297
      Kann eig. auch nicht sein:
      in 50% der Fälle verliert er (kein Treffer beim Freiwurf)
      in 25% der Fälle unentschieden (Treffer - Fehlwurf)
      in 25% der Fälle gewinnt er (mit 2 oder mehr Treffern)

      Ist bei mir ja schon ewig her, aber müsste man für den 2. Teil (nach dem ersten Treffer) nicht eine Grenzwertbetrachtung machen? So dass der Grenzwert + die TrefferWS aus den Freiwürfen 1 ergibt?
      Und das wäre dann ja nur das Unentschieden, ob Gewinn und Verlust in dem Fall gleich wahrscheinlich sind möchte Ich jetzt nicht beurteilen müssen.
    • Tanzhase
      Tanzhase
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      Dabei seit: 14.02.2006 Beiträge: 1.360
      Das ist dann 1/2+1/4+1/8+1/16+... = 1
    • Soccout8
      Soccout8
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      Dabei seit: 09.11.2009 Beiträge: 511
      Ich Tipps auf 0 Freiwürfe bei 50% Wahrscheinlichkeit. Bin gerade am Handy darum keine ausführliche Erklärung. Reiche ich nach
    • Soccout8
      Soccout8
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      Dabei seit: 09.11.2009 Beiträge: 511
      Also EV ist dann nämlich IMO 0.25*1(1.Treffer 2. Daneben) + 0.125*2(Treffer/Treffer/Fehler) + 0.0625*3 (TTTF)+0.03125*4+..= 1
    • Tanzhase
      Tanzhase
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      Dabei seit: 14.02.2006 Beiträge: 1.360
      Original von Soccout8
      Also EV ist dann nämlich IMO 0.25*1(1.Treffer 2. Daneben) + 0.125*2(Treffer/Treffer/Fehler) + 0.0625*3 (TTTF)+0.03125*4+..= 1
      Meinst wohl das Gleiche wie ich, etwas anderer Rechenweg, aber wohl das gleiche Ergebnis.
    • ETBrooD
      ETBrooD
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      Dabei seit: 16.09.2009 Beiträge: 2.421
      Ich hab das eben ausgerechnet, damit komm ich auf <1 nach 13 Würfen (0,9990701477407...) oder >1 nach 14 Würfen (1,0033570503125)

      Hab ich einen Rechenfehler gemacht oder muss man nicht auf exakt 1 kommen?
    • Soccout8
      Soccout8
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      Dabei seit: 09.11.2009 Beiträge: 511
      Hast nen Rechenfehler:

      https://www.dropbox.com/s/j38zw2hhkyvzbqp/adv%20trinkspiel.xlsx?dl=0


      Ich schäme mich grade, dass ich hier aber nicht den limes berechnen kann..
    • ETBrooD
      ETBrooD
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      Dabei seit: 16.09.2009 Beiträge: 2.421
      Hmm alright. Ich muss noch immer dahinter kommen wie ich das Ganze verstehen kann. Danke fürs Mitmachen :f_thumbsup:
    • pg89
      pg89
      Bronze
      Dabei seit: 05.04.2008 Beiträge: 6.002
      Man muss aber nicht genau auf 1 kommen, oder? Das spiel kann einfach durch eine ganzzahlige, gleichbleibende anzahl an versuchen nicht zu 100% fair werden.
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