Mathe - Kann ich mit nem Durchschnittswert weiterrechnen?

    • sholvar
      sholvar
      Bronze
      Dabei seit: 18.01.2005 Beiträge: 4.826
      Ich hab 2 Versuche, wobei die Zahl (N) der zufälligen Ereignisse in Versuch 2 (V2) von den Ergebnissen der zufälligen Ereignisse in Versuch 1 (V1) abhängt.

      Wenn man es genau nimmt, erhalte ich für N das hier:



      f(E) = W

      E = Erfolge aus V1
      W = Wahrscheinlichkeit für die entsprechende Zahl an Erfolgen
      Nd = Durchschnittliche Zahl der Erfolge

      Der Verlauf der Funktion hängt natürlich vom V1 ab, aber soll ja nur ein Beispiel sein.
      Wenn ich jetzt die durchschnittlichen Erfolge für V2 errechnen möchte, reicht es dann, wenn ich mit Nd weiterrechne oder muss ich f(E) nehmen? (Bitte Antworten in einer Form wie "Nd, weil..." oder "f(E), weil...")

      thx.
  • 10 Antworten
    • MKR
      MKR
      Bronze
      Dabei seit: 24.04.2005 Beiträge: 492
      "Nd, weil..." oder "f(E), weil..."
    • sholvar
      sholvar
      Bronze
      Dabei seit: 18.01.2005 Beiträge: 4.826
      Original von MKR
      "Nd, weil..." oder "f(E), weil..."
      haha

      ich hab wirklich geschmunzelt...
    • Acryl
      Acryl
      Silber
      Dabei seit: 17.01.2005 Beiträge: 2.418
      lol
    • peppard
      peppard
      Bronze
      Dabei seit: 01.05.2005 Beiträge: 379
      Ich ändere kurz deinen Notation:
      V1 : Anzahl Erfolge aus Versuch 1
      V2 : Anzahl Erfolge aus Versuch 2

      Die durchschnittliche Anzahl der Erfolge ist der Erwartungswert von V2: E[V2]; deshalb die andere Bezeichnung.

      Nun gilt mit dem bedingten Erwartungswert E[V2] = E[ E[V2|V1]].
      Du kannst also in diesem Sinne "mit dem Durchschnitt weiter rechnen".

      Ich nehme mal als Beispiel an, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem (unabhängigem) Einzel-Experiment von V1 gleich p1 und in jedem Experiment von V2 gleich p2 ist.
      Dann sind V1 und V2 binomial verteilt:
      V1 ~ Binomial(N,p1)
      V2 ~ Binomial(V1,p2)

      Es gilt dann E[V1]=N*p1 und E[V2|V1]= V1*p2.

      Also:
      E[V2] = E[ E[V2|V1]] = E[ V1 * p2] = N * p1 * p2

      Dies sollte zumindest einen Spezialfall deiner Frage beantworten. Wenn die Verteilung von V2 aber über eine Funktion g(V1) von V1 abhängt, wird es eventuell komplizierter.
    • tmy
      tmy
      Black
      Dabei seit: 15.01.2005 Beiträge: 6.309
      lustig das wir genau die selbe idee hatten :)
    • sholvar
      sholvar
      Bronze
      Dabei seit: 18.01.2005 Beiträge: 4.826
      okay dritter Anlauf: Kann ich mit dem Durchschnitt weiterrechnen? Ja oder Nein. Ich will kein Jein hören. Weil, wenn es komplizierter wird und man nicht mit dem Durchschnittswert weiterrechnen kann, dann (überraschung!!!!!!!!) kann man nicht (ja, man mag es kaum glauben...) mit dem Durchschnitt weiter rechnen (Diese These wird als bewiesen angenommen).

      Die Antwort von peppard deute ich als nein.

      *edit*
      die rechnungen die ich machen will, sind sowieso schon Zeitaufwändig genug. Ich fange mit ihnen garnicht erst an, wenn es mir nichts nützt, wenn ich nach V1 8,34 Durchschnittserfolge raushabe und diese nicht bei "Gegeben" in die Rechnung für V2 einsetzen kann.
      Solang ich also nicht einfach 8,34 x Wahrscheinlichkeit_V2 = Erfolge_V2 rechnen kann, könnt ihr mit nein antworten.
    • win81549
      win81549
      Bronze
      Dabei seit: 31.07.2005 Beiträge: 370
      unkorellierte (z.B. unabhängige) ZV => Ja!
      sonst => Nein!
    • peppard
      peppard
      Bronze
      Dabei seit: 01.05.2005 Beiträge: 379
      Für eine definitive und genaue Antwort müsstest du schon genau sagen, was du berechnen willst und wie die Parameter genau zusammen hängen.

      Es kommt darauf an, wie E[V2|V1] aussieht. Bei einer einfachen Struktur, wie in meinem Beispiel und bei anderen unkorrelierten ZV geht es. Sonst "meistens" nicht.

      Die Antwort von win81549 führt nicht zu Fehlern und hilft dir wahrscheinlich am meisten.
    • sholvar
      sholvar
      Bronze
      Dabei seit: 18.01.2005 Beiträge: 4.826
      Was ist ZV?

      Die beiden Versuche sind in so fern abhängig voneinander, dass Versuch 2 nur soviele Ereignisse hat, wie nach dem ersten Versuch übrig bleiben. Ansonsten gibt es keine Verbindung zwischen beiden.

      Wenn nein. Kann man mit den Durchschnittswerten rechnend wenigstens einen Näherungswert bekommen, oder weicht das Ergebnis dann soweit ab, dass es in keinem Fall akzeptabel wäre (klar, in manchen Fällen wären abweichungen vom korrekten Wert die größer als 0,01% sind schon zu groß, aber für mich wäre so +/- 10-15% noch voll akzeptabel. In keinem Fall akzeptabel sind Abeichungen >50%. Was nützt einem ne Zahl, die man vielleicht noch mal oder durch 2 rechnen müsste, eh man auf den richtigen Wert kommt).
    • win81549
      win81549
      Bronze
      Dabei seit: 31.07.2005 Beiträge: 370
      ZV=Zufallsvariable. Zwei ZVen heißen unabhängig, wenn für alle Ereignisse A,B (Insider-Anmerkung: in der zugehörigen Sigma-Algebra): P(A geschnitten B)=P(A)*P(B). Das ist die mathematische Definition. Außerdem ist der Fall der Unkorrelliertheit interessant. Dann gilt: COV(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=0. Insbesondere ist jede unabhängige ZV unkorelliert.

      ßbrigens reicht bei allen ZVen mit Varianz die Unkorrelliertheit bereits aus, damit man das Gesetz der großen Zahlen anwenden kann.

      P.S.: Noch Fragen? :D