Fraktale Geometrie [10$ inside]^^

    • Bubulinohunter
      Bubulinohunter
      Bronze
      Dabei seit: 18.11.2007 Beiträge: 961
      Moin Jungs,
      wer es schafft mir folgenden Text so zu erklären dass ich ihn verstehe bekommt 10$ auf Stars:

      Hausdorf Dimension

      Die Hausdorff-Dimension wurde von Felix Hausdorff eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen Räumen, wie beispielsweise Fraktalen, eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie beispielsweise Strecken, Vielecke, Quader und ähnliches stimmt ihr Wert mit dem des gewöhnlichen Dimensionsbegriffes überein. Im Allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl, sondern kann auch eine rationale oder eine irrationale Zahl sein.

      Dazu betrachtet man die Anzahl N der Kugeln mit dem Radius R, die mindestens erforderlich ist, um die Punktmenge zu überdecken. Diese Mindestanzahl ist eine Funktion N(R) des Radius R. Je kleiner der Radius ist, umso größer ist N. Aus der Potenz von R, mit der N(R) für den Limes R gegen Null anwächst, berechnet sich die Hausdorff-Dimension D und zwar nach



      und damit:



      Anstelle von Kugeln können ebenso gut Würfel oder vergleichbare Objekte verwendet werden. Bei Punktemengen in der Ebene können auch Kreise zur Überdeckung verwendet werden. Bei Punktmengen in mehr als drei Dimensionen müssen entsprechend höherdimensionale Kugeln verwendet werden.
      Für eine gewöhnliche endliche Kurve wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln umgekehrt proportional zum Kugelradius. Eine Kurve hat daher die Hausdorff-Dimension D = 1. Für eine gewöhnliche endliche Fläche wie beispielsweise ein Rechteck wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln dagegen proportional zu 1/R2. Es gilt daher D = 2.

      Ähnlichkeitsdimension

      Mengen, die aus N um den Faktor ε < 1 verkleinerten Versionen ihrer selbst bestehen, heißen selbstähnlich. Für diese ist die Ähnlichkeitsdimension definiert.

      Man beachte, dass man hier keinen Limes braucht. Bsp: Ein Quadrat besteht aus vier Quadraten (N=4) der halben (ε = 1 / 2) Kantenlänge und hat damit D=2. Aber schon ein Kreis besteht nicht aus verkleinerten Kreisen und die Ähnlichkeitsdimension ist nicht definiert. Die Dimension von vielen bekannten Fraktalen lassen sich aber damit bestimmen. Aufgrund der fehlenden Limesbildung ist die Ähnlichkeitsdimension besonders einfach und ist deshalb oft die einzige für Laien verständliche fraktale Dimension. Diese Methode der Dimensionsberechnung drängt sich insbesondere auch bei IFS-Fraktalen auf.

      -------------

      Ich versteh nicht wie das mit den Kugeln und den Kreisen gemeint ist, und wie man dann daraus die Dimension berechnet :D

      p.s kann erst heute abend bescheid sagn obs was hilft oder nicht ; )
  • 7 Antworten
    • p00s88
      p00s88
      Bronze
      Dabei seit: 08.09.2007 Beiträge: 8.947
      ach des hat ich ma in so nem mathekurs gelernt is aba schon n jahr her oda so :D
    • eXcuilor
      eXcuilor
      Bronze
      Dabei seit: 05.12.2006 Beiträge: 1.226
      Original von p00s88
      ach des hat ich ma in so nem mathekurs gelernt is aba schon n jahr her oda so :D
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    • Yaki
      Yaki
      Bronze
      Dabei seit: 17.10.2007 Beiträge: 7.689
      Original von eXcuilor
      Original von p00s88
      ach des hat ich ma in so nem mathekurs gelernt is aba schon n jahr her oda so :D
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    • romanH
      romanH
      Black
      Dabei seit: 15.08.2006 Beiträge: 263
      naja 2 seiten dazu zu schreiben isses mir jetz nich wert, aber was genau verstehst du denn nicht ?
    • OrcaAoc
      OrcaAoc
      Gold
      Dabei seit: 06.08.2006 Beiträge: 4.813
      Ich versteh nicht wie das mit den Kugeln und den Kreisen gemeint ist,


      Die Kugeln sollen die Menge an Punkten die du hast umschliessen, das wird in Abhängigkeit vom Kugelradius R betrachtet.
      Die Hausdorff Dimesnion D ist dann wohl sowas wie den kleinst möglichen Radius + Anzahl der Kugel(n) zu finden mit denen das geht.
    • hazz
      hazz
      Black
      Dabei seit: 13.02.2006 Beiträge: 4.771
      das glaube ich nicht. n(r) ist eine funktion von r und offensichtlich waere der kleinstmoegliche radius 0 bei einer endlichen punktemenge mit n(0) = anzahl der punkte. da wir aber auch mit unendlichen punkten hantieren wollen gehts hier mmn eher um das verhaeltnis von r und n .. das drückt ja auch das "~" aus.

      beispiel
      du hast 2 punkte mit dem abstand 1. bei r = 0.5 waere n(0.5) = 1. halbierst du r auf .25, dann wird n(0.25) = 2 .. weil du jetzt 2 kugeln brauchst - die punkte sind zuweit auseinander, als das eine kugel allein sie abdecken kann.

      eine halbierung von r ergibt hier eine verdopplung von n(r).
      die hausdorff-dimension ist jetzt der modifikator für r, damit r und n(r) immer (reziprok)proportional sind.


      falls ich müll erzähle kann roman mich ja korrigieren, hab von dem krams eben zum ersten mal gelesen ;)
    • romanH
      romanH
      Black
      Dabei seit: 15.08.2006 Beiträge: 263
      ja das stimmt schon so. die eigentlich schwierigkeit besteht halt darin bei komplizierteren punktmengen den grenzwert dann wirklich zu bestimmen.
      wir hatten das aber auch nur am rande im zusammenhang mit dem komplexen newton-verfahren für polynome vom grad >2, da bilden die startwerte für die das verfahren konvergiert fraktale, sogenannte Julia-Mengen