Hilfe: lineare Algebra: Liegen die Punkte auf der Geraden?

    • Lacoone
      Lacoone
      Bronze
      Dabei seit: 29.06.2007 Beiträge: 5.698
      Kann mir jmd einen verständlichen Link oder eine Rechnung vorlegen? Das würde mir im Moment wirklich helfen...



      Prüfen Sie, ob die Punkte P1 (5; 3; 8) und P2 (2; 0; 4) auf der Geraden g mit




      .......( 1 ).......( 2 )
      x = ( -1) + r ( 2 )
      .......( 2 ).......( 3 )

      liegen.
  • 48 Antworten
    • Aulinator
      Aulinator
      Bronze
      Dabei seit: 19.01.2007 Beiträge: 1.303
      zauberwort heisst punktprobe....
      p1 bei x eingesetzt
      (5) .. (1)... (2)
      (3) =(-1)+ r (2)
      (8) (2) ..... (3)
      umgeformt:
      (5-1 ) ..... (2)
      (3-(-1)) = r(2)
      (8-2 ) ..... (3)

      (4) .... (2) => r=2
      (4) = r (2) => r=2
      (6) ..... (3) => r=2

      da r für alle 3 koords gleich ist liegt der punkt auf der geraden...

      hoffe hilft ein bissl :P
    • Lacoone
      Lacoone
      Bronze
      Dabei seit: 29.06.2007 Beiträge: 5.698
      Hey danke, habs verstanden.. und Freitag mündliche Abiprüfung :)

      Wenns keine Umstände macht, wie rechnet man aus, ob zwei Geraden (Vektoren oder so.. ) parallel oder windschief etc. sind?


      Z.B.


      Schneiden sich die Geraden G1:

      ......( 0 )........( 0 )
      x : (2,5) + r (-6,5) r € R (r Element aus den reellen Zahlen)
      ......(0,5).......( 3 )

      und G2?

      ......( 0 )........( 3 )
      x : (2,5) + r ( 0 ) r € R (r Element aus den reellen Zahlen)
      ......(0,5).......( 0 )


      Dannach kann ich alles denke ich, wäre wirklich hilfreich wenn ihr mir das kurz erklärt; ich kann nur Stochastik -.-

      Danke nochmal
    • lego
      lego
      Bronze
      Dabei seit: 08.03.2005 Beiträge: 5.823
      G1 und G2 schneiden sich in (0/2,5/0,5), sieht man beim hinsehen.

      gibt es keinen schnittpunkt, so können sie windschief oder parallel sein.
      wenn der richtungsvektor von g1 und g2 linear abhängig sind, dann sind sie parallel, sonst windschief
    • thaze
      thaze
      Bronze
      Dabei seit: 17.03.2007 Beiträge: 337
      Im Prinzip wie vorher, für jede Koordinatenrichtung die entsprechenden Teile gleichsetzen. Und wenn du mehrere Geraden hast: unbedingt verschiedene Parametervariablen benutzen! Wenn du auf G1 zB "5*r" weit gehst, musst du nicht auch auf G2 soweit gehen!

      x: 0,0+0,0r = 0,0+3,0s
      y: 2,5-6,5r = 2,5+0s
      z: 0,5+3,0r = 0,5+0,0s

      3 Gleichungen, 2 Unbekannte -> locker lösbar
      Wenn du n plausibles Ergebnis für r und s bekommst, das die Gleichungen erfüllt, schneiden sich die Geraden.

      Wenn es keine Lösung gibt, schneiden sie sich nicht. In dem Fall Richtungsvektoren vergleichen, ob sie in die gleiche Richtung (oder genau entgegengesetzt) zeigen. Dann sind's parallel.

      Wenn auch das nicht der Fall ist -> windschief

      Edit: Wie vorredner sagt, hier total billig, weil schon die Stützvektoren identisch sind. Für r=s=0 ist obiger Kram also erfüllt.
    • ForTheLove
      ForTheLove
      Bronze
      Dabei seit: 19.08.2007 Beiträge: 8.063
      Freitag mündliche? Abi?
      Du bist am Arsch.
      :P

      Zu deinem Prob: Ja da isses sehr obv., da gleicher Ortsvektor.
      Ansonsten:
      Gleichsetzen->lineares Gleichungssystem machen (nicht zwei mal dem Parameter die gleiche Variable geben bitte...)-->wenn lgs eindeutig lösbar einen Parameter in die zugehörige Geradengleichung einsetzen und die Geradengleichung lösen. (Sollte dann bei beiden Geraden mit dem jeweiligen Parameter aus dem LGS der gleiche Punkt rauskommen), zur Probe sonst nochma ne Punktprobe machen.


      Um das von lego mal zu übersetzen (ich hoffe ich unterschätze dich jetzt nicht :D ):
      Ist ein Richtungsvektoren das Vielfache des anderen, sind sie entweder parallel oder identisch, ist er es nicht sind sie windschief, sofern sie sich nicht schneiden.
      Also richtungsvektor vielfaches vom andern+gleicher ortsvektor=identisch
      richtungsvektor vielfaches vom andern+nicht gleicher ortsvektor=parallel
      nichts dergleichen=windschief oder schneiden sich.

      mfg,
      4tl

      //edit: Da war wohl jmd zu langsam X_x und in meinem Post ortsvektor=stützvektor, sry
    • Lacoone
      Lacoone
      Bronze
      Dabei seit: 29.06.2007 Beiträge: 5.698
      Danke hat mir geholfen, ich werde es mir dennoch nochmal öfter ansehen müssen.

      Ich hoffe einfach mal, dass ich so ne dämliche Matrix erstellen muss, da habe ich solche Probleme nicht..
    • Lacoone
      Lacoone
      Bronze
      Dabei seit: 29.06.2007 Beiträge: 5.698
      Okay ich kann es jetzt, nur habe ich meine Schwierigkeiten mit dem Gleichsetzen.

      Original von thaze
      3 Gleichungen, 2 Unbekannte -> locker lösbar
      Wenn du n plausibles Ergebnis für r und s bekommst, das die Gleichungen erfüllt, schneiden sich die Geraden.
      Wie löse ich diese Gleichung auf?

      4 + 1r = 1 +0s
      2 + 2r = 2 + 4s
      1 + 3r = 3 + 1s

      Wenn mir das noch jmd erklärt schreibe ich Morgen 13 Punkte :o)
    • ForTheLove
      ForTheLove
      Bronze
      Dabei seit: 19.08.2007 Beiträge: 8.063
      Meinst du....? ^^;
      Is das echt Abi oder so? Denke, dass die da schon mehr vordern.

      Ist übrigens keine Gleichung, sondern ein Gleichungssystem.
      Ich meine...Drei Gleichungen zwei Unbekannte sollte man grad noch hinbekommen.
      Da in der ersten Gleichung +0s steht kannst du das auch weglassen, die stellst du dann nach r um und setzt dein r in die zweite oder dritte Gleichung ein, die du dann nach s umstellen kannst-->Du hast die Werte beider Variablen.
      Überprüfen nicht vergessen.


      Rechnes mal selbst, Lösung:
      r=-3 (offensichtlich an der ersten ablesbar)
      s durch einsetzen in die Zweite=-1,5
      Beim Überprüfen fällt dann auf, dass das LGS nicht eindeutig lösbar ist.


      mfg,
      4tl
    • Lacoone
      Lacoone
      Bronze
      Dabei seit: 29.06.2007 Beiträge: 5.698
      Danke, jetzt kann ich es :heart: Ich kann ja sonnst alles, nur diese Vektorkram liegt mir nicht.

      Rechnung also

      r= -3

      2+(-6) = 2 + 4s
      -6 = 4s
      -1,5 = s

      1 + (-9) = 3 + (-1,5)

      -8 =! 1,5 => also sind die Geraden windschief! :D
    • ForTheLove
      ForTheLove
      Bronze
      Dabei seit: 19.08.2007 Beiträge: 8.063
      Sehr gut :D
      Was ist mit anderem Krahm der linearen Algebra, kannst das alles?
      Ebenen vektor->normalen->koordinatenform?
      Schnitt gerade Ebene?
      Abstand von Geraden?
      Abstand Gerade Ebene?
      Abstand Punkt Ebene/Gerade?

      Oder brauchst du sowas alles nicht?
      Was fürne Prüfung musst denn machen?

      Übrigens, bei unendlich möglichen Lösungen sind die Geraden identisch.
      (r=s)


      mfg,
      4tl
    • Lacoone
      Lacoone
      Bronze
      Dabei seit: 29.06.2007 Beiträge: 5.698
      Hey ForTheLove, scheinst ja in Mathe erfahren zu sein... ^^ (Ob das was Gutes ist :D )

      Ebenen kommen garnicht dran. In Sachen Vektoren nur ob Punkte auf einer Geraden liegen und ob sich zwei Geraden schneiden oder windschief sind.

      Abstand Punkt Gerade wäre vielleicht noch wichtig .. ist das schwer?

      Dazu muss ich eine (Polulations)matrix erstellen können und mit der rechnen. Also wieviele Eier, Käfer und Laven gibt es nach zwei Jahren, wenn 20% der Laven und 50% der Käfer überleben und jedes Jahr Eier legen etc..

      Dann kommt noch Stochastik ( :club: =) ) dran.
      Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes, Bernoulli, etc.

      Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Mann erkrankt trotz eines negativen Tests etc.


      Da ich nicht genau weiss, was im Abi dran kommt, lerne ich lieber weniger, damit ich nicht soviel unnötig lerne. :P :tongue:
    • ForTheLove
      ForTheLove
      Bronze
      Dabei seit: 19.08.2007 Beiträge: 8.063
      xD das macht natürlich Sinn :P Aber so ähnlich hab ichs auch immer gehalten.

      Naja was heißt Mathe erfahren, hatte halt LK und hatte vorgestern erst die letzte Abi Prüfung (mündl.), ist also alles noch frisch :)
      Und warum soll das schlecht sein? :) <3 Mathe

      Also wenn Ebenen nicht mal drankommen, dann kommt Abstand Punkt, Gerade bestimmt auch nicht dran...Da besteht nämlich ein gewisser Zusammenhang.


      Klingt ja alles recht human, dann packste das schon :D
      Viel Glück dann Morgen, wenn noch was is kannste ja Fragen.

      mfg,
      4tl
    • Aulinator
      Aulinator
      Bronze
      Dabei seit: 19.01.2007 Beiträge: 1.303
      Original von ForTheLove
      Also wenn Ebenen nicht mal drankommen, dann kommt Abstand Punkt, Gerade bestimmt auch nicht dran...Da besteht nämlich ein gewisser Zusammenhang.
      war das mit den ebenen nicht beim abstand von 2 windschiefen geraden...?
    • Lacoone
      Lacoone
      Bronze
      Dabei seit: 29.06.2007 Beiträge: 5.698
      Eine Frage hätte ich noch, weil ich in der Prüfung auch Zwischenfragen gestellt bekomme, die nicht umbedingt etwas mit der Aufgabe zu tun haben müssen.

      Wozu dient der Skalar "r" in der Vektorgerade (nennt man das so? ) ? Also was bewirkt der Skalar bei dem Vektor, Ort und Richtung sind doch schon vorgegeben... :o
    • Aulinator
      Aulinator
      Bronze
      Dabei seit: 19.01.2007 Beiträge: 1.303
      Original von Lacoone
      Eine Frage hätte ich noch, weil ich in der Prüfung auch Zwischenfragen gestellt bekomme, die nicht umbedingt etwas mit der Aufgabe zu tun haben müssen.

      Wozu dient der Skalar "r" in der Vektorgerade (nennt man das so? ) ? Also was bewirkt der Skalar bei dem Vektor, Ort und Richtung sind doch schon vorgegeben... :o
      erst durch die variable r wird die sache zu einer gerade, ohne dieses r wäre es einfach ein punkt, durch r ist es eine unendliche menge punkte, die auf dieser geraden liegen und durch r sozusagen hinundhergeschoben werden können

      €: also du hast den stützpunkt und er wird durch das verändern von r mithilfe des richtungsvektors die gerade "hoch" oder "runter" geschoben, jenachdem wie r lautet, somit sind alle punkte auf dieser gerade durch das verändern von r zu erreichen
    • ForTheLove
      ForTheLove
      Bronze
      Dabei seit: 19.08.2007 Beiträge: 8.063
      Hmmm ja auch, aber auch für Punkt Gerade, man brauch ja den senkrechten Abstand zur Gerade.
      Du machst aus dem Punkt und dem Richtungsvektor ne Hilfsebene (Richtungsvektor=Normalenvektor der Ebene), die dan Senkrecht zur Gerade steht, dann ermittelst du den Punkt wo sich Gerade und die neue Ebene schneiden und ermittelst dann den Abstand des Schnittpunktes zu deinem Punkt.

      Zu deiner Frage nochma:
      Skalar=Parameter, zumindest haben wir den immer so genannt :)
      Vektorgerade geht vielleicht noch, ansonster "Gerade in Parameter-Form".
      Der Parameter kann den Richtungsvektor in jede Richtung um jeden Faktor verlängern, erst durch ihn lassen sich also alle Punkte der Gerade von dem Stützvektor aus bestimmen. (Wodurch das ganze erst zu einer Gerade wird (die ja unendlich lang ist)
      Gibst du dem Parameter Begrenzungen, ist es eine Strecke.
      //edit: Siehe Vorredner :P

      mfg,
      4tl
    • Bierbaer
      Bierbaer
      Bronze
      Dabei seit: 27.05.2005 Beiträge: 7.989
      Btw ist das was du da machst kein Mathe, sondern rechnen... :rolleyes:
    • Aulinator
      Aulinator
      Bronze
      Dabei seit: 19.01.2007 Beiträge: 1.303
      Original von Bierbaer
      Btw ist das was du da machst kein Mathe, sondern rechnen... :rolleyes:
      wow erzähl was neues, nur heisst das fach für dass er das tut nun mal mathe kannst ja mal bei den kultusministerien der bundesländer anrufen und sie auf ihren fehler hinweisen
    • Lacoone
      Lacoone
      Bronze
      Dabei seit: 29.06.2007 Beiträge: 5.698
      UPDATE: 13 Punkte


      €: Danke euch nochmal, kam zwar nur wenig lineare Algebra dran, aber hat mir geholfen.. :D :P Juchu