Mathe - von einander abhängige zufällige Ereignisse

    • sholvar
      sholvar
      Bronze
      Dabei seit: 18.01.2005 Beiträge: 4.826
      Mal einfach um den Sachverhalt zu erklären den ich etwas genauer wissen will und auch um eine Basis zum erklären zu bieten hier mal ein Beispiel:
      Ich werfe 10 Münzen 1x. Dann werfe ich alle Münzen noch einmal die Kopf gezeigt haben. Wie ermittle ich mathematisch vollständig und korrekt, wie oft ich nach dem 2. Wurf Münzen habe, die Kopf zeigen?
      Ist es schon genau, wenn ich mit dem Durchschnittswert des ersten Wurfes als Gesamtmünzzahl für den 2. Wurf rechne? Eigentlich dürfte das nicht so sein, da ich ja ne Häufigkeitskurve habe, die keine Gerade ist. Muss ich dann also mit ner Funktion weiterrechnen biem zweiten Wurf? Wie ermittle ich die Funktion?

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  • 9 Antworten
    • dayero
      dayero
      Bronze
      Dabei seit: 26.02.2005 Beiträge: 1.723
      das ist keine abhängigkeit im sinne der stochastik, also keine korrelation. eine münze die einmal kopf gezeigt hat, hat danach ja trotzdem immer noch eine 50% chance für kopf.
      de anzahl der münzen, die zwei würfe hintereinander kopf zeigen ist natürlich einfach 50% mal 50% also 25%.

      oder gehst du jetzt von münzen aus, die nicht unbedingt eine 50% chance auf kopf haben, sondern unbekannte werte? dann ist ne münze aber ein scheiss beispiel, die sind nämlich das standartbeispiel für 50/50 wahrscheinlichkeiten ;)
    • win81549
      win81549
      Bronze
      Dabei seit: 31.07.2005 Beiträge: 370
      Das Problem erfordert ein bißchen Mathematik. Wenn etwas unverständlich ist, erkläre ich es gerne genauer. ;) Leider kann man hier nur ganz schlecht Formeln eingeben.

      Wir definieren drei Zufallsvariable X, Y und Z. X ist die Anzahl der "Kopf"-Münzen nach dem ersten Wurf, Y ist die Anzahl der Münzen, die beim zweiten Wurf geworfen wurden und nun auch Kopf zeigen. Und wir wollen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z=X+Y.

      Es gilt P(Z=n)=sum_(i=0)^n (P(X=i)P(Y=n-i|X=i))
      (Summe über i von 0 bis n von der Wahrscheinlichkeit, dass X=i und Y=n-i unter der Bedingung, dass X=n)

      Da X binomial verteilt ist, gilt: P(X=i)=c(10;i)/1024, wobei c(10,i)=10!/(i!(10-i)! ) der Binomialkoeffizient ist. Analog ist P(Y=n-i|X=i)=c(10-i;n-i)/2^(10-i). Also:
      P(X=n)=sum_(i=0)^n (c(10;i)c(10-i;n-i)/2^(20-i) =sum_(i=0)^n (10!/(i!(n-i)!(10-n)!)/2^(20-i)

      Das lässt sich, wenn ich es richtig sehe, nun nicht mehr weitervereinfachen.
      Das ist aber auch nicht unbedingt notwendig, dass sich all diese Sachen nun in einen Taschenrechner eingeben lassen. Man kann die Formel höchstens noch mit einem Multinomialkoeffizienten schreiben:

      P(Z=n)=sum_(i=0)^n (m(10;i,n-i)/2^(20-i))

      P.S.: n!=n*(n-1)*..., z.B. 3!=3*2*1=6
    • win81549
      win81549
      Bronze
      Dabei seit: 31.07.2005 Beiträge: 370
      Ich merke gerade, dass ich die Aufgabenstellung falsch gelesen habe. Mein Post bezog sich auf die Situation, dass alle Münzen, die nicht Kopf zeigen, noch einmal geworfen werden. Im Prinzip laufen beide Rechnungen ähnlich. Auf Wunsch kann ich die auch mal posten.
    • sholvar
      sholvar
      Bronze
      Dabei seit: 18.01.2005 Beiträge: 4.826
      Mein Ziel ist nicht, ne Formel für 50% zu haben, sondern rauszufinden, wie ich allgemein an ein Ziel in einer solchen Situation komme.
      Eines von vielleicht 900 Rechnungen die ich zu nem Thema machen möchte, mit deutlich mehr Ereignissen, Wiederholungen und unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten pro Wiederholung... Gibts da ne allgemeine Formel für (die man vielleicht sogar in Excel eingeben kann, so dass man immer nur nen paar Varaiblen-Werte austauschen muss)?
    • win81549
      win81549
      Bronze
      Dabei seit: 31.07.2005 Beiträge: 370
      Ja, im Prinzip würde das, was ich oben beschrieben habe auch allgemeiner gehen. Du musst dann einfach die allgemeine Binomialverteilung einsetzen. Dann verschwindet dieses /1024 bzw. /2^(20-i)
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      Original von sholvar

      Ist es schon genau, wenn ich mit dem Durchschnittswert des ersten Wurfes als Gesamtmünzzahl für den 2. Wurf rechne? Eigentlich dürfte das nicht so sein, da ich ja ne Häufigkeitskurve habe, die keine Gerade ist. Muss ich dann also mit ner Funktion weiterrechnen biem zweiten Wurf? Wie ermittle ich die Funktion?

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      Doch, das geht, weil EV(N*X) = N * EV(X). Da nun aber N und X keine gemeinsamen variablen haben kann funktioniert dies auch wenn N in deinem Fall eine Funktion ist.
    • tmy
      tmy
      Black
      Dabei seit: 15.01.2005 Beiträge: 6.309
    • win81549
      win81549
      Bronze
      Dabei seit: 31.07.2005 Beiträge: 370
      Nunja, selbst nach einem 8-2-Block steigt die Wahrscheinlichkeit des "ausgleichenden" 2-8-Blockes nicht! :D

      WICHTIG: Wenn man mit dem Gesetz der großen Zahlen argumentiert, müssen die Zufallsvariablen unkorelliert (d.h. z.B. unabhängig) sein!
    • sholvar
      sholvar
      Bronze
      Dabei seit: 18.01.2005 Beiträge: 4.826
      da hier noch nicht wirklich etwas kam, wie ich es mir als Antwort vorgestellt habe, hab ich nochmal nen neuen Thread aufgemacht, wo ich meine Frage nochmal etwas deutlicher formuliert habe.
      Mathe - Kann ich mit nem Durchschnittswert weiterrechnen?

      Da hier aber auch recht interessante Sachen entstanden sind, muss man deshalb diesen Thread nicht gleich closen oder vernichten, imo.