An "..., dass es mich nicht friert." ist nichts falsch. Es hört sich nur unrichtig oder komisch an, weil es im alltäglichen sprachgebrauch nicht vorkommt und deshalb ungewohnt ist. Das sprachgefühl vermittelt halt den eindruck es sei falsch. Die form "..., dass ich nicht friere." hört man natürlich öfters, schon allein deshalb weil es kürzer ist

, was allerdings wie gesagt nicht heißt, dass die andere form falsch ist