Euler-Formel Beweis [$$$ inside]

  • 16 Antworten
    • EvilSucker
      EvilSucker
      Bronze
      Dabei seit: 02.01.2008 Beiträge: 5.688
      Es gibt anscheinend ein Gesetz, das besagt, dass wenn die Ableitung für jeden x-Wert 0 ist, dann ist dessen Stammfunktion (also die Ausgangsfunktion f(x)) konstant.
      Dass f'(x) immer 0 ist, sollte man sehen können.
      Da man für f(0) ausrechnen kann, dass es 1 ist (sin(0)=0 und cos(0) = 1 und im Nenner e^0 = 1), kann man darauf schließen, dass es auch für alle anderen f(x) = 1 gilt.
    • lego
      lego
      Bronze
      Dabei seit: 08.03.2005 Beiträge: 5.863
      Anderer Beweis:

      aus der differentialgleichung:

      f'(x)=k*f(x) mit f(0)=1 folgt f(x)=e^(k*x)

      (falls nicht bekannt, beweis dazu: f(x) kurz als y geschrieben:

      y'=k*y, dy/dx=k*y, int(1/y)dy=int k dx, ln(y)+c1=kx+c2, ln(y)=kx+c3, y=e^(kx+c3) mit anfangsbedingung f(0)=1 folgt c3=0 und somit f(x)=e^(k*x)
      )

      Nun erfüllt f(x)=cos(x)+i*sin(x) ja die dgl f'(x)=k*x mit f(0)=1 woraus direkt f(x)=e^(i*x) folgt

      und schon fertig

      für den fall: lego_lightor
    • sarc
      sarc
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 06.06.2008 Beiträge: 12.512
      Original von EvilSucker
      Es gibt anscheinend ein Gesetz, das besagt, dass wenn die Ableitung für jeden x-Wert 0 ist, dann ist dessen Stammfunktion (also die Ausgangsfunktion f(x)) konstant.
      Was nebenbei sehr nett mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung zu beweisen ist... ;)

      Noch ne Alternative, um sich die Aussage klar zu machen: Man kann auch die Taylorreihen für e-Funktion und sin und cos aufschreiben, bisschen mit den Summen rumspielen und daran einsehen, dass das so ist. Das ist dann aber schon eher pervers zu nennen. Ich finden den Beweis aus der Wikipedia definitiv am Coolesten.
    • RecurringNightmare
      RecurringNightmare
      Bronze
      Dabei seit: 25.03.2008 Beiträge: 4.237
      Original von sarc
      Original von EvilSucker
      Es gibt anscheinend ein Gesetz, das besagt, dass wenn die Ableitung für jeden x-Wert 0 ist, dann ist dessen Stammfunktion (also die Ausgangsfunktion f(x)) konstant.
      Was nebenbei sehr nett mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung zu beweisen ist... ;)
      Was sich aber vor allem direkt und offensichtlich aus der Definition einer Ableitung bzw einer Stammfunktion ergibt.
      Die Ableitung einer Funktion beschreibt die Änderung des Funktionswertes. Wenn sie überall Null ist heisst das, dass sich der FUnktionswert nie ändert, also muss er konstant sein.
      Ansonsten lernt man das auch spätestens in der 11. Klasse und mit der Euler-Formel beschäftigt man sich normalerweise erst später.

      Noch ne Alternative, um sich die Aussage klar zu machen: Man kann auch die Taylorreihen für e-Funktion und sin und cos aufschreiben, bisschen mit den Summen rumspielen und daran einsehen, dass das so ist. Das ist dann aber schon eher pervers zu nennen. Ich finden den Beweis aus der Wikipedia definitiv am Coolesten.
      Über die Taylor-Reihen wäre sicherlich die sauberste Beweisführung, weil man die Formel von einer Seite in die andere umformt, überall Gleichheitszeichen dazwischen, perfekt, nur halt ziemlich kompliziert.
      Der Wiki-Beweis ist zwar durch die Hintertür und argumentativ, aber natürlich auch absolut richtig und wunderbar kurz und elegant.

      mfg
    • Rabenstein
      Rabenstein
      Bronze
      Dabei seit: 14.08.2006 Beiträge: 3.010
      Was du da hinschreiben sollst, hängt wohl davon ab, wofür du den Beweis brauchst und was du da gerade machst. Im ersten Semester der Uni kommen fast immer Reihenentwicklungen dran, dann schlägst du - wie bereits vorgeschlagen - die Reihendarstellung der Funktionen nach und machst so lange rum, bis beide Seiten der Gleichung identisch sind.
    • EvilSucker
      EvilSucker
      Bronze
      Dabei seit: 02.01.2008 Beiträge: 5.688
      Original von sarc
      Was nebenbei sehr nett mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung zu beweisen ist... ;)
      Jetzt wo du es sagst... :rolleyes:
      Ist eigentlich logisch, ich habe aber überhaupt nicht weiter darüber nachgedacht.
    • humpf
      humpf
      Bronze
      Dabei seit: 29.07.2006 Beiträge: 1.331
      Ich finde den Beweis gut nachzuvollziehen.
    • Ikos
      Ikos
      Bronze
      Dabei seit: 10.08.2006 Beiträge: 3.366
      ja da braucht man wohl wirklich mehr informationen darüber in welchem semester du bist, da hier die grundlagen wohl ziemlich wichtig sind. ich bin mir ziemlich sicher, dass du das aus verschiedenen definitionen und sätzen aus dem bisherigen vorlesungsaufschrieb einfach beweisen kannst. einfach ein wenig herumformen
    • sarc
      sarc
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 06.06.2008 Beiträge: 12.512
      Was sich aber vor allem direkt und offensichtlich aus der Definition einer Ableitung bzw einer Stammfunktion ergibt.
      Wobei in der Mathematik "offensichtlich" nicht als Beweis gilt... ;)
    • CuCbKu
      CuCbKu
      Bronze
      Dabei seit: 31.08.2007 Beiträge: 1.511
      ich studiere noch nicht :D
      die formel brauche ich für physik referat um gedämpfte harmonische schwingung zu beschreiben
    • EvilSucker
      EvilSucker
      Bronze
      Dabei seit: 02.01.2008 Beiträge: 5.688
      Lies dir davon den Anfang durch!
      http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

      Das wird afaik nicht in der Schule behandelt und ohne das Wissen um i versteht man den Beweis natürlich nicht.
    • CuCbKu
      CuCbKu
      Bronze
      Dabei seit: 31.08.2007 Beiträge: 1.511
      EvilSucker add mich bitte in icq: 682069
    • EvilSucker
      EvilSucker
      Bronze
      Dabei seit: 02.01.2008 Beiträge: 5.688
      Original von CuCbKu
      EvilSucker add mich bitte in icq: 682069
      No users found
      edit: diesmal gings
    • CuCbKu
      CuCbKu
      Bronze
      Dabei seit: 31.08.2007 Beiträge: 1.511
    • RecurringNightmare
      RecurringNightmare
      Bronze
      Dabei seit: 25.03.2008 Beiträge: 4.237
      Original von EvilSucker
      Das wird afaik nicht in der Schule behandelt und ohne das Wissen um i versteht man den Beweis natürlich nicht.
      Naja, so 11. oder 12. Klasse sind komplexe Zahlen normalerweise schon dran, die Euler-Formel kommt dann auch inner 12. oder 13., wenn man nicht grad im Vollboon Abdecker-GK ist.


      Original von sarc
      Was sich aber vor allem direkt und offensichtlich aus der Definition einer Ableitung bzw einer Stammfunktion ergibt.
      Wobei in der Mathematik "offensichtlich" nicht als Beweis gilt... ;)
      Doch, klar, das sind die Stellen in den Büchern wo immer so Floskeln wie "wie man sofort sieht", "wie sich der geneigte Leser leicht selbst vor Augen füren kann", "wie man leicht selbst nachrechnet" oder "trivialerweise" stehen!
      Leider werden diese Floskeln auch viel zu oft an nicht offensichtlichen Stellen benutzt, wo man dann garnichts irgendwie sofort sieht und stundenlang seitenweise rumrechnen hat auch nix mit leicht zu tun, aber naja, Mathematiker halt... :rolleyes:
    • TheOneAndOnlyMarkus
      TheOneAndOnlyMarkus
      Bronze
      Dabei seit: 20.02.2006 Beiträge: 3.784
      "Offensichtlich" ist halt immer ne subjektive Sache des Betrachters :P . "Richtige" Beweise ohne Makroschritte gehen eh nur mit Computerunterstützung.