[MATHE] Pivotisieren

  • 17 Antworten
    • murmelmann
      murmelmann
      Bronze
      Dabei seit: 17.08.2007 Beiträge: 270
      2 Sekunden googeln:
      http://www.math.uni-bielefeld.de/birep/linalg/leit/loesen.htm
      Ist schon lange her, dass ich das an der Uni hatte - habs überflogen, müsste das aber sein!
    • Y0d4
      Y0d4
      Bronze
      Dabei seit: 03.05.2006 Beiträge: 12.154
      Wenn du regelmäßig in die LA1-Vorlesung deines Vertrauens gegangen wärst müsstest du jetz nich so doof fragen!!1
    • bibersuperstar
      bibersuperstar
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2007 Beiträge: 15.286
      Hab das in bielefeld auch mal gemacht und habs verstanden, dh, wenn selbst ich das verstehe, dann schaffts jeder :D
    • Dominik7
      Dominik7
      Bronze
      Dabei seit: 15.06.2006 Beiträge: 8.052
      Original von murmelmann
      2 Sekunden googeln:
      http://www.math.uni-bielefeld.de/birep/linalg/leit/loesen.htm
      Ist schon lange her, dass ich das an der Uni hatte - habs überflogen, müsste das aber sein!
      So nen Rotz find ich auch, aber ich brauch das an einem Beispiel ohne so nen Formeldreck da. :(
    • Henne87
      Henne87
      Bronze
      Dabei seit: 07.07.2005 Beiträge: 746
      Der "Formeldreck" zeigt dir aber die einzelnen Schritte :P

      Hab zwar kein Bsp aber vll ich versuch es mal in Worte zufassen:

      Bevor du den Gauß anwendest suchst du in der ersten Spalte die Zeile, die das betragsmäßig größte Element hat. Diese Zeile tauscht du mit der ersten Zeile und machst dann die Spalte darunter 0. Dann suchst du dir aus der 2. Spalte wieder die Zeile mit betragsmäßg größtem Eintrag und tausch die mit der 2. Zeile usw. Natürlich musst du bei den jeweiligen Spalten nur das Diagonalelement und die daraunterliegenden Elemente angucken.

      Edit: Ich gehe von einer regulären, also invertierbaren Matrix aus. Sonst muss nicht zwingend gelten, dass das Maximum der jeweiligen Spalteneinträge >0 ist.
    • murmelmann
      murmelmann
      Bronze
      Dabei seit: 17.08.2007 Beiträge: 270
      Original von Dominik7
      So nen Rotz find ich auch, aber ich brauch das an einem Beispiel ohne so nen Formeldreck da. :(

      Wenn ich wissen will wie man "7^3 + 4/2" rechnet, dann lern ich die Potenz-, Additions- und Divisiongesetze, und nicht was 7^3, 4/2 und anschließend 343 + 2 ergibt...
      Man lernt allgemeine Formeln, die man auf JEDES Problem anwenden kann.
    • Dominik7
      Dominik7
      Bronze
      Dabei seit: 15.06.2006 Beiträge: 8.052
      Das Einzige was mir noch fehlt ist der letzte Schritt wenn ich so weit bin wie hier:

      1 0 2 2

      0 1 -0,5 0

      0 0 2 3


      Wie komme ich jetzt drauf was als Ergebnis rechts neben der Einheitsmatrix stehen muss?

      1 0 0 ?

      0 1 0 ?

      0 0 1 ?
    • SWEBBO
      SWEBBO
      Bronze
      Dabei seit: 03.08.2006 Beiträge: 529
      also der gedanke hinter dem ganzen ist ja, dass du x1, x2 und x3 herausbekommst.

      Dazu stellst du zuerst die Staffelform her. Dabei muss in der obersten Zeile in der ersten Spalte eine 1 stehen. Dann in der zweiten Zeile an in der ersten Spalte eine 0 und in der zweiten eine 1 usw usw. Das erreichst du durchs Abziehen einer Zeile von der anderen (z.B. Zeile I - Zeile III) oder durch Multiplikation mit nem Faktor.

      Wenn du das fertig hast wird die Zeilenstufenform erzeugt: Ziel ist es, in der Spalte, in der eine solche 1 steht, außer der 1 nur noch Nullen zu haben. Also eine Pivotspalte zu erzeugen.

      Wenn du das geschafft hast, hast du halt die Einheitsmatrix und entsprechend viele Schlupfvariablen.

      Zu deinem Beispiel: Ist die 4. Spalte noch zur Matrix, ist also x4 oder ist das dann der entsprechende b Wert der Zeile? Wenns der b-Wert ist, kann ich dir das Beispiel mal durchrechnen
    • csTFG
      csTFG
      Bronze
      Dabei seit: 29.03.2007 Beiträge: 6.456
      Die Lösung findest du durch "Rückwertseinsetzen" der einzelnen Werte des linearen Gleichungssystems. Dein gegebenes System reicht dafür schon aus.
      Deine Darstellung erreichst du hierdurch:
      Von der ersten Zeile subtrahierst du die dritten Zeile, zur zweiten addierst du das 1/4-fache der dritten Zeile. Danach teilst du die dritte durch 2.
    • Dominik7
      Dominik7
      Bronze
      Dabei seit: 15.06.2006 Beiträge: 8.052
      Original von csTFG
      Die Lösung findest du durch "Rückwertseinsetzen" der einzelnen Werte des linearen Gleichungssystems. Dein gegebenes System reicht dafür schon aus.
      Deine Darstellung erreichst du hierdurch:
      Von der ersten Zeile subtrahierst du die dritten Zeile, zur zweiten addierst du das 1/4-fache der dritten Zeile. Danach teilst du die dritte durch 2.
      Das wäre aber dann "durch einsetzen" und nicht durch pivotisieren gelöst oder? Oder ist eben der Sinn des pivotisierens dass man am ende noch kurz einsetzt und dann die Variablen kennt?

      @SWEBBO:

      Die rechts Spalte ist die "Ergebnisspalte", handelt sich um eine 3x3 Matrix.
    • Henne87
      Henne87
      Bronze
      Dabei seit: 07.07.2005 Beiträge: 746
      Pivotisieren hat nix mit dem einsetzen am ende zu tun. Man Pivotisiert, um das jeweils betragsmäßig größte Element der zu betrachtenden Spalte auf der Diagonalen stehen zu haben. Und da du schon Dreiecksform hast kannst du wie csTFG bereits schreib einfach durch Rückwärtseinsetzen die lösung bekommen.
      Also 2*x3=3 und das dann in die zeile drüber einsetzen und so x2 und dann x1 zu berechnen.
    • SWEBBO
      SWEBBO
      Bronze
      Dabei seit: 03.08.2006 Beiträge: 529
      Also zum Beispiel:

      1 0 2 | 2
      0 1 -0,5 | 0
      0 0 2 | 3 :2

      Hier ist es in Staffelform, erkennt man daran, dass die Einsen an der richtigen Position sind. Nun wird das ganze in die Zeilenstufenform überführt.
      1 0 2 | 2 - 2 III
      0 1 -0,5 | 0 + 0,5 III
      0 0 1 | 1,5

      Hier ist nun die Einheitsmatrix erreicht, die Matrix ist in Zeilenstufenform, also kannst du die Ergebnisse ablesen.
      1 0 0 | -1
      0 1 0 | 0,75
      0 0 1 | 1,5

      Aufpassen musst du gerade bei wirtschaftlichen Berechnungen, da hier x1 negativ ist und das meist nicht zulässig ist. Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet.
    • trpk
      trpk
      Bronze
      Dabei seit: 12.07.2006 Beiträge: 254
      Anmerkung am Rande: Pivotisieren macht beim Rechnen von Hand keinen Sinn. Bei der Umsetzung am Rechner wird durch Pivotisieren die Stabilität erhöht, da Rundungsfehler verkleinert werden.
    • Dominik7
      Dominik7
      Bronze
      Dabei seit: 15.06.2006 Beiträge: 8.052
      Ah habs jetzt verstanden, sehr gut!!!

      THX a lot
    • Dominik7
      Dominik7
      Bronze
      Dabei seit: 15.06.2006 Beiträge: 8.052
      Original von trpk
      Anmerkung am Rande: Pivotisieren macht beim Rechnen von Hand keinen Sinn. Bei der Umsetzung am Rechner wird durch Pivotisieren die Stabilität erhöht, da Rundungsfehler verkleinert werden.
      Hm unser Prof macht das immer so und geht imho auch schneller wenn man keinen GTR oder sowas zur Hand hat.
    • SWEBBO
      SWEBBO
      Bronze
      Dabei seit: 03.08.2006 Beiträge: 529
      Hm der Simplex-Algorithmus baut doch afaik auf Pivotisieren auf. In der Praxis wird dieser zwar mit Programmen ungesetzt, aber allein für den Vorgang wird ja Pivotisieren benötigt oder irre ich mich jetzt?
    • trpk
      trpk
      Bronze
      Dabei seit: 12.07.2006 Beiträge: 254
      Nein, es geht nicht schneller, da durch Pivotisieren viel häufiger Bruchrechnungen auftreten. Wenn man auf Pivotisieren verzichtet, kann man oft in ganzen Zahlen rechnen, was zumindest bei mir schneller geht.