Kleines Analysis-Problem

    • Thurisaz
      Thurisaz
      Bronze
      Dabei seit: 15.07.2006 Beiträge: 16.587
      Weiß jemand wie ich die Potenzreihe von f(x) = sinc(x) = sin(x)/x elementar besimmen kann, d.h. nicht einfach indem ich die Potenzreihe des sin(x) durch x teile?

      Ich hab die n-te Ableitung von f(x) bestimmt, das ist die Summe((-1)^i*[sin(x + (n - i)*pi/2)/x^(i + 1)]*[n!/(n - i)!]]) von i = 0 bis n. Die muss ich jetzt in die Summenformel für die Taylorreihe einsetzen, also Summe([f^(n)(0)/i!]*x^i). f^(n)(0) ist die n-te Ableitung von f in 0.

      Aber jetzt hänge ich fest, weil die Funktion und damit die Ableitung in 0 gar nicht definiert ist bzw. man sie stetig ergänzen (mit 1). Ich müsste ja durch 0 teilen, wenn ich das in die Summenformel der n-ten Ableitung einsetze.

      Wie komm ich weiter?

      Thurisaz
  • 13 Antworten
    • Cyclonus
      Cyclonus
      Bronze
      Dabei seit: 17.01.2005 Beiträge: 1.414
      Vielleicht Satz von l'Hospital?
      Oder einfach um einen anderen Punkt als Null entwickeln?
    • Larloch
      Larloch
      Bronze
      Dabei seit: 26.12.2006 Beiträge: 1.339
      die Funktion ist nach 0 vorsetzbar, nämlich ist sie da 1
      l'Hospital macht das schnell klar

      wie du auf deine ABleitung kommst ist mir übrigens schleierhaft ;)
    • FloJi
      FloJi
      Bronze
      Dabei seit: 08.10.2007 Beiträge: 1.204
      Wow, was ist das für ein Limit ?

      Ich hatte Mathe-LK bei meinem Abi 2004, was ich nachhaltig geschlagen hab, aber das ist mir zu hoch ?( total verwirrt bin....
    • osk5
      osk5
      Bronze
      Dabei seit: 22.09.2006 Beiträge: 544
      hab jetzt zwar keine Lust nachzudenken, aber die Funktion kannst du sicher nach 0 fortsetzen.
      Schau dir einfach die Definition an, sollte ziemlich an den Differenzenquotienten des Sinus erinnern, somit kennst du auch die stetige Fortsetzung in 0, nämlich cos 0 = 1.
    • Larloch
      Larloch
      Bronze
      Dabei seit: 26.12.2006 Beiträge: 1.339
      ok wie kommst du auf die Ableitung? :D
    • osk5
      osk5
      Bronze
      Dabei seit: 22.09.2006 Beiträge: 544
      die Ableitung von sin ist cos und f ist der Differenzenquotient von sin, also konvergiet f(x) für x gegen 0 halt gegen sin' (0)= cos 0 = 1.

      edit: war wohl nicht unbedingt die Frage, also wieder ignorieren...
    • osk5
      osk5
      Bronze
      Dabei seit: 22.09.2006 Beiträge: 544
      die Ableitungen von f bekommst du aber sicher durch die Quotientenregel bzw. die höheren Ableitungen mit der Leibnizregel....
      darf man sich nur nicht verrechnen
    • Larloch
      Larloch
      Bronze
      Dabei seit: 26.12.2006 Beiträge: 1.339
      das von dir war mir klar ;)

      mich interessiert eher wie er oben auf diese kranke summe mit dem n im sinus kommt
    • osk5
      osk5
      Bronze
      Dabei seit: 22.09.2006 Beiträge: 544
      dachte mir schon, daß es klar wäre. Deswegen hatte ich den ersten post ja auch editiert.

      Das eine Summe vorkommt ist ja recht klar, aber wie genau, soll er lieber mal selbst erklären :D
    • Larloch
      Larloch
      Bronze
      Dabei seit: 26.12.2006 Beiträge: 1.339
      achso ;)

      ok das n im sin wird wohl durchs ersetzen des cos hinzukommen, aber ich bin jetzt nicht mehr motiviert, das nachzurechnen :D
    • Cyclonus
      Cyclonus
      Bronze
      Dabei seit: 17.01.2005 Beiträge: 1.414
      Wirklich trivial erscheint mir das ganze nicht, wenn man nicht einfach durch x teilen darf, ich versuchs mal für die ersten beiden Terme der Taylorreihe.

      erster Term:

      f(x0)/0!

      x0=0

      f(0)=sin(0)/0 nicht definiert => l'Hospital

      => cos(0)/1 = 1 => f(0) = 1

      zweiter Term:

      f(x0)/1! * (x-x0)

      f'(x) = [ cos(x) * x - sin (x) ] / x^2 ist ebenfalls an der Stelle xo = 0 nicht definiert -> l'hospital
      ableiten:
      => [-sin(x)*x + cos(x) -cos(x)]/ 2x = -sin(x)*x / 2x nicht definiert, weiter ableiten:

      => (-cos(x)*x - sin (x) )/2

      (-cos(0)*0-sin(0)/2=0

      damit wäre der zweite Term der Taylorentwicklung

      0

      f(x) = 1 + 0 + ...

      so, kein Bock mehr
    • busfahrer09
      busfahrer09
      Bronze
      Dabei seit: 12.07.2006 Beiträge: 10.840
      Ihr aktiven Schweine...

      Analysis ghört einfach sowas von erschossen, und im Wald vergraben... Ich versteh einfach nur Busbahnhof mit Wayneman im Führerhaus.........
    • Thurisaz
      Thurisaz
      Bronze
      Dabei seit: 15.07.2006 Beiträge: 16.587
      Okay, hab jetzt das Taylorpolynom...

      Auf die Ableitung komme ich, indem ich nicht f = sin/x, sondern xf = sin betrachtet habe, und davon die n-te Ableitung bestimmt + mit vollständiger Induktion bewiesen habe. das ist (x*f(x))^(n) = n*f(x)^(n-1) + f(x)^(n) = sin(x)^(n)

      Dann nach f^(n) umgestellt, gibt eine Rekursionsformel mit f^(n-1) drin: sin^(n)/x + n/x*f^(n-1)

      Die n-1ste Ableitung kann man ebenso nach der Formel ersetzen und so weiter. Das sieht dann ca. so aus sin^(n)/x + n/x*[sin^(n-1)/x + (n-1)/x*[sin^(n-1)/x + (n-2)/x*[...]]]

      Daraus lässt sich dann die Summenformel herleiten, die stimmt auch.

      Auf das Taylorpolynom kommt man leichter, ich war schon viel zu weit. Man betrachtet nicht die Ableitungen von f(x), sondern direkt von f(0). Das hab ich aber heute an der Tafel gemacht und nicht nochmal daheim nachgerechnet, weiß also nicht mehr genau die Schritte.

      Thurisaz