Mathe-Frage

    • Abnoe
      Abnoe
      Black
      Dabei seit: 06.04.2005 Beiträge: 2.834
      Das ganze Gebiet um das es sich hier dreht übersteigt meine Vorstellungskraft schon ziemlich, aber irgendwie begreif ich es auf einer ganz banalen Ebene nicht.
      Ich wüsste gerne, warum die Riemannsche ζ-Funktion für s=1 gegen unendlich strebt, für s=2 (und s=4,6,..) allerdings endliche Werte zeigt.

      Falls das irgendwer begreift, ich will nicht die Formeln dahinter verstehen, weil das würde sowieso zu nichts führen, ich will nur wissen wo mein Denkfehler ist, wenn ich behaupte, dass es doch egal ist, wie "klein" die Terme sind, die ich addiere - solange ich nur lang genug (also unendlich lang) weiter mache, strebt mein Ergebnis doch zwangsläufig gegen unendlich?
      Nun verstehe ich, dass das Ergebnis für s=2 durch das Umformen der Gleichung zustande kommt - aber das ändert doch nichts an der Tatsache, dass es sich um eine Summe unendlich vieler Terme handelt - oder?
      Ich wär übrigens auch mit Links, die das für Laien irgendwie erklären, schon recht glücklich.
      Danke!
  • 20 Antworten
    • Doninhas
      Doninhas
      Bronze
      Dabei seit: 18.08.2007 Beiträge: 629
      Man könnte es über die "Geschwindigkeit" erklären:

      Für s=1 gehst du relativ langsam voran. Bei 1/10^1 zählst du immer noch 1/10 dazu usw.

      Bei s=2 bist du bei 1/10 schon bei 1/100, s=3 1/1000 usw. Die zahlen werden so schnell so klein, dass du bei s>1 schon nach sehr kurzer Zeit kaum noch etwas aufaddierst während es bei s=1 relativ lange dauert, bis die zahlen so klein werden. Das liegt einfach an der Potenz.
      Beispiel: n=1 bis 3: 1+1/2+1/3 = 1 5/6 ~ 1,83 für s=1 aber nur 1,36111 für s=2 und 1,115 für s=3. Und für s!=1 wird die Zahl die du dazuzählst sehr schnell sehr klein.
      Darum geht die Fkt für s=1 gegen oo und für s!=1 nicht.
    • Larloch
      Larloch
      Bronze
      Dabei seit: 26.12.2006 Beiträge: 1.339
      dass es doch egal ist, wie "klein" die Terme sind, die ich addiere - solange ich nur lang genug (also unendlich lang) weiter mache, strebt mein Ergebnis doch zwangsläufig gegen unendlich?


      dein denkfehler ist, dass es mit sicherheit egal ist, wenn die addierten terme nach unten beschränkt sind, denn dann kommt immer unendlich raus ( wenn ich immer was positives dazu tue)

      für die konvergenz einer unendlichen reihe ist deshlab immer notwendig, dass die folge, über die du nummierst (hier (1/n^s)_n) gegen null geht, also das du immer kleinere terme addierst

      das ganze reicht allerdings noch nicht aus, damit die unendliche reihe nicht unendlich wird,

      hinzu brauchst du, dass die terme die du dazu addierst "schnell" gegen null konvergieren, diese geschwindigkeit wird bei der zeta funktion über das s kontrolliert: je größer s ist, desto schneller geht 1/n^s gegen null (kannst einfach ma einsetzen und austesten

      nun ist es eben so, dass die reihe für s=1 der harmonischen reihe entspricht, wenn du nach der mal schaust, so zeigt man, dass die unendlich ist, indem man das langsame abfallen der terme ausnutzt

      für s=2 konvergiert die reihe aber nun schon, und damit auch für alle größeren s, stichwort: majorante!


      noch fragen?
    • Guenna84
      Guenna84
      Bronze
      Dabei seit: 17.03.2007 Beiträge: 161
      guckst du hier und hier
    • Abnoe
      Abnoe
      Black
      Dabei seit: 06.04.2005 Beiträge: 2.834
      Original von Larloch


      noch fragen?
      Für s=2 werden doch ebenfalls stetig positive Terme addiert? Ich verstehe das Argument der Geschwindigkeit ganz einfach nicht, weil es mir unwichtig erscheint, wie "schnell" etwas kleiner wird, wenn die Anzahl der zu addierenden Terme ohnehin unendlich ist. ?(
    • Guenna84
      Guenna84
      Bronze
      Dabei seit: 17.03.2007 Beiträge: 161
      guck dir einfach meinen 2. link an. da ist es sehr sehr einfach erklärt
    • sanjaner
      sanjaner
      Bronze
      Dabei seit: 10.03.2006 Beiträge: 2.232
      ganz grob erklärt: für s=1 kannst du ab jedem beliebigen Wert eine darauf folgende Teilreihe finden, die größer als 1 ist.
      Beispiel: angefangen mit 1/4: 1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9 + 1/10 >1

      Genau das geht aber bei s=2 nicht mehr.... Irgendwie kann man das auch ganz einfach zeigen
    • Abnoe
      Abnoe
      Black
      Dabei seit: 06.04.2005 Beiträge: 2.834
      Original von Guenna84
      guck dir einfach meinen 2. link an. da ist es sehr sehr einfach erklärt
      Ja, der war vorher noch nicht da. Ich fühl mich zwar ein bisschen "patronized" von deinem Link, aber ich verstehs. Danke.
    • moondanstar
      moondanstar
      Bronze
      Dabei seit: 18.11.2006 Beiträge: 193
      Für s=1 handelt es sich schlicht um die harmonische Reihe und diese ist divergent, das kannst du ganz einfach zeigen hier steht das ganze auch noch einmal auf Wikipedia.

      Für n=2 hast du die Reihe 1/n^2 und diese ist konvergent auch das kannst du ganz einfach mit den Konvergenzkriterien für Reihen zeigen, analog geht das ganze genauso für alle s > 2.

      Solltest du gar nicht wissen wovon ich rede kannst du mir gerne eine PM dann kann ich dir das ganze auch nochmal ausführlich aufschreiben.

      mfG
    • Tobsen123
      Tobsen123
      Bronze
      Dabei seit: 21.01.2008 Beiträge: 918
      Kann jemand mal Bitte die Formel für den Grenzwert einer unendlichen geometrischen Reihe herleiten?

      Ich mein die Formel: a=1+q+q²+q³+...=1/(1-q), falls -1<q<1

      Dankeschön :)
    • Knudsen
      Knudsen
      Bronze
      Dabei seit: 19.07.2005 Beiträge: 4.314
      Original von Tobsen123
      Kann jemand mal Bitte die Formel für den Grenzwert einer unendlichen geometrischen Reihe herleiten?

      Ich mein die Formel: a=1+q+q²+q³+...=1/(1-q), falls -1<q<1

      Dankeschön :)
      du kannst diese formel für die partialsumme leicht durch induktion zeigen.

      dann einfacher grenübergang für die unendliche reihe

      edit: das a0 kannst du da getrost vernachlässigen, das kommt von der darstellung a0*q^k
    • Larloch
      Larloch
      Bronze
      Dabei seit: 26.12.2006 Beiträge: 1.339
      [x] vote for tex code im forum
    • Abnoe
      Abnoe
      Black
      Dabei seit: 06.04.2005 Beiträge: 2.834
      Original von moondanstar
      analog geht das ganze genauso für alle s > 2.

      Solltest du gar nicht wissen wovon ich rede kannst du mir gerne eine PM dann kann ich dir das ganze auch nochmal ausführlich aufschreiben.

      mfG
      Zeig mal was bei s=5 passiert, am besten ohne PM :rolleyes:
      Also ich mein natürlich, was passiert, wenn du s=5 in der Gleichung versuchst. Konvergent ist sie natürlich schon, meine ich begriffen zu haben.
    • Tobsen123
      Tobsen123
      Bronze
      Dabei seit: 21.01.2008 Beiträge: 918
      Original von Knudsen
      Original von Tobsen123
      Kann jemand mal Bitte die Formel für den Grenzwert einer unendlichen geometrischen Reihe herleiten?

      Ich mein die Formel: a=1+q+q²+q³+...=1/(1-q), falls -1<q<1

      Dankeschön :)
      du kannst diese formel für die partialsumme leicht durch induktion zeigen.

      dann einfacher grenübergang für die unendliche reihe

      edit: das a0 kannst du da getrost vernachlässigen, das kommt von der darstellung a0*q^k
      Vollständige Induktion ist schon was feines, jedoch nicht wirklich der "Ansatz" den ich interressant finde.

      Man hat die Formel doch nicht aus heiterem Himmel gegriffen und danach bewiesen. Sie wurde doch wahrscheinlich irgendwie hergeleitet, oder?
    • Hasgar
      Hasgar
      Black
      Dabei seit: 03.09.2007 Beiträge: 1.564
      Original von Abnoe
      ich will nur wissen wo mein Denkfehler ist, wenn ich behaupte, dass es doch egal ist, wie "klein" die Terme sind, die ich addiere - solange ich nur lang genug (also unendlich lang) weiter mache, strebt mein Ergebnis doch zwangsläufig gegen unendlich?
      es ist keineswegs egal wie klein die werte sind, denn genau das entscheided ob es gegen ne endlichen wert oder unendlich strebt. ich gebe dir ein ganz einfaches gegenbeispiel:

      die zahl 0,11111111... (periodisch) ist eine summe aus unendlich vielen brüchen: 1/10 + 1/100 + 1/1000....usw.

      du hast hier unendlich viele summanden aber die zah wird trotzdem nie größer als 0.2. also bleibst du im endlichen bereichen bloß weil die summanden stark kleiner werden.

      bei deinem beispiel sind die summanden für s=1 einfach zu groß und die summe strebt gegen unendlich. aber s=2 sind die werte klein genug, so dass die reihe konvergiert.

      edit: sry for rechtschreibfehler...hab noch viel restalk von gestern ^^
    • Knudsen
      Knudsen
      Bronze
      Dabei seit: 19.07.2005 Beiträge: 4.314
      Original von Tobsen123
      Original von Knudsen
      Original von Tobsen123
      Kann jemand mal Bitte die Formel für den Grenzwert einer unendlichen geometrischen Reihe herleiten?

      Ich mein die Formel: a=1+q+q²+q³+...=1/(1-q), falls -1<q<1

      Dankeschön :)
      du kannst diese formel für die partialsumme leicht durch induktion zeigen.

      dann einfacher grenübergang für die unendliche reihe

      edit: das a0 kannst du da getrost vernachlässigen, das kommt von der darstellung a0*q^k
      Vollständige Induktion ist schon was feines, jedoch nicht wirklich der "Ansatz" den ich interressant finde.

      Man hat die Formel doch nicht aus heiterem Himmel gegriffen und danach bewiesen. Sie wurde doch wahrscheinlich irgendwie hergeleitet, oder?
      ich weiß es zwar nicht, aber evtl. hat sich ursprünglich jemand diese Gedanken gemacht
    • pils3
      pils3
      Bronze
      Dabei seit: 10.01.2007 Beiträge: 2.010
      für s=0 wird die reihe unendlich, denn du addierst unendlich mal 1.

      für s=2 addierst du immer die hälfte vom vorherigen. und damit auch immer die hälfte von dem, was zur "2" fehlt. also kommst du der 2 unendlich nahe, aber die summe wird nie größer als 2.
      1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
      1 -> 3/2 -> 7/4 -> 15/8 -> ...
      ergo divergiert die reihe nicht.


      also muss irgendwo zwischen s=0 und s=2 die grenze zwischen konvergenz und divergenz liegen. und diese grenze ist s=1. alles darüber konvergiert.
    • sanjaner
      sanjaner
      Bronze
      Dabei seit: 10.03.2006 Beiträge: 2.232
      Original von Mace5678
      für s=0 wird die reihe unendlich, denn du addierst unendlich mal 1.

      für s=2 addierst du immer die hälfte vom vorherigen. und damit auch immer die hälfte von dem, was zur "2" fehlt. also kommst du der 2 unendlich nahe, aber die summe wird nie größer als 2.
      1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
      1 -> 3/2 -> 7/4 -> 15/8 -> ...
      ergo divergiert die reihe nicht.


      also muss irgendwo zwischen s=0 und s=2 die grenze zwischen konvergenz und divergenz liegen. und diese grenze ist s=1. alles darüber konvergiert.
      echt? also ich dachte immer die Hälfte von 1/(2^2) = 1/4 wäre ein 1/8 und nicht 1/(3^2) =1/9.... ;-)

      Aber damit kann man schön zeigen, dass es überhaupt konvergiert, da die Werte ja noch kleiner sind als die Hälfte
    • Gorith
      Gorith
      Bronze
      Dabei seit: 20.04.2007 Beiträge: 740
      Original von moondanstar
      Für n=2 hast du die Reihe 1/n^2 und diese ist konvergent auch das kannst du ganz einfach mit den Konvergenzkriterien für Reihen zeigen, analog geht das ganze genauso für alle s > 2.
      Also... du hast recht... für s=2 ist es wirklicheinfach in irgendwien Kriterium einzusetzen. Aber verstanden hat einer, der die Kriterien nicht beweisen kann deswegen noch gar nichts.

      Ich würde mir den Fall s=2 folgendermaßen anschauen: Nimm 2 gleich große Blätter Papier (z.B. DIN A4). Jetzt legst du das eine beiseite. Das ist 1. Zerreiß das andere in 2 Hälften und lege eine Hälfte dazu. Du hast jetzt 1+1/2=1.5. Jetzt zerreist du die übrige Hälfte wieder in 2 Hälften und legst eine zum ganzen Blatt und der bereits beiseite gelegten Hälfte. Dann hast du 1+1/2+1/4 beiseite gelegt. So verfährst du immer weiter. Das geht, weil dir das zweite Blatt nie ganz ausgeht. (Du halbierst ja immer). Insgesamt konstruierst du so eine Summe der Gestalt

      1+1/2+1/4+1/8+1/16+....
      oder anders aufgeschrieben: 1/(2^0)+1/(2^1)+1/(2^2)+1/(2^3)+...

      Diese Summe ist, wie du jetzt offensichtlich sehen kannst, endlich. Sie ergibt den Wert 2.

      Wir lernen daraus, dass es also möglich ist mit "unendlich vielen Summanden" einen Endlichen Wert zu erhalten. (Das ist wirklich SEHR unexakt und salopp ausgedrückt, genügt aber für den laien um sich das vorzustellen).

      So. Jetzt musst du nur noch verstehen, dass es auch Reihen gibt, die nicht konvergieren (also wo die Summe beliebig groß wird), obwohl die Summanden immer kleiner werden. Das prominenteste Beispiel ist die Harmonische reihe: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... Wie der Beweis geht, dass diese Summe gegen unendlich strebt, kannst du auf Wikipedia sehr eingänglich beschrieben nachlesen.

      Aha. Das bedeutet also, dass es darauf ankommt, wie schnell die Summanden gegen 0 gehen, ob eine Reihe konvergiert oder nicht. In Analysis 1 (Grundvorlesung im Mathematikstudium) beweist man, dass die Harmonische reihe gerade noch unendlich groß wird. Eine Reihe der Gestalt

      1+1/(2^k)+1/(3^k)+1/(4^k)+...

      konvergiert genau dann, wenn k>1 ist und divergiert genau dann, wenn k<=1^ist.

      Ich hoffe das hat geholfen dir ein Bild von Reihen zu machen und warum manche konvergieren und andere nicht.
    • pils3
      pils3
      Bronze
      Dabei seit: 10.01.2007 Beiträge: 2.010
      Original von sanjaner
      Original von Mace5678
      für s=0 wird die reihe unendlich, denn du addierst unendlich mal 1.

      für s=2 addierst du immer die hälfte vom vorherigen. und damit auch immer die hälfte von dem, was zur "2" fehlt. also kommst du der 2 unendlich nahe, aber die summe wird nie größer als 2.
      1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
      1 -> 3/2 -> 7/4 -> 15/8 -> ...
      ergo divergiert die reihe nicht.


      also muss irgendwo zwischen s=0 und s=2 die grenze zwischen konvergenz und divergenz liegen. und diese grenze ist s=1. alles darüber konvergiert.
      echt? also ich dachte immer die Hälfte von 1/(2^2) = 1/4 wäre ein 1/8 und nicht 1/(3^2) =1/9.... ;-)

      Aber damit kann man schön zeigen, dass es überhaupt konvergiert, da die Werte ja noch kleiner sind als die Hälfte


      oh, du hast vollkommen recht, das passiert, wenn man die aufgabenstellung nicht aufmerksam liest.

      sorry :)
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