Das Problem erfordert ein bißchen Mathematik. Wenn etwas unverständlich ist, erkläre ich es gerne genauer.

Leider kann man hier nur ganz schlecht Formeln eingeben.
Wir definieren drei Zufallsvariable X, Y und Z. X ist die Anzahl der "Kopf"-Münzen nach dem ersten Wurf, Y ist die Anzahl der Münzen, die beim zweiten Wurf geworfen wurden und nun auch Kopf zeigen. Und wir wollen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z=X+Y.
Es gilt P(Z=n)=sum_(i=0)^n (P(X=i)P(Y=n-i|X=i))
(Summe über i von 0 bis n von der Wahrscheinlichkeit, dass X=i und Y=n-i unter der Bedingung, dass X=n)
Da X binomial verteilt ist, gilt: P(X=i)=c(10;i)/1024, wobei c(10,i)=10!/(i!(10-i)! ) der Binomialkoeffizient ist. Analog ist P(Y=n-i|X=i)=c(10-i;n-i)/2^(10-i). Also:
P(X=n)=sum_(i=0)^n (c(10;i)c(10-i;n-i)/2^(20-i) =sum_(i=0)^n (10!/(i!(n-i)!(10-n)!)/2^(20-i)
Das lässt sich, wenn ich es richtig sehe, nun nicht mehr weitervereinfachen.
Das ist aber auch nicht unbedingt notwendig, dass sich all diese Sachen nun in einen Taschenrechner eingeben lassen. Man kann die Formel höchstens noch mit einem Multinomialkoeffizienten schreiben:
P(Z=n)=sum_(i=0)^n (m(10;i,n-i)/2^(20-i))
P.S.: n!=n*(n-1)*..., z.B. 3!=3*2*1=6