Nullstellenbestimmung von f(x)=exp(x)-x-2

  • 33 Antworten
    • recointer
      recointer
      Bronze
      Dabei seit: 14.03.2007 Beiträge: 1.438
      habt ihr kein maple?
    • TheOneAndOnlyMarkus
      TheOneAndOnlyMarkus
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      Dabei seit: 20.02.2006 Beiträge: 3.784
      Original von recointer
      habt ihr kein maple?
      Ney, kann dass sowas analytisch lösen? Mir würde auch erstmal ne Lösungsidee reichen, aber mir fällt da erstmal nix zu ein.
    • recointer
      recointer
      Bronze
      Dabei seit: 14.03.2007 Beiträge: 1.438
      Original von TheOneAndOnlyMarkus
      Original von recointer
      habt ihr kein maple?
      Ney, kann dass sowas analytisch lösen? Mir würde auch erstmal ne Lösungsidee reichen, aber mir fällt da erstmal nix zu ein.
      joa, habs aber atm nich drauf ^^ sry
      ich hasse mathe :( zum glueck hatte ich lk..
    • philwen
      philwen
      Bronze
      Dabei seit: 13.05.2007 Beiträge: 5.601
      was beudtet "exp" ?
    • TheOneAndOnlyMarkus
      TheOneAndOnlyMarkus
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      Dabei seit: 20.02.2006 Beiträge: 3.784
      Original von philwen
      was beudtet "exp" ?
      Die Exponentialfunktion :)

      exp(x) = e^x = Summe von k = 0 bis unendlich von x^k / k!
    • Raiden88
      Raiden88
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      Dabei seit: 20.07.2006 Beiträge: 1.053
      Original von philwen
      was beudtet "exp" ?
      e^x
    • Kuhfighter
      Kuhfighter
      Bronze
      Dabei seit: 19.07.2006 Beiträge: 780
      Sagt dir das Newton Verfahren was?
    • rf1985
      rf1985
      Bronze
      Dabei seit: 19.03.2007 Beiträge: 190
      Analytisch ist diese Gleichung nicht lösbar.
      Ich würde dir zum Beispiel das Fixpunktverfahren oder das Newtonverfahren empfehlen.

      Du kannst nur zeigen, dass zwei reelle Lösungen existieren.
    • Schnicker
      Schnicker
      Black
      Dabei seit: 03.03.2006 Beiträge: 18.476
      Original von TheOneAndOnlyMarkus
      Hi,

      wir sind hier grad am Verzweifeln. Wir hätten gerne die Nullstellen bestimmt von f(x)=exp(x)-x-2 und zwar ohne Näherungsverfahren oder Abschätzung oder sowas.

      Hat da jemand ne Ahnung wie das gehn könnte? Es gibt auf alle Fälle 2 reelle Nullstellen.

      Also einfach mal so mit Schulalgebra bzw. irgendwie umformen ist das nicht lösbar. Habt ihr euch die Aufgabe selbst ausgedacht ?
    • markes
      markes
      Bronze
      Dabei seit: 14.07.2006 Beiträge: 206
      die angabe stimmt sicher?
    • TheOneAndOnlyMarkus
      TheOneAndOnlyMarkus
      Bronze
      Dabei seit: 20.02.2006 Beiträge: 3.784
      Original von Kuhfighter
      Sagt dir das Newton Verfahren was?
      keine Näherungsverfahren :P


      Original von rf1985
      Analytisch ist diese Gleichung nicht lösbar
      Ist das eine mutige Behauptung oder weißt du das sicher? Also mit andern Worten kannst du's beweisen?


      Ich denke eine Lösung wäre zu zeigen dass die Reihe Summe von k=0 bis unendlich von x^k/k!-x-2 für ein x gegen 0 konvergiert, was ja dann eine Nullstelle wäre. Das wird denke ich gehen, ist aber u.U. recht aufwändig.
    • myrco
      myrco
      Bronze
      Dabei seit: 09.05.2006 Beiträge: 9
      Soweit ich weiß, ist schon f(x)=exp(x)-x nicht mehr analytisch lösbar, mein auch vor ewigen Zeiten mal vom Newton-Verfahren gehört zu haben (kann allerdings auch sein, dass ich jetzt vollkommen falsch bin)
    • TheOneAndOnlyMarkus
      TheOneAndOnlyMarkus
      Bronze
      Dabei seit: 20.02.2006 Beiträge: 3.784
      Original von CoJSchnicker
      Original von TheOneAndOnlyMarkus
      Hi,

      wir sind hier grad am Verzweifeln. Wir hätten gerne die Nullstellen bestimmt von f(x)=exp(x)-x-2 und zwar ohne Näherungsverfahren oder Abschätzung oder sowas.

      Hat da jemand ne Ahnung wie das gehn könnte? Es gibt auf alle Fälle 2 reelle Nullstellen.

      Also einfach mal so mit Schulalgebra bzw. irgendwie umformen ist das nicht lösbar. Habt ihr euch die Aufgabe selbst ausgedacht ?
      Kann auch gern ne komplizierte Lösung sein, daran solls nicht scheitern :) . Die Aufgabe ist mehr so durch Zufall aufgekommen.
    • rf1985
      rf1985
      Bronze
      Dabei seit: 19.03.2007 Beiträge: 190
      Hi, also man kann eine implizite Lösung des Problems angeben, allerdings kann man für x immer nur Näherungswerte angeben. Die implizite Lösung ist gegeben über die sogenannte Lambertsche W-Funktion. Leider kann man die Funktionsgleichung nicht mehr durch elementare Funktionen darstellen.

      Die Lambertsche W-Funktion ist nichts anderes als die Umkehrfunktion von f(x)=x*exp(x)

      Somit müssen wir quasi unsere Gleichung in die Form von f(x) umformen. Das geht wie folgt:

      exp(x)-x-2=0 <=> exp(x)=x+2 <=> x=ln(x+2). Nun substituieren wir x+2=z.

      Also: z-2-ln(z)=0 <=> -z+ln(z)=-2 <=> exp(-z+ln(z))=exp(-2)

      Mit den Potenzgesetzen folgt:

      exp(ln(z)) * exp(z) = exp(-2)

      z*exp(-z)=exp(-2) Das entspricht nun fast der Form von f(x). Wir müssen noch einmal substituieren, nämlich -z=k. Wir hätten auch zu Beginn z=-x-2 subs. können, das wäre dann allerdings etwas vom Himmel gefallen ;)

      k*exp(k)=-exp(-2)

      Die Lösung erhalten wir jetzt also indem wir die Umkehrfunktion von k*exp(k) auf die Gleichung anwenden, das ist aber Gerade die Lambertsche W-Funktion, die ich nun mit lam(x) bezeichnen möchte.

      Also ist k=lam(-exp(-2)) Nun substituieren wir wieder zurück.

      Daraus folgt: x=-lam(-epx(-2))-2

      Das ist jetzt die erste Nullstelle. Die zweite Nullstelle findet man, wenn man sich Folgendes klarmacht.
      Dazu muss man beachten, dass gilt: x·epx(x) = a => x = lam(a).
      Für -1/e < a < 0 gibt es noch die 2. Lösung x = Lam(a)

      Lam(x) ist sozusagen der zweite Ast der Umkehrfunktion und der kommt nur ins Spiel falls obige Bedingung erfüllt ist. Das ist bei uns der Fall.

      Also ist unser Ergebnis:

      x1=-lam(-epx(-2))-2 und x2=-Lam(-epx(-2))-2

      Die Funktionswerte von lam(x) bzw. Lam(x) lassen sich jedoch nur numerisch berechnen.

      Sooo, hoffe das Problem ist damit gelöst ^^
    • MasterT
      MasterT
      Bronze
      Dabei seit: 19.07.2006 Beiträge: 805
      toll, das wollte ich auch grad schreiben...
    • TheOneAndOnlyMarkus
      TheOneAndOnlyMarkus
      Bronze
      Dabei seit: 20.02.2006 Beiträge: 3.784
      Thx @ rf1985. Mir ist heut morgen aufm Weg zur Uni eingefallen, dass es ja nur eine numerische Lösung geben kann, da beide Nullstellen ja transzendete Zahlen sein müssen, weil exp(x) ja auch immer transzendet ist für alle x!=0. Somit muss x transzendet sein, da sonst die Gleichung exp(x) - x -2 = 0 keine Lösung hat. (exp(x) - x muss ja eine nicht-transzendete Zahl ergeben (nämlich 2) und dass ist nur möglich falls entweder exp(x) und x transzendent oder keine von beiden). War wohl etwas später gestern :P

      EDIT: Das ist nicht ganz korrekt. s.u.
    • LuckyKnight
      LuckyKnight
      Bronze
      Dabei seit: 16.03.2006 Beiträge: 185
      Hi,

      Original von TheOneAndOnlyMarkus
      ..., weil exp(x) ja auch immer transzendet ist für alle x!=0.
      Hä ? Steh ich hier irgendwo aufm Schlauch ? W=]0;+oo], e^0=1. e^x stetig, streng monoton steigend. Was ist mit den anderen natürlichen Zahlen in der Wertemenge?
    • TheOneAndOnlyMarkus
      TheOneAndOnlyMarkus
      Bronze
      Dabei seit: 20.02.2006 Beiträge: 3.784
      was soll denn mit denen sein? :P
      e^x ist auch für alle x in N\{0} transzendent.
    • osk5
      osk5
      Bronze
      Dabei seit: 22.09.2006 Beiträge: 544
      Original von TheOneAndOnlyMarkus
      was soll denn mit denen sein? :P
      e^x ist auch für alle x in N\{0} transzendent.
      er meinte natürliche Zahlen in der Wertemenge, nicht im Definitionsbereich.
      Zahlen aus N sind ja nun algebraisch und nicht transzendent und da es zu jedem n \in N ein x \in R gibt mit exp(x) = n, ist exp (x) für dieses x wohl auch nicht transzendent...
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