Top-Pair-Wahrscheinlichkeit bei gegebener Starthand

    • gausdal
      gausdal
      Bronze
      Dabei seit: 23.02.2006 Beiträge: 5
      Hallo zusammen,

      ich interessiere mich gerade für die Wahrscheinlichkeit, am Flop Toppair zu treffen. Sicher eine interessante Frage für die Mathe-Freaks.

      Bekannt ist, dass die Wkt. ein Paar zu floppen, bei etwa 32% liegt; ob dieses Paar Toppair ist, dürfte dann stark von der Höhe der Karten der eigenen Starthand abhängen.

      Extreme Beispiele sind hier die Starthände 32 und AK; bei ersterer trifft man nie toppair, bei letzterer genau dann, wenn man ein Paar flopt.

      Hat sich hier schonmal jemand Gedanken gemacht bzw. kennt sogar einen Chart bzw. eine Funktion, die dies leistet? Hab mir schon ein bisschen den Kopf zerbrochen (z.B. auch darüber, ob reicht, jede Karte der Starthand einzeln zu betrachten oder ob man dies als bedingte Wkt. ausdrücken kann, im Grunde sollte dies ein kombinatorisches Problem sein), aber auf die Schnelle nix herausgefunden.

      Wäre echt klasse, wenn hier jemand was hätte...

      Merci
  • 14 Antworten
    • HAVVK
      HAVVK
      Bronze
      Dabei seit: 29.12.2005 Beiträge: 18.323
      Zunächst mal noch die Frage: soll genau Top Pair getroffen werden oder zählen auch Hände die besser sind. Also nur Beispiel mit 32 trifft man theoretisch schon Top Pair, nämlich beim 322 Flop. Nur hat man da FH, willst du also dass man so einen Fall dann nicht zählt?
    • gausdal
      gausdal
      Bronze
      Dabei seit: 23.02.2006 Beiträge: 5
      Von mir aus auch Fälle die besser sind, wenn das die Lösung vereinfacht.
    • Destolon
      Destolon
      Bronze
      Dabei seit: 29.04.2006 Beiträge: 4.204
      was ich mich bei allen wahrscheinlichkeitsrechnungen hier immer wieder frage:

      Wie berücksichtigt man, dass die Gegner ja auch Hände halten, und dass diese Karten nicht völlig zufällig sind wenn man am flop ankommt, und schon gar nicht wenns dann weitergeht.
      Das gilt ja auch für outs etc...

      würde mich einfach mal interessieren...
    • TaZz
      TaZz
      Bronze
      Dabei seit: 27.01.2006 Beiträge: 10.665
      du weißt deine beiden karten, du weißt die karten vom board.
      rest ist unbekannt, also zufällig, so einfach...
    • Destolon
      Destolon
      Bronze
      Dabei seit: 29.04.2006 Beiträge: 4.204
      eben nicht.
      Sagen wir du hast 2 Asse, auf dem Flop ist kein A, und noch 5 Leute in der Hand. Ok wird jeder von selbst so schlau sein zu vermuten dass noch jemand eins haben könnte.
      Mathematisch betrachtet man es als unbekannt, daher zufällig, da aber ab der ersten Bet der Faktor Mensch dazukommt, ist es eben nicht mehr rein zufällig.

      (Dass es dann extrem kompliziert würde und man deswegen einfach rechnet als wären alle zufällig ist schon klar)
    • fritzIII
      fritzIII
      Bronze
      Dabei seit: 29.01.2006 Beiträge: 1.378
      Naja, da kommen dann die reads zum Zuge.

      Was hat die Person Pre-Flop für eine Aktion gemacht und wie passt das mit seinen Werten V$IP und PFR zusammen.
      Einfache Beispiele:
      - Ein Superfisch hat V$IP 50% PFR 0%. Dann könnte er alle Top 50% Handkombinationen halten. Also ein völlig zufälliges Blatt aus den besten 50% der möglichen Starthände.
      - Ein krasser Rock am Tisch hat eine V$IP von 10% und PFR 0% Er wird eine der besten 10% der Starthände Spielen
      - Ein TAG mit PFR 10% der raist, wird ebenfalls ca. eine Top 10% Hand Spielen
      - Ein Fisch mit V$IP 40% und PFR 10% der callt wird wohl eine Hand zwischen den TOP 60% bis 89% spielen.

      In sofern sind die Hände der Gegner nur bedingt zufällig
    • QuapeS
      QuapeS
      Bronze
      Dabei seit: 13.03.2005 Beiträge: 367
    • FrenzyPanda
      FrenzyPanda
      Bronze
      Dabei seit: 01.04.2006 Beiträge: 655
      Kleine Frage nebenbei, rein mathematisches Interesse oder spieltechnischer Hintergrund?
    • QuapeS
      QuapeS
      Bronze
      Dabei seit: 13.03.2005 Beiträge: 367
      bei mir interesse gepaart mit langweile in der vorlesung ;)
    • peppard
      peppard
      Bronze
      Dabei seit: 01.05.2005 Beiträge: 379
      Also hier mal die Lösung Edit: nur teilweise, da ich nur eine Art Top Pair zu treffen hier berücksichtige, Rest folgt :)

      Ich halte PH PL (Wert Pocket High, Wert Pocket low), kein Paar, also PH>PL.
      Der Flop muss kommen: PH, F1, F2 mit F1,F2 < PH
      (Alles ohne Beachtung der Farben)

      Sei k die Zahl der Kartenwerte kleiner als PH (also bei PH= 7 gilt k=5)

      Nun gibt es für PHx 3 Möglichkeiten und für (F1,F2) können 2 aus k*4-1 gewählt werden (-1, da PLx subtrahiert ewrden muss). Alles gilt ohne Beachtung der Reihenfolge.

      Also gilt ohne Beachtung von Two Pair, Trips oder Full House (Flush und Straight sind nicht möglich):
      P(~Top Pair am Flop | PH PL) = 3* choose(k*4-1,2) / choose(50,3)

      (choose(n,m) ist hier der Binomialkoeffizient, also z.B. choose(4,2)=6 etc.)


      Wenn wir Two Pair und Full House nicht beachten wollen, dürfen F1, F2 nicht den Wert von PL haben und selbst kein Paar sein.

      P(exakt Top Pair am Flop | PH PL) = 3* (choose(k*4-4,2)-(k-1)*choose(4,2)) / choose(50,3)


      Beispiel 72
      P(exakt Top Pair am Flop | 7 2)= 3*(choose(16,2)-4*6)/19600 = 0.01469388
      während
      P(~Top Pair am Flop | 7 2) = 0.02617347 ist.
    • hazz
      hazz
      Black
      Dabei seit: 13.02.2006 Beiträge: 4.771
      wenn ich mich nicht irre rechnest du nur aus PH zu treffen. du kannst aber auch gut mit AJ und J76 toppair halten.
    • gausdal
      gausdal
      Bronze
      Dabei seit: 23.02.2006 Beiträge: 5
      Hi,

      ich hatte die Frage aufgeworfen und wollte mich für die Beiträge bedanken und noch ein paar Fragen beantworten bzw. eine halbe neue aufwerfen:

      1. Die Frage entstand sowohl aus mathematischem Interesse (bin selber Mathematiker) als auch aus spieltechnischem Hintergrund. Ich hatte mit jemandem eine Beispielhand besprochen (Td8d), da tauchte die Frage auf.
      2. M.E. könnte man die beiden Startkarten unabhängig voneinander betrachten. Die letzte Lösung gefällt mir ganz gut; meine Idee wäre nun, die Werte für PH und PL zu berechnen. Treffe ich mit PL Toppair, habe ich noch eine Overcard (umso besser).
      3. Daraus ergibt sich die Frage: Kann ich die Werte für p(PL) und p(PH) dann arithmetisch mitteln um p(Starthand) zu bekommen (sorry für die Bezeichnungen, hab die Lsg gerade nicht vor mir)? Oder muss ich die Werte noch gewichten; es gibt ja mehr Ereignisse (Flops), die mir Toppair für PH=Q als für für PL=5 (z.B.) liefern (oder ist das egal bzw. bereits bei der Ermittlung der einzelnen Wkt berücksichtigt??).
    • peppard
      peppard
      Bronze
      Dabei seit: 01.05.2005 Beiträge: 379
      Original von hazz
      wenn ich mich nicht irre rechnest du nur aus PH zu treffen. du kannst aber auch gut mit AJ und J76 toppair halten.
      Völlig korrekt dein Einwand, ich habe mich zu sehr vom 72-Beispiel leiten lassen.

      Um mit PL Top Pair zu treffen, kann man nun dieselbe Rechnung nochmals verwenden, wenn k nun die Anzahl Werte kleiner PL bezeichnet. Man muss dann auch keinen Wert subtrahieren, weil PH ja größer ist.

      Die Beiden Wahrscheinlichkeiten für PH (exakte Version) und PL müssen dann addiert werden, da die Flops in beiden Fällen immer verschieden sind.

      Wenn ich nächste Woche wieder zuhause bin, schreib ichs nochmal richtig auf ...
    • peppard
      peppard
      Bronze
      Dabei seit: 01.05.2005 Beiträge: 379
      Also nochmal:

      Ich halte (PH,PL) mit PH > PL.
      Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für Top Pair am Flop (kein FH, kein Two Pair).

      Dies Ereignis kann auf zwei Arten eintreten:
      a) Flop (PH, F1,F2) mit F1 < F2 < PH und F1, F2 != PL
      b) Flop (PL, F3,F4) mit F3 < F4 < PL

      Es gibt choose(50,3) mögliche Flops und wir müssen zählen wie viele hiervon zu a) oder b) gehören.

      Wegen PH != PL sind die Mengen der Flops in a) und b) disjunkt. wir können also einfach addieren.

      Zu a): Sei kh die Anzahl der Werte kleiner PH. Einer von diesen ist PL. Für F1 und F2 verbleiben also kh-1 Werte mit je 4 Farben. Für PH verbleiben noch 3 Farben.
      Insgesamt für a) ergibt dies choose(kh-1,2) * 4^2 * 3 Flops.

      Zu b): Sei kl die Anzahl der Werte kleiner PL. F3 und F4 müssen hieraus gezogen werden. Für F3 und F4 verbleiben 4 Farben, für PL verbleiben 3 Farben.
      Insgesamt für b) ergibt das choose(kl,2) * 4^2 * 3 Flops.

      Demnach ist die Wahrscheinlichkeit
      P( Top Pair | PH, PL) = (choose(kh-1,2)+choose(kl,2)) *48 / choose(50,3)

      Beispiel 7 2 :
      kh=5, kl=0.
      P(Top Pair | 7 2 ) = choose(4,2)*48/19600 = 288/19600 = 0.014694

      Beispiel A K :
      kh=12, kl=11.
      P(Top Pair | A K ) = choose(11,2)*2*48/19600 = 5280/19600 = 0.269388