Royal Flush Wahrscheinlichkeit

    • SvenBe
      SvenBe
      HeadAdmin
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      Dabei seit: 19.04.2006 Beiträge: 13.116
      Hallo, ich versuche hier mal den Ansatz zu geben für "aus 7 Karten (texas holdem) einen Royal flush zu ziehen"

      Vorbetrachtung,bei Interesse anschauen:
      Anzahl Karten= 52
      Anzahl Ziehungen = 7
      Korrektur:
      Variation ohne Wiederholung - Also
      ( n! )
      (--------- ) = 52! / (7!*45!) = 133784560 Anzahl an Kombinationen
      ( k! (n-k)! )

      Soweit scheint es ja nicht weiter schwierig zu sein.
      Jetzt kommt aber noch hinzu:
      1. es gibt 4 verschiedene RF (gut,machts net wirklich schwerer)
      2. es gibt 5 pflichtereignisse (TJQKAs) und 2 "egal-Ereignisse"
      3. Reihenfolge ist pupsegal

      Lange Rede,nutzloser Sinn. Das alles brauchen wir garnicht,

      es wird alles in einer einzigsten Formel ausgerechnet (natürlich in Anlehnung an die Werte vorher). Es trifft die sogenannte Hypergeometrische Verteilung zu:



      P(x=k)= (M über K)* (N-M über n-k) / (N über n)
      wobei:
      P=Wahrscheinlichkeit
      N=Anzahl der Karten =52
      M=Anzahl der für RF benötigten Karten =5
      n=Anzahl der gezogenen Karten =7
      k=Anzahl der RF-Karten die gezogen werden =5

      Anmerkung: (x über y) = x! / (y! * [x-y]!)
      also in unserem Falle:

      P(x=5) = (5 über 5) * (47 über 2) / (52 über 7)
      = 1 * 1081 / 133784560
      = 0,000.008080155
      aber: mal 4 da es ja 4 verschiedene RF gibt
      = 0,00003232062
      ==0,00323206%
      ==jede 30.940. Hand

      NB: Wir gehen ja aber davon aus das alle dieser 30.940 Hände bis zum showdown gehen damit wir diesen Wert erreichen können.

      PS: *Angst vor Enttarnung von Rechenfehlern* & keine Garantie für die Richtigkeit der Rechnung
  • 19 Antworten
    • stoffelxx
      stoffelxx
      Bronze
      Dabei seit: 12.06.2006 Beiträge: 187
      sieht gut aus. interessanter ist es allerdings auszurechnen wie wahrscheinlich es ist in 100k händen keinen /einen/fünf RF zu kriegen ;)
    • SvenBe
      SvenBe
      HeadAdmin
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      Dabei seit: 19.04.2006 Beiträge: 13.116
      Onkel Poison sagte mir:
      Für den Fall das n sehr groß ist und p sehr klein ist, spricht man von einer Poisonverteilung.
      Wir müßten also in 100.000 Spielen im Schnitt 3,23 RF haben

      NB: ßbrigens für die die lieber mit der Binomialverteilung rechnen wollen: Würden wir Onkel Bernoulli und Onkel Newton mit ihren Binomial-Verteilungen hingegen befragen kämen wir auf ein lustiges Ergebnis, nämlich die Wahrscheinlichkeit in 100k Händen keinen Royal Flush zu haben ist null. Das liegt daran das selbst 0,9999999^100.000 in jedem normalen Taschenrechner 0 als Ergebnis anzeigt. Aber Onkel Bernoulli ist ja schlau und sagt was wir ohnehin schon wußten: Wächst nämlich die Zahl der Versuche ins Unendliche (und 100k ist sehr nah an unendlich) und ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis sehr klein so können wir getrost die Rechnung für die oben schon angewendete Normalverteilung anwenden. Also wie oben bereits gehabt.

      Nun aber zum mathematisch anspruchsvolleren Teil der Aufgabe. Wann erhalten wir denn nun endlich unseren ersten RF ? Die hierfür notwendige Anwendung der negativen Binomialverteilung wirft auch wieder ein Problem auf. Nähern wir uns doch einfach mal schrittweise 100.000 Händen an:
      Die negative Binomialverteilung ist definiert als P(X=n)= (n-1 über r-1) * p^r * (1-p) ^(n-1-(r-1))
      Dabei ist
      p=Wahrscheinlichkeit RF (0,00003232062)
      r=wieviel mal soll RF auftreten (das 1. mal,also 1)
      n=Anzahl Versuche

      Das Problem ist das wir hier nur *genau* die Anzahl der Hände definieren,d.h. wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau in der n. Hand den 1. RF zu finden.
      Das heißt wiederrum wir wenn wir die Wahrscheinlichkeit wissen wollen nach 100.000 Händen mindestens einen Royal Flush zu haben dann müssen wir die Summenfunktion von n=1 bis 100.000 der negativen Binomialverteilung erstellen. Allerdings können wir das ja auch wieder etwas vereinfachen da für r=1 diese Formel sich der geometrischen Verteilung annähert. Deswegen können wir als Formel
      P=(1-p)^(k-1)*p nehmen.
      Anmerkung: Ohje das artet ja in Denken aus. Jetzt muss ich auch noch ein Integral bilden,pfui... Ich denke mal laut mit:
      Wahrscheinlichkeit das 1.RF innerhalb der 1. Hand: 0,99...^0 * (1-0,999..)
      Wahrscheinlichkeit das 1.RF innerhalb der ersten beiden Hände: 0,99...^1 * (1-0,999)+ 1.Wahrscheinl.
      Wahrscheinlichkeit das 1.RF innerhalb der ersten drei Hände: 0,99...^2 * (1-0,999..)+ 1.Wahrscheinl.+2.Wahrscheinl.

      Nun da mir nicht zuerst die Lösung für die arithmetische Reihe einfiel sondern zuerst wie ichs mit PHP programmieren kann habe ich das mal in Angriff genommen. Wenn da kein grober Fehler drinn ist siehts folgendermaßen aus:

      0.00323206% innerhalb 1 Händen einen RF zu haben
      0.032315899697051% innerhalb 10 Händen einen RF zu haben
      0.32268946760929% innerhalb 100 Händen einen RF zu haben
      3.1804386553213% innerhalb 1000 Händen einen RF zu haben
      27.617983349731% innerhalb 10000 Händen einen RF zu haben
      47.608578253966% innerhalb 20000 Händen einen RF zu haben
      64.452145091804% innerhalb 32000 Händen einen RF zu haben
      80.132818547876% innerhalb 50000 Händen einen RF zu haben
      96.054143056597% innerhalb 100000 Händen einen RF zu haben
      99.846014919584% innerhalb 200000 Händen einen RF zu haben
      NB: Für kleine Werte von n kann man die Wahrscheinlichkeit einen RF erhalten durch n*RF-Wahrscheinlichkeit erhalten. Grund ist das das Potenzieren des fast sicheren Gegenereignisses jedes mal fast zu 1 wird.
      (sollte wer Interesse haben mal die URL mit seinen Werten anzutesten - PN)

      Es empfiehlt sich der Chefmathematiker vom Dienst, seines Zeichens eine 3-4 in der Matheprüfung hier an der Uni,also blame the matheprofessor if its falsch !
    • Zerberus1985
      Zerberus1985
      Silber
      Dabei seit: 14.07.2006 Beiträge: 1.089
      Na nu frag doch noch mal deine Onkel wie es aussieht wenn man annimmt das die RF- Wahrscheinlichkeit normalverteilt ist.
      Dürfte ja kein Problem darstellen da du ja nur approximieren musst =)
      Ich warte gespannt auf das Ergebnis.
    • hazz
      hazz
      Black
      Dabei seit: 13.02.2006 Beiträge: 4.771
      http://en.wikipedia.org/wiki/Poker_probability


      Straight flush 41,584 0.03108 % 3,216 : 1


      von 5,6,7,8,9,T,Q,K,A [#9] möglichen ist nur einer ein royal. also 28,954 : 1.


      einer wird sich verrechnet haben. entweder wiki oder du - oder ich ;)
    • SvenBe
      SvenBe
      HeadAdmin
      HeadAdmin
      Dabei seit: 19.04.2006 Beiträge: 13.116
      hazz: weder wiki noch ich haben uns verrechnet sondern du, und zwar gleich zweimal !

      1. weil Zitat: von 5,6,7,8,9,T,Q,K,A [#9] möglichen ist nur einer ein royal. also 28,954 : 1.
      Du hast wohl keinen Buben im Spiel ?
      2.Du nimmst an es gibt gleich viele RF's wie SF's einer bestimmten Karte. Is aber nich wahr !

      Es gibt also 10 verschiedene Highcards beim Straightflush. Richtig ist die angegebene Zahl von 41584 verschiedenen Straightflushs. Unklar im ersten Moment das die Zahl nicht durch 10 teilbar ist (durch 9 ja aber auch nicht). Das liegt schlicht und einfach daran das bei der Berechnung auch 6 und 7cardstraightflushes mitgezählt sind - also 6/7 Karten einer Farbe in der Reihenfolge wie benötigt. Das führt zu der ungewöhnlichen Erkenntnis das ein Royalflush wahrscheinlicher ist als ein King-High oder Queen-high-Straightflush da einige dieser beiden Straightflushes Elemente aus der Menge aller möglichen RF's sind. Da ja aber immer die beste Hand gezählt wird gibts also weniger SF k/q high als RF. Logisch,oder?
      Beispiel: 9,10,B,D,K,A Karo+ 4Herz. Wir haben hier einen SF King high und einen RF zur gleichen Zeit. Es zählt ja aber nur die beste Kombination von 5 Karten,also fällt SF K-high heraus!
      Deshalb ist die genaue Zahl der Royal-Flushes 4* 1081, also Formel 4* 47 über 2. Macht bei 133784560 verschiedenen Händen die von mir oben angegebene Wahrscheinlichkeit.
      Ich bin mir nun relativ sicher das die von mir angegebene Rechnung stimmt, auch wenn vielleicht nicht alle Begründungen in meinem 1. und 2. Beitrag völlig korrekt sind.
      NB:
      Für einen Straightflush nicht Ace High beträgt die Auftretenshäufigkeit 36* 46 über 2. Zur Erklärung: Es gibt 36 verschiedene nicht Ace-High-SF's. Wir können aber nicht 47 andere Karten als die restlichen 2 Karten annehmen sondern nur 46. Der Grund ist das eine der 47 verbliebenen Karten ja den SF zum Beispiel Q-high zum SF K-high macht und das Ereignis damit ja doppelt gezählt wäre. Nachvollziehbar ?
    • SvenBe
      SvenBe
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      Dabei seit: 19.04.2006 Beiträge: 13.116
    • hazz
      hazz
      Black
      Dabei seit: 13.02.2006 Beiträge: 4.771
      sb22: ich sollte nicht um 5 uhr nachts posten :D
    • TheShowstopper
      TheShowstopper
      Einsteiger
      Dabei seit: 06.08.2006 Beiträge: 1
      Vor einer Woche den ersten Royal Flush gezogen :)
    • YesWeCap
      YesWeCap
      Bronze
      Dabei seit: 06.03.2005 Beiträge: 1.462
      alter sb du gehst ja ab! sehr nice... studierst du mathematik oder so?
    • XeroX
      XeroX
      Black
      Dabei seit: 19.01.2005 Beiträge: 2.105
      solche leute braucht das land!

      ich hab wahrscheinlichkeits rechnung relativ schnell abgehakt :)
    • YesWeCap
      YesWeCap
      Bronze
      Dabei seit: 06.03.2005 Beiträge: 1.462
      Original von XeroX
      solche leute braucht das land!

      ich hab wahrscheinlichkeits rechnung relativ schnell abgehakt :)
      #2
    • win81549
      win81549
      Bronze
      Dabei seit: 31.07.2005 Beiträge: 370
      Original von Ristl
      alter sb du gehst ja ab! sehr nice... studierst du mathematik oder so?
      Ich habe zwar keine Ahnung, aber er klingt nicht ganz wie ein Mathematiker. :D Ich tippe darauf, dass er Statistik oder Informatik studiert. :rolleyes:

      P.S.: Sorry, wenn ich falsch liege ;)
    • Thekingpin
      Thekingpin
      Bronze
      Dabei seit: 07.04.2006 Beiträge: 1.077
      ich weiß nichtmehr genau wo aber ich bin mir sicher das die zahl 250k im raum stand ;)
    • tbuckert
      tbuckert
      Global
      Dabei seit: 23.04.2006 Beiträge: 8
      und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?

      Party Poker 0.50/1 Hold'em (10 handed) Hand History Converter Tool from FlopTurnRiver.com (Format: FlopTurnRiver)

      Preflop: Hero is MP3 with T, K. UTG posts a blind of $0.50.
      3 folds, MP2 calls, Hero calls, CO calls, 1 fold, SB completes, UTG (poster) checks.

      Flop: (5 SB) J, Q, A (6 players)
      SB checks, UTG checks, MP2 checks, Hero bets, CO folds, SB raises, UTG calls, MP2 calls, Hero 3-bets, SB calls, UTG folds, MP2 calls.

      Turn: (8 BB) Q (4 players)
      SB checks, MP2 checks, Hero bets, SB calls, MP2 calls.

      River: (11 BB) 8 (4 players)
      SB checks, MP2 checks, Hero bets, SB raises, MP2 calls, Hero 3-bets, SB caps, MP2 calls, Hero calls.

      Final Pot: 23 BB

      Results:
      SB has Qs Jh (full house, queens full of jacks).
      BB doesn't show.
      MP2 has 7h Ad (two pair, aces and queens).
      Hero has Tc Kc (straight flush, ace high).
      Outcome: Hero wins 23 BB.

      Also die Wahrscheinlichkeit für einen RF am Flop?
      PS: Musste die Hand einfach loswerden ;) und ich bin wegen spielpause und dem neuem *doofen* System Grey und kann nicht bei den Beispielhänden posten :(

      zu:
      "alter sb du gehst ja ab! sehr nice... studierst du mathematik oder so?"

      des hab ich auch in der Schule in der Kollegstufe gelernt, aber alles schon wieder vergessen, rechne mir mal bidde aus, ich kanns nimmer!
    • habi5586
      habi5586
      Bronze
      Dabei seit: 07.09.2005 Beiträge: 1.532
      3/50 * 2/49 * 1/48 = 0,00002915 = 0,002915% :D
    • psychic
      psychic
      Bronze
      Dabei seit: 09.02.2006 Beiträge: 10
      Zitat WIKI :
      The royal flush is included as a straight flush above. The royal flush can be formed 4 ways (one for each suit), giving it a probability of 0.000001539077169 and odds of 649,739 : 1.

      ps.: die gleiche Zahl wurde auch in nem Playboy Artikel über Poker genannt.
    • habi5586
      habi5586
      Bronze
      Dabei seit: 07.09.2005 Beiträge: 1.532
      gilt hier für den Speziellen Fall aber nicht ^^

      es geben ihm nur die 3 Karten einen Royalflush

      A:club:
      Q:club:
      J:club:

      er kennt 50 Karten noch nicht

      das die erste Flopkarte eine der 3en ist hat die Wahrscheinlichkeit

      3/50

      das die zweite Flopkarte ein der beiden anderen ist hat die Wahrscheinlichkeit

      2/49

      und dass dann noch die dritte kommt, die Wahrscheinlichkeit

      1/48

      also gilt

      3/50 * 2/49 * 1/48 = 6/117600 = 5.1020408163265306122448979591837e-5 = 0.000051020408 = 0.0051020408%

      hm muss ich mich wohl gestern Abend vertippt haben...
      ach ja, das ergebnis ist genau 1/4 von der Wahrscheinlichkeit aus Wikipedia, weil hier ja nur 1suit, nämlich :club: hilft
    • SvenBe
      SvenBe
      HeadAdmin
      HeadAdmin
      Dabei seit: 19.04.2006 Beiträge: 13.116
      ristl,xerox,win81549:

      danke für das lob, habe Informationstechnologie mit Bachelor abgeschlossen und bin gerade am Master Industrial Management - hat eigentlich nix mehr mit Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun. War aber immer mein Lieblingsgebiet in der Mathematik.

      tbuckert:

      deine Frage entspricht genau der Wahrscheinlichkeit im 5 card draw poker einen royal flush zu haben - da ja hier die 2 blanks wegfallen.
      du willst eine von 5(x4 farben) royalflushkarten haben:
      20/52
      dann bleiben weitere 16 karten,aber nur 4 von der richtigen farbe
      4/51
      usw.
      3/50
      2/49
      1/48
      und wie psychic schon aus wikipedia rezitierte erhalten wir
      1:649739 - also in jeder 650.000 Hand hast du einen Royal Flush am Flop!
      Nicht unbedingt toll, aber hieraus erkennen wir wie viel wert uns die 2 extrakarten beim texas holdem sind. Da erhalten wir nämlich ca. 20 mal so häufig einen Royal... Das ist ja auch ganz klar,fehlt zum beispiel beim 5card draw noch eine zum RF dann hat man ja immer noch 2 chancen zu 1/47 und 1/46 am turn und river.
      so bis später,
      der sb22 chefstochastiker
    • Picahulu
      Picahulu
      Bronze
      Dabei seit: 23.06.2006 Beiträge: 902
      Original von sb22
      Aber Onkel Bernoulli ist ja schlau und sagt was wir ohnehin schon wußten: Wächst nämlich die Zahl der Versuche ins Unendliche (und 100k ist sehr nah an unendlich) und ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis sehr klein so können wir getrost die Rechnung für die oben schon angewendete Normalverteilung anwenden. Also wie oben bereits gehabt.
      Deine Ausführungen klingen insgesamt ganz plausibel aber dass 100k "sehr nah an unendlich" liegt würde ich mal bezweifeln :)

      Es gibt überhaupt keine Zahlen die "nah an unendlich" liegen, es gibt nur Zahlenreihen die ins Unendliche steigen.