Stochastisch unabhängige Ereignisse

    • KingTexaz
      KingTexaz
      Bronze
      Dabei seit: 03.09.2007 Beiträge: 11.160
      Hi, hier ein Ausschnitt aus meinem Pokerreferat aus Mathematik. Mir kommt es grad so vor, als wäre der Text total sinnlos, und man versthet nicht wirklich was er aussagen soll.

      HELP please, Verbesserungsvorschläge:

      Stochastisch unabhängige Ereignisse:

      Einige Ereignisse schließen sich allerdings nicht gegenseitig aus. Betrachten wir hierzu folgendes Beispiel:
      Ereignis A: Die Karte ist ein Herz
      Ereignis B: Die Karte ist ein As
      Wenn wir hier die Wahrscheinlichkeit errechnen wollen, dass die Karte ein Herz oder ein As ist, und diese wie im vorigen Beispiel addieren wollten, so kämen wir zu folgendem Schluss: Es gibt 13 Herz-Karten im Deck, also wäre P(A) = 13/52. Es gibt 4 Asse, also wäre P(B) = 4/52.
      Diese 2 Wahrscheinlichkeiten können wir hier allerdings nicht einfach addieren, da es möglich ist, dass die Karte ein Herz ist, als auch ein As! Beide Ereignisse schließen sich gegenseitig also nicht aus.
      Wenn die Wahrscheinlichkeit beider Ereignisses [ P(A und B) ] gleich dem Produkt der einzelnenen Wahrscheinlichkeiten [ P(A) * P(B) ] ist, so sind diese stochastisch unabhängig.
      In diesem Falle wäre also P(A und B) = 13/52 * 4/52 = 1/4 * 1/13 = 1/52.
      Die Wahrscheinlichkeit wäre für P(A oder B) = P(A) + P(B) – P(A und B) = 1/4 + 1/13 – 1/52 = 4/13, da wir sonst eine Karte doppelt zählen würden (das Herz-As).
  • 11 Antworten
    • sorcerer2118
      sorcerer2118
      Bronze
      Dabei seit: 12.05.2007 Beiträge: 62
      Könntest du etwas genauer sagen, für wen du dieses Referat hälst. Welche Vorkenntnisse haben denn die Zuhörer? Ist das dass, was du sagen willst oder schreibst du etwas an?

      Ansonsten wäre es von Vorteil wenn du eine das Zufallsexperiment gut modellierst - sprich Grundraum (mögliche Ausgänge des Zufallsexperimentes), Menge der möglichen Ereignisse und die Verteilung.

      Musst du noch erklären was Unabhängigkeit bedeutet? Ich finde das kann man besser anhand von elementaren bedingten W'keiten erklären.
      Wenn du zeigen willst, dass die Ereignisse A und B nicht unabhängig sind, berechne die W'keiten und sage dann, dass P(A und B) != P(A) *P(B). Mach nicht zu viel Text - das kann den Zuhörer auch verwirren und klammer dich auch nicht zu sehr an die Vorlage beim Vortrag.

      Gruß sorcerer.
    • TheFace101
      TheFace101
      Bronze
      Dabei seit: 08.12.2007 Beiträge: 613
      Warum so kompliziert?

      Es gibt 52 Karten und nur eine Herz As also ist die warscheinlichkeit dafür 1 zu 52 . So wie bei jeder anderen einzelnen Karte auch.
    • Benido
      Benido
      Bronze
      Dabei seit: 14.04.2006 Beiträge: 13.853
      Original von TheFace101
      Warum so kompliziert?

      Es gibt 52 Karten und nur eine Herz As also ist die warscheinlichkeit dafür 1 zu 52 . So wie bei jeder anderen einzelnen Karte auch.
      die erklärung findet ein mathelehrer bestimmt super :D

      mal sollte das schon herleiten ;)
    • Larloch
      Larloch
      Bronze
      Dabei seit: 26.12.2006 Beiträge: 1.339
      Musst du noch erklären was Unabhängigkeit bedeutet? Ich finde das kann man besser anhand von elementaren bedingten W'keiten erklären.


      ich finde das erklärt man am besten über die unabhängigkeit der von den zufallsvariablen erzeugten sigmasubalgebren
    • Phoe
      Phoe
      Bronze
      Dabei seit: 03.02.2006 Beiträge: 6.668
      wenn dus abgeben willst, dann änder mal das As in Ass
    • KingTexaz
      KingTexaz
      Bronze
      Dabei seit: 03.09.2007 Beiträge: 11.160
      Original von Phoe
      wenn dus abgeben willst, dann änder mal das As in Ass
      Mein Mathelehrer meine man schreibt "As" ^^

      Naja, hab meinen Text quasi vom engl. Buch "the mathematics of poker, nur i-wie bin ich grad selbst verwirrt was eigtl. was ist............
    • Phoe
      Phoe
      Bronze
      Dabei seit: 03.02.2006 Beiträge: 6.668
      dann bring nen duden mit oder schreib aus protest Aas :D
    • sorcerer2118
      sorcerer2118
      Bronze
      Dabei seit: 12.05.2007 Beiträge: 62
      Original von Larloch
      Musst du noch erklären was Unabhängigkeit bedeutet? Ich finde das kann man besser anhand von elementaren bedingten W'keiten erklären.


      ich finde das erklärt man am besten über die unabhängigkeit der von den zufallsvariablen erzeugten sigmasubalgebren
      Was du mir damit wohl sagen, willst...
      Man kann es natürlich auch so erklären: Das Eintreten des einen Ereignisses hat, keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses - sprich P(A|B) = P(A).
    • KingTexaz
      KingTexaz
      Bronze
      Dabei seit: 03.09.2007 Beiträge: 11.160
      Naja, das ganze Ding ist das.
      Letztlich will ich kurz und verständlich sagen, wie man auf P(Hero erhält Ace), P(Hero erhält Ass oder Herz/Ass und Herz),. und wie man auf P(Hero bekommt AA) kommt.

      Dann habe ich ja sich gegenseitig ausschliesende events -> P(A)
      unabhängige -> P(Herz, Ass) .. auch wenn ichs ned ganz verstehe
      und abhängige, bzw bedingte oder wie das heist -> P(AA)...

      und ja. dabei sollten halt diese mathematischen begriffe fallen, wie P(A und B) = P(A)*P(B) bzw =P(A) * P(B|A), .... P(A oder B) = ........

      stochastisch unabhängig etc etc etc

      PS: Referat a) schriftlich für lehrer
      b) mündlich für schulklasse

      Die Themen haben wir schon in Unterricht, allerdings eher bezogen auf Würfel etc....
    • KingTexaz
      KingTexaz
      Bronze
      Dabei seit: 03.09.2007 Beiträge: 11.160
      Wäre nett wenn sichs jmd durchliest und Stellung nimmt. So ist die aktuelle Fassung davon. Vllt bring ich dann noch P(Any Pair), P(AK) oder so rein.


      ist wohl an einigen stellen zu
      a) unfachlich
      b) kompliziert
      c) falsch
      d) unvollständig formuliert

      -----

      2.2.3 Berechnung der Wahrscheinlichkeiten diverser Start-Handkarten
      Um die Wahrscheinlichkeit bestimmter Startkarten zu errechnen, werde ich das Zufallsexperiment „2 aus 52 Karten ziehen“ als 2-stufiges Experiment auffassen (Hintereinanderschaltung 1-stufiger Experimente). So ziehen wir also nicht 2 Karten auf einmal, sondern je eine Karte zweimal hintereinander.
      Auch hier ist wieder das Prinzip „Ziehen ohne Zurücklegen“ anzuwenden. Bereits gezogene Karten sind nicht mehr im Kartendeck vorhanden und können daher auch nicht mehr gezogen werden.

      Betrachten wir nun zum Einstieg ein einfaches Beispiel: Es gibt 52 Karten im Kartendeck, jede dieser Karten hat dieselbe Wahrscheinlichkeit. Also ist die Wahrscheinlichkeit irgendeiner beliebigen Karte, gezogen zu werden, 1/52.

      Berechnung von P(Karte ist ein Ass):
      Wie ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Karte ein Ass ist? Diese ist dieselbe, wie die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte das Herz-Ass ist, oder das Pik-Ass, oder das Karo-Ass, oder das Kreuz-Ass. Es gibt also 4 Asse im Deck, jede mit der Wahrscheinlichkeit von 1/52. Diese 4 Wahrscheinlichkeit können wir nun addieren, sodass wir für P(Ass) erhalten:
      P(Ass) = P(Herz-As) + P(Pik-As) + P(Karo-As) + P(Kreuz-As) = 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52
      P(Ass) = 4/52 = 1/13.
      Wir können diese Wahrscheinlichkeiten einfach addieren (Additionssatz), da sie sich gegenseitig ausschließen. Das bedeutet, keine der Karten kann das Herz-Ass sowie das Pik-Ass gleichzeitig sein.
      Ebenso ist es wichtig zu wissen, dass für die Wahrscheinlichkeit nach der Definition von Laplace gilt: P(X) = (Anzahl der für X günstigen Elementarereignisse)/(Anzahl der möglichen Elementarereignisse). Hier wäre es dann: P(Ass) = (Anzahl an Assen im Deck)/(Gesamt-Kartenzahl) = 4/52 = 1/13.


      Stochastisch unabhängige Ereignisse:
      Einige Ereignisse schließen sich allerdings nicht gegenseitig aus. Betrachten wir hierzu folgendes Beispiel:
      Ereignis A: Die Karte ist ein Herz
      Ereignis B: Die Karte ist ein Ass
      Wenn wir hier die Wahrscheinlichkeit errechnen wollen, dass die Karte ein Herz oder ein As ist, und diese wie im vorigen Beispiel addieren, so kämen wir zu folgendem Schluss: Es gibt 13 Herz-Karten im Deck, also wäre P(A) = 13/52. Es gibt 4 Asse, also wäre P(B) = 4/52.
      Diese 2 Wahrscheinlichkeiten können wir hier allerdings nicht einfach addieren, da es möglich ist, dass die Karte ein Herz ist, als auch ein As! Dass wir keine Karte doppelt zählen – nämlich das Herz-Ass – müssen wir noch die Schnittmenge P(A ∩ B) von P(A) + P(B) subtrahieren.
      In diesem Falle wäre P(A ∩ B) = 13/52 * 4/52 = 1/52 (Herz-Ass).
      Daraus folgt für P(A o. B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13.
      Hier liegt nun ein stochastisch unabhängiges Ereignis vor, da mindestens eine der drei äquivalenten Bedingungen gilt; in diesem Fall stimmen sogar alle drei überein:
      - P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/52) = (13/52) * (4/52)
      - P(A) = P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (13/52) = (1/52) / (4/52)
      - P(B) = P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = (4/52) = (1/52) / (13/52)


      Stochastisch abhängige Ereignisse:
      Um nun stochastisch abhängige Ereignisse zu erklären, möchte ich folgendes Problem heranziehen: Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt ein Spieler aus einem 52-Kartendeck 2 Asse ausgeteilt?
      Ereignis A: 1te Karte ist ein As
      Ereignis B: 2te Karte ist ebenso ein As
      Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt ist 4/52, ebenso ist P(B) = 4/52. Allerdings sind diese beiden Ereignisse abhängig. Wenn A eintritt, dann ist es unwahrscheinlicher, dass auch B eintritt. Es gibt dann nur noch 3 Asse, und nur noch 51 Karten insgesamt.
      Demnach gilt dann: P(A) = 4/52, und P(B|A) = 3/51.
      Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) meint dabei die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B, unter der Bedingung, dass A schon eingetreten ist.
      P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = 4/52 * 3/51 = 1/221 ≈ 0,005 ≈ 0,5%
      Hier liegt also ein stochastisch abhängiges Ereignis vor, da keines der drei äquivalenten Bedingungen erfüllt wird:
      - P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/221) ≠ (4/52) * (4/52)
      - P(A) = P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (4/52) ≠ (1/221) / (4/52)
      - P(B) = P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = (4/52) ≠ (1/221) / (4/52)
    • KingTexaz
      KingTexaz
      Bronze
      Dabei seit: 03.09.2007 Beiträge: 11.160
      PS: Das wäre quasi alles vom Referat was zu preflop-Wahrscheinlichkeiten gehört. Der nächste Teil wäre dann P(Draw to the Straight) etc, nur so als Tipp dass ihr wisst was ihr da vllt inhatlich noch vermissen würdet etc.

      Es wäre mir echt eine super Hilfe wenn ihr mathe-begabten mal drüberschauen würdet - Danke.