aufgabe 12 kugeln teil II

    • jukeboxheroo
      jukeboxheroo
      Bronze
      Dabei seit: 31.01.2007 Beiträge: 3.184
      Herr Produkt und Herr Summe


      Zu finden sind zwei natürliche Zahlen, die beide echt zwischen 1 und 100 liegen. Eine Person, im folgenden "Herr Produkt" genannt, kennt das Produkt der beiden Zahlen, eine andere Person, im folgenden "Herr Summe" genannt, kennt ihre Summe. Zwischen den beiden Personen entwickelt sich der folgende Dialog:

      Herr Produkt: "Ich kenne die beiden Zahlen nicht."
      Herr Summe: "Ich kenne die beiden Zahlen auch nicht, ich wußte aber, dass Sie sie nicht kennen."
      Herr Produkt: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt."
      Herr Summe: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt auch."

      a ) Welches sind die beiden Zahlen?

      3 und 5
      2 und 7
      8 und 11
      4 und 13

      b ) Falls keine Antwortmöglichkeiten gegeben wären, welches ist die Lösung mit den kleinsten voneinander verschiedenen Zahlen ?

      Wieviele Zahlenpaare gibt es auf die sich eine solche Konveration beziehen könnte und welcher Regel ( vermutung ) gehorchen sie ?
  • 10 Antworten
    • garten309
      garten309
      SuperModerator
      SuperModerator
      Dabei seit: 02.07.2006 Beiträge: 12.097
      Hab jetzt leider keine Zeit, aber nur ein Tought: Aussage1 bedeutet min., dass das Prod. keine Primzahl ist, denn sonst wüsste Herr Produkt von Anfang an, dass es 1 und eben das Produkt die gesuchten Zahlen sind. Des weiteren können beide Zahlen jeweils keine Primzahl sein.
    • Giggl
      Giggl
      Bronze
      Dabei seit: 09.09.2006 Beiträge: 1.697
      Lösung:

      Die ersten beiden Lösungen können beide nicht die gesuchten Zahlen sein. Das Produkt 15 kann nämlich nur durch die beiden Zahlen 3 und 5 gebildet werden, es gibt kein anderes Zahlenpaar im Bereich zwischen 1 und 100 dessen Produkt 15 ist. Wäre dies die gesuchte Lösung, so müsste Herr Produkt die Zahlen kennen. Das gleiche gilt für die Zahlen 2 und 7. Somit bleiben nur die beiden Möglichkeiten "8 und 11" oder "4 und 13" übrig. Nehmen wir nun an, die richtige Lösung sind die Zahlen "8 und 11". Herr Summe würde also die Zahl 19 kennen.

      Die Summe 19 kann man mit folgenden Summanden bilden: 2+17 (Produkt: 34) 3+16 (Produkt: 48) 4+15 (Produkt: 60) 5+14 (Produkt: 70) 6+13 (Produkt: 78) 7+12 (Produkt: 84) 8+11 (Produkt: 88) 9+10 (Produkt: 90) Da Herr Summe bereits wusste, dass Herr Produkt die Zahlen nicht kennen kann, müssten alle obenstehenden Produkte durch mehrere (mindestens 2) Zahlenpaare gebildet werden können. Dies ist bei der 34 jedoch nicht der Fall, das einzig mögliche Produkt besteht aus dem Zahlenpaar 2 und 17! Somit ist es für Herrn Summe nicht möglich zu wissen, dass Herr Produkt die Zahlen nicht kennt. Herr Summe muss also nicht die Summe 19, sondern die Summe 17 kennen! Die gesuchten Zahlen sind also 4 und 13!
    • Rebo
      Rebo
      Bronze
      Dabei seit: 29.12.2006 Beiträge: 2.757
      Original von Giggl
      Lösung:

      Die ersten beiden Lösungen können beide nicht die gesuchten Zahlen sein. Das Produkt 15 kann nämlich nur durch die beiden Zahlen 3 und 5 gebildet werden, es gibt kein anderes Zahlenpaar im Bereich zwischen 1 und 100 dessen Produkt 15 ist. Wäre dies die gesuchte Lösung, so müsste Herr Produkt die Zahlen kennen. Das gleiche gilt für die Zahlen 2 und 7. Somit bleiben nur die beiden Möglichkeiten "8 und 11" oder "4 und 13" übrig. Nehmen wir nun an, die richtige Lösung sind die Zahlen "8 und 11". Herr Summe würde also die Zahl 19 kennen.

      Die Summe 19 kann man mit folgenden Summanden bilden: 2+17 (Produkt: 34) 3+16 (Produkt: 48) 4+15 (Produkt: 60) 5+14 (Produkt: 70) 6+13 (Produkt: 78) 7+12 (Produkt: 84) 8+11 (Produkt: 88) 9+10 (Produkt: 90) Da Herr Summe bereits wusste, dass Herr Produkt die Zahlen nicht kennen kann, müssten alle obenstehenden Produkte durch mehrere (mindestens 2) Zahlenpaare gebildet werden können. Dies ist bei der 34 jedoch nicht der Fall, das einzig mögliche Produkt besteht aus dem Zahlenpaar 2 und 17! Somit ist es für Herrn Summe nicht möglich zu wissen, dass Herr Produkt die Zahlen nicht kennt. Herr Summe muss also nicht die Summe 19, sondern die Summe 17 kennen! Die gesuchten Zahlen sind also 4 und 13!
      15 * 1 = 15
    • HansiBasel
      HansiBasel
      Bronze
      Dabei seit: 24.10.2008 Beiträge: 484
      ECHT zwischen 1 und 100, also alle zahlen ausser 1 und 100...
    • Rebo
      Rebo
      Bronze
      Dabei seit: 29.12.2006 Beiträge: 2.757
      ah ok dann fail ich halt
    • jukeboxheroo
      jukeboxheroo
      Bronze
      Dabei seit: 31.01.2007 Beiträge: 3.184
      und, kommt da noch mehr, oder wars das ?
    • Cyclonus
      Cyclonus
      Bronze
      Dabei seit: 17.01.2005 Beiträge: 1.414

      Herr Produkt: "Ich kenne die beiden Zahlen nicht."

      Die Zahlenkombination aus 1 und Primzahl ist nicht möglich, da die Zahlen echt zwischen 1 und 100 liegen müssen. Wir können also auschließen:
      1,2,3,4,5,6,9,10,11,13,14,15,... sprich alle Produkte, die eine Primzahl sind oder die sich eindeutig in zwei Primfaktoren zerlegen lassen.

      Herr Summe: "Ich kenne die beiden Zahlen auch nicht, ich wußte aber, dass Sie sie nicht kennen."

      Wir können damit alle Summen auschließen, in denen eine Zahlenkombination vorkommt, die sich eindeutig in zwei Primfaktoren zerlegen lässt.

      Schauen wir uns also die gegebenen Lösungsmöglichkeiten an:

      - 3 und 5:
      Das Produkt 15 ist eindeutig, Herr Produkt schließt diese Zahlen durch seine Aussage also aus

      - 2 und 7:
      Hat ebenso das eindeutige Produkt 14, das in genau zwei Primfaktoren zerfällt

      - 8 und 11:
      Das Produkt 88 ist nicht eindeutig, lässt sich nämlich auch nach 2 x 44 oder 4 x 22 zerlegen, die Bedingung von Herr Produkt ist also erfüllt.
      Die Summe lässt sich allerdings in 17 und 2 zerlegen, die widerum eine eindeutige Summe haben, so das Herr Summe nicht ausschließen kann, das Herr Produkt die Zahl kennt.

      - 4 und 13: Das Produkt ist wieder nicht eindeutig, es geht genauso 2 x 26, Herr Produkt kennt also die Zahlen nicht.
      Es gibt auch keine Zerlegung der Summe in zwei Primzahlen, bei der Herr Summe sicher sagen könnte, das die Zahlen eindeutig sind (2x15, 3x14, 4x13, 5x12, 6x11, 7x10, 8x9)

      Herr Produkt: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt."

      Tja, jetzt wissen wir zwar die richtige Kombo, aber woher weiss es nun Herr Produkt das Ergebniss?
      Aus dem Produkt 52 ergeben sich folgende Möglichkeiten: 2x26 und 4x13. Mit ganz viel Multilevel Thinking kommt Herr Produkt dann darauf, dass 2x26 nicht die Lösung sein kann, da die Summe 28 sich nach 5x23 zerlegen lässt, was Herr Summe aber durch seine Aussagen als Möglichkeit ausgeschlossen hat.

      Herr Summe: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt auch."
      Jetzt wird es kompliziert.
      Die oben angegebenen Zerlegungen der Summe sind
      2 x 15 = 30 (=3x10=6x5)
      3 x 14 = 42 (=6x7=2x21)
      4x 13 = 52 (=2x26)
      5 x 12 = 60 (=6x10=2x30)
      6 x 11 = 66 (=2x33=3x22)
      7 x 10 = 70 (=35x2=14x5)
      8 x 9 = 72 (=6x12=2x36=3x24)

      4x13 gleich 52 ist die einzige Möglichkeit, bei der Herr Produkt nur zwei Möglichkeiten hat und das ganze für ihn lösbar ist, alle anderen Produkte wären nicht eindeutig. Da Herr Summe aber jetzt weiss, das Herr Produkt die Lösung kennt, kann er diese durch gutes Multilevel Thinking ebenfalls schnell festmachen.
    • jukeboxheroo
      jukeboxheroo
      Bronze
      Dabei seit: 31.01.2007 Beiträge: 3.184
      Tja, jetzt wissen wir zwar die richtige Kombo, aber woher weiss es nun Herr Produkt das Ergebniss?
      Aus dem Produkt 52 ergeben sich folgende Möglichkeiten: 2x26 und 4x13. Mit ganz viel Multilevel Thinking kommt Herr Produkt dann darauf, dass 2x26 nicht die Lösung sein kann, da die Summe 28 sich nach 5x23 zerlegen lässt, was Herr Summe aber durch seine Aussagen als Möglichkeit ausgeschlossen hat.


      herr produkt kennt die goldbachsche vermutung !
    • Cyclonus
      Cyclonus
      Bronze
      Dabei seit: 17.01.2005 Beiträge: 1.414
      Original von jukeboxheroo
      Tja, jetzt wissen wir zwar die richtige Kombo, aber woher weiss es nun Herr Produkt das Ergebniss?
      Aus dem Produkt 52 ergeben sich folgende Möglichkeiten: 2x26 und 4x13. Mit ganz viel Multilevel Thinking kommt Herr Produkt dann darauf, dass 2x26 nicht die Lösung sein kann, da die Summe 28 sich nach 5x23 zerlegen lässt, was Herr Summe aber durch seine Aussagen als Möglichkeit ausgeschlossen hat.


      herr produkt kennt die goldbachsche vermutung !
      Im Zahlenbereich bis 100 (und weitaus höher) ist dies keine Vermutung mehr! :D
    • jukeboxheroo
      jukeboxheroo
      Bronze
      Dabei seit: 31.01.2007 Beiträge: 3.184
      Ich meine, dass es zu diesem problem unendlich viele lösungen gäbe, welche alle folgende form haben :

      1. (a*a,b) mit a,b= prim und a = 2 sowie b/= die höhere von primzahlzwillingen

      Wie kann ich sowas behaupten ?