Gleichmäßige Stetigkeit und Konvergenz, Mathestudium 5$ auf ftp!?

    • Nettlei
      Nettlei
      Bronze
      Dabei seit: 10.12.2008 Beiträge: 55
      Hallo lieber User,
      ich hab meine Analysis 1 Klausur versaut und ich denke es lag an 2 Multiple Choice Aufgaben auf die es die meisten Punkte gab.

      Hier dazu die zwei Aufgaben (es waren jeweils 5 richtig und 5 nicht/ die richtigen waren zu unterstreichen, man wollte also keinen zur Lsg sehen o.ä.):

      glm. stetig: x€R

      sinx
      arctgx
      wurzel x

      log(1+x²)
      1/ 1+x²
      x/ 1+x²
      x²/ 1+x²
      x³/ 1+x²
      x^4/ 1+x²

      glm. Konvergenz:x€R (0,1)

      x^n
      (x²-x)^n
      n-te wurzel aus x
      x/n
      sin(x/n)
      e^(-x/n)
      tg(x/n)
      1/ 1+nx
      1/ x+n
      1/ nx

      ich weiss was Konvergenz ist und auch Stetigkeit im allgemeinen, jedoch wird mir aus den Definitionen leider der
      feine Unterschied zur gleichmäßigen Konvergenz und Stetigkeit nicht klar.
      Wie geh ich denn beim rausfinden von beiden am besten vor?
      ich hab kaum schimmer...
      ich hoffe jemand von euch hatn plan und kanns jeweils an 1 oder 2 mal das vorgehen zeigen :)
      shippe 5$ auf ftp
  • 3 Antworten
    • coolalzi
      coolalzi
      Bronze
      Dabei seit: 01.10.2006 Beiträge: 2.075
      gleichmäßig = ein (genügend großes) epsilon reicht für alle delta

      bei glm. stetig war es glaube ich so, dass es eine max. Steigung geben muss, da definiert man sich dann sein epsilon und das gilt dann für alle...
    • moxela
      moxela
      Black
      Dabei seit: 04.06.2006 Beiträge: 641
      schau, dass die funktion im gegebenen intervall nicht gegen unendlich abhaut, dann ist die funktion in der regel glm stetig.

      1/x ist im Intervall (0 , 1) nicht glm stetig aber im Intervall (0.5 , 1)

      ... hoffe das stimmt
    • Hanseman
      Hanseman
      Bronze
      Dabei seit: 03.11.2006 Beiträge: 3.892
      Man ist mir gerade langweilig hier bei der Arbeit ;)

      Also erstmal zur gleichmäßigen Stetigkeit. Die Def schaut erstmal sehr ähnlich aus und ist sie auch bis auf den Unterschied, das du die beiden Punkte, deren Abstand kleiner als delta sein soll beliebig aus dem Def bereich wählen darfst. Das macht dann zB x² nicht gleichmäßig stetig, da egal wie du ein epsilon wählst, du nie ein passendes delta findest: egal wie klein der Abstand der beiden punkte ist, du kannst immer weiter nach "rechts" auf der x-Achse gehen und so den Abstand der beiden Funktionswerte beliebig groß kriegen.

      Ganz grob gesprochen: Die Steigung der Funktion darf nicht beliebig groß werden bzw muss beschränkt sein.

      Auf kompakten Intervallen ist glm Stetig und stetig übrigens aquivalent.

      sin x ---> passt
      arct x ---> müsst auch passen imo (größte steigung in 0 und damit beschränkte steigung)
      wurzel x ---> Wie soll der def bereich aussehen ? Wenn es R+ ist dann auch glm stetig
      x² --> nicht glm stetig s.o.
      log (1+x²) --> auch keine beliebig große Steigung
      1/1+x² - x³/1+x² ---> sind imo auch glm stetig, da sie alle eine max steigung haben.
      x^4/1+x² ---> def nicht glm stetig, da es sich wie x² im unendlichen verhält

      Problem: ich hab jetzt alle glm stetig bis auf 2. Da kann was nicht stimmen, wobei ich mir recht sicher bin das das stimmt was ich gescgrieben hab. Ich übeseh wohl was.

      Auf glm konvergenz hab ich keine Lust mehr bzw auch nicht so den Peil wie man das jetzt angeht