Mathematics of Poker

    • Funkmaster
      Funkmaster
      Bronze
      Dabei seit: 30.04.2005 Beiträge: 4.073
      Auf S. 48 (4.1) in MOP geht es um folgende Situation: Spieler A ist oop hat in 20% die nuts und zu 80% Junk. Der Pot ist nach einer Bet von A 5BB groß.

      Nun soll ermittelt werden, wie oft A bluffen muss (wenn er Junk hat) um einen Call profitabel zu machen. Hierfür wird folgende Rechnung aufgeführt:

      E(Call)=p(A hat nuts)*(-1)+p(A hat Junk)*5
      E(Call)=0.2*(-1)+5x
      E(Call)=5x-0.2

      Daraus wird gefolgert, dass
      -der Erwartungswert für einen Call -0.2BB ist, falls A niemals blufft
      -der Erwartungswert für einen Call +3.8BB ist, falls A immer blufft
      -der Erwartungswert für einen Call 0BB ist, falls A in 4% der Fälle blufft
      -der Erwartungswert für einen Call 0.05BB ist, falls A in 5% der Fälle blufft.


      Wird hier nicht der Fehler gemacht, dass nicht berücksichtigt wird, dass in obiger Rechnung das Verhältnis 1-p(A hat nuts)=p(A hat Junk) (und umgekehrt) gilt und die 0.2 dementsprechend keine Konstante ist?

      Ich hätte folgende Rechnung aufgestellt:


      E(B Call|A bets)=p(A hat nuts)*(-1)+p(A hat Junk)*5
      E(B Call|A bets)=(1-x)*(-1)+5x
      E(B Call|A bets)=-1+x+5x
      E(B Call|A bets)=6x-1

      ==> 0=6x-1 <==> x=1/6

      Nach meiner Rechnung müsste A also in 1/6 der Fälle in denen er bettet bluffen, damit ein Call einen neutralen EV hat. Nun habe ich ausgerrechnet, wieviel % seiner gesamten Range er bluffen muss, damit seine Bettingrange zu 1/6 aus Bluffs besteht:

      (y=Anteil an seiner gesamten Handrange, zu dem Spieler A blufft; y+0.2=gesamte Bettingrange)

      y/y+0.2=x

      für x=1/6:
      y/y+0.2=1/6
      y=(1/6)(y+0.2)
      y=(1/6)y+1/30
      (5/6)y=1/30
      y=1/25=0.04=4%

      Dieser Wert stimmt zwar mit dem Wert aus MOP überein, das ist aber imo einfach Zufall.

      Gehen wir nun nämlich davon aus, dass A 0% seiner gesamten Handrange blufft, so ist logischerweiße auch der Anteil der Bluffs seiner Bettimgrange gleich 0 (x=0), da er nur die Nuts bettet:

      E(B Call|A bets)=6x-1

      für x=0:
      E(B Call|A bets)=-1BB

      Das ist logisch, denn wenn A nie blufft wenn er bettet und B um die Bet zu callen 1BB zahlen muss, ist der EV des Calls logischerweiße -1BB und nicht wie in der MOP Tabelle angegeben -0.2BB.

      Gehen wir davon aus, dass A 5% seiner Gesamtrange blufft, erhalten wir:

      y/y+0.2=x

      für y=0.05:
      0.05/0.05+0.2=x
      0.05/0.25=x
      x=0.2

      20% seiner Bettingrange sind also Bluffs. Daraus erhalten wir folgenden Erwartungswert für einen Call:

      E(B Call|A bets)=6*0.2-1=+0.2BB (und nicht wie in MOP angegeben +0.05BB)

      Der Erwartungswert für "A blufft immer" aus MOP ist nun wieder korrekt, da sich 0.8 und 0.2 zu 100% ergänzen.

      Sind meine Rechnungen korrekt und ist MOP hier fehlerhaft?

      Gruß
      Funkmaster
  • 15 Antworten
    • Ajezz
      Ajezz
      Black
      Dabei seit: 19.07.2005 Beiträge: 10.245
      Ich habs mal nachgelesen und du hast da einen Denkfehler drin.

      Du setzt für p(A hat nuts) den Wert (1-x) an. Laut Definition ist x aber die Anzahl der Hände, mit denen Villain blufft. Im Beispiel gilt etwa p(A hat nuts) = 0,2; p(A hat dead hand) = 0,8; x ist demnach irgendein Wert zwischen 0 und 0,8, weil A von 100% seiner Hände minimal 0% und maximal 80% bluffen kann.

      Du setzt aber (1-x) an, d.h. du implizierst, daß A immer dann die Nuts hält, wenn er nicht blufft, und das ist ja offensichtlich falsch. Er kann die Hand ja einfach aufgeben, ohne noch zu bluffen.

      P(A hat Nuts) ist halt deshalb mit 20% vorgegeben, weil du sonst zwei Variablen drinhättest und es den Autoren hier gar nicht darauf ankommt. Sie wollen anhand eines einfachen Beispiels (20% Nuts, 80% Schrotthand) zeigen, wie man eine "exploitive strategy" herleitet.
    • Funkmaster
      Funkmaster
      Bronze
      Dabei seit: 30.04.2005 Beiträge: 4.073
      Original von Ajezz
      Ich habs mal nachgelesen und du hast da einen Denkfehler drin.

      Du setzt für p(A hat nuts) den Wert (1-x) an. Laut Definition ist x aber die Anzahl der Hände, mit denen Villain blufft. Im Beispiel gilt etwa p(A hat nuts) = 0,2; p(A hat dead hand) = 0,8; x ist demnach irgendein Wert zwischen 0 und 0,8, weil A von 100% seiner Hände minimal 0% und maximal 80% bluffen kann.

      Du setzt aber (1-x) an, d.h. du implizierst, daß A immer dann die Nuts hält, wenn er nicht blufft, und das ist ja offensichtlich falsch. Er kann die Hand ja einfach aufgeben, ohne noch zu bluffen.
      Bei der Berechnung des Erwartungswertes für einen Call wird aber vorausgesetzt, dass A gebettet hat. In diesem Fall gibt es dann nur zwei Möglichkeiten:

      -A blufft (x)
      -A hat die Nuts (1-x)

      Wie ich von y (dem Anteil der Hände die A blufft [0 <= y <= 0.8]) auf x (Anteil der Bluffs an der Bettingrange) komme steht oben.

      Der Fehler in MOP liegt hier imo darin, dass sich die 20% (p(A hat Nuts)) in der Berechnung für E(B calls) auf die Gesamtrange von A bezieht, sich aber auf die Bettingrange beziehen müsste. Umso weniger A blufft umso größer wird der Anteil der Nuts an seiner Bettingrange. Bis hin zu 100% wenn A nie blufft.

      Wenn man einfach in die Formel B(Call)=5x-0.2 irgendeine Prozentzahl für x einsetzen würde, dann "fehlt" quasi der Rest zu 100%. Bsp.: x sei 0.05 --> B(Call)=5*0.05-0.2. Zu 5% blufft er, zu 20% hat er die Nuts und die anderen 75%? Es ist klar, dass man um den Erwartungswert für einen Call auszurechnen, davon ausgehen muss, dass A gebettet hat. Die Rechnung kann so also nicht korrekt sein.

      Außerdem sollte auch intuitiv zu erkennen sein, dass der Erwartungswert eines Calls einer 1BB Bet, wenn A nie blufft, -1BB sein muss.
    • Ajezz
      Ajezz
      Black
      Dabei seit: 19.07.2005 Beiträge: 10.245
      Ich probier mal eine Bayes-Berechnung.
      N sei Nuts, B sei Bet, _N und _B seien Nicht-Nuts bzw. Nicht-Bet.

      geg.:
      P (N) = 0,2, also P (_N) = 0,8
      P (B|N) = 1, also P(_B|N) = 0

      Ich definiere x wie im Buch (Vorsicht, du hattest x und y andersrum definiert):
      x: Anteil der Bluffhände an Gesamtrange, mit x € [0;0,8].
      Dann sei y = P(B|_N) die Wahrscheinlichkeit, daß er blufft, wenn er nichts hat. Ich normiere auf 100%, dann ist y = x/0,8. Beispiel: Er blufft mit einem Fünftel (20%) seiner Gesamtrange, dann ist y = 0,25 und x = 0,2. Damit ist deine Forderung abgebildet, es "verschwinden" keine Prozente mehr.

      Gesucht ist nun P(N|B), also die Nutwahrscheinlichkeit, gegeben daß er bettet.

      P(N|B) = P(B|N)*P(N) / [P(B|N)*(P(N) + P(B|_N)*(P(_N)]
      = 1 * 0,2 / [ 1 * 0,2 + y * 0,8 ] = 0,2 / [0,2 + x]

      Analog P (_N|B) = x / [0,2 + x] die Wahrscheinlichkeit, daß er einen Bluff hat, wenn er bettet.

      Eingesetzt in die EV-Gleichung:
      <B, call> = 0,2 / [0,2 + x] * (-1) + x / [0,2 + x] * 5
      <B, call> = [5x - 0,2] / [0,2+x]

      Das ist das gleiche Ergebnis wie im Buch, geteilt durch die Bettingrange. Das Optimum ist mit 0,04 gleich. Es kommt auch wie gewünscht heraus, daß EV = -1, wenn er nie blufft.
      Der Unterschied ist halt, daß die Gerade steiler verläuft, weil man mit [0,2 + x] < 1 multipliziert.
      Ich denke, daß die Autoren das gemeint haben, wenn sie schreiben, "the probability values ... are conditional on A betting." Aber der Spielwert muß wohl nicht notwendigerweise auf BB normiert sein, obwohl das evtl. didaktisch besser wäre.

      Disclaimer:
      Keine Ahnung, ob das obige richtig oder Schwachsinn ist. Ist schon ziemlich lange her, daß ich was mit Mathe zu tun hatte. :f_eek:
    • Funkmaster
      Funkmaster
      Bronze
      Dabei seit: 30.04.2005 Beiträge: 4.073
      Dein Rechnung ist imo korrekt, nur kommt am Ende keine Gerade mehr heraus sondern eine Kurve! Eben weil "beide Seiten" der EV-Gleichung von x abhängen.

      Ich hab das ganze mal in Excel modelliert: http://rapidshare.com/files/233768065/Blufffrequency_MOP_S.48_.xls.html

    • Ajezz
      Ajezz
      Black
      Dabei seit: 19.07.2005 Beiträge: 10.245
      Ankenman hat einen 2+2-Account und ist dort relativ aktiv: http://forumserver.twoplustwo.com/members/10211/
      Schreib ihm eine PM. Normalerweise freuen sich die Autoren, daß sich jemand mit ihrem Buch beschäftigt und antworten auch. =)
    • Funkmaster
      Funkmaster
      Bronze
      Dabei seit: 30.04.2005 Beiträge: 4.073
      Original von Funkmaster
      Dein Rechnung ist imo korrekt, nur kommt am Ende keine Gerade mehr heraus sondern eine Kurve! Eben weil "beide Seiten" der EV-Gleichung von x abhängen.

      Ich hab das ganze mal in Excel modelliert: http://rapidshare.com/files/233768065/Blufffrequency_MOP_S.48_.xls.html

      Bzw. hier noch einmal "unsere" Kurve und die Gerade aus MOP zum Vergleich:



      Original von Ajezz
      Ankenman hat einen 2+2-Account und ist dort relativ aktiv: http://forumserver.twoplustwo.com/members/10211/
      Schreib ihm eine PM. Normalerweise freuen sich die Autoren, daß sich jemand mit ihrem Buch beschäftigt und antworten auch. =)
      Ja, auf die Idee bin ich auch schon gekommen und werde ich die Tage wohl auch mal machen. Hoffe ich bekomm das auf Englisch hin, finde das auf Deutsch ja schon etwas kompliziert :D
    • NoSekiller
      NoSekiller
      Bronze
      Dabei seit: 29.08.2006 Beiträge: 7.727
      ich vermute einfach sie ham sich ungünstig ausgedrückt...oder euer Englisch ist schlecht :D

      gemeint ist logischerweise das Verhältnis...man könnte auch sagen: A hat 100 mögliche Combos in dem Spot, wovon 20 die Nuts und 80 Müll sind. Wieviele Combos muss er betten, damit '...'.

      Was ich sagen will: Ich glaube eigentl. nich, dass die Autoren so nen Denkfehler drin hatten, sondern sich halt einfach unklar ausgedrückt haben.
    • Funkmaster
      Funkmaster
      Bronze
      Dabei seit: 30.04.2005 Beiträge: 4.073
      Original von NoSekiller
      ich vermute einfach sie ham sich ungünstig ausgedrückt...oder euer Englisch ist schlecht :D

      gemeint ist logischerweise das Verhältnis...man könnte auch sagen: A hat 100 mögliche Combos in dem Spot, wovon 20 die Nuts und 80 Müll sind. Wieviele Combos muss er betten, damit '...'.

      Was ich sagen will: Ich glaube eigentl. nich, dass die Autoren so nen Denkfehler drin hatten, sondern sich halt einfach unklar ausgedrückt haben.
      Soso, durch ungünstige Ausdrucksweise wird also eine nichtlineare Funktion linear :rolleyes: :P

      Zeig mir mal bitte, wovon Spieler A, wie in der Tabelle angegeben, 5% betten soll, damit der Erwartungswert = 0.05BB ist!

      Die Nachricht and Jerrod Ankenman und Bill Chen über 2p2 habe ich gerade abgeschickt, ich hoffe mal, dass mein Englisch nicht all zu unverständlich war und ich vielleicht sogar eine Antwort bekomme.
    • NoSekiller
      NoSekiller
      Bronze
      Dabei seit: 29.08.2006 Beiträge: 7.727
      Original von Funkmaster
      Original von NoSekiller
      ich vermute einfach sie ham sich ungünstig ausgedrückt...oder euer Englisch ist schlecht :D

      gemeint ist logischerweise das Verhältnis...man könnte auch sagen: A hat 100 mögliche Combos in dem Spot, wovon 20 die Nuts und 80 Müll sind. Wieviele Combos muss er betten, damit '...'.

      Was ich sagen will: Ich glaube eigentl. nich, dass die Autoren so nen Denkfehler drin hatten, sondern sich halt einfach unklar ausgedrückt haben.
      Soso, durch ungünstige Ausdrucksweise wird also eine nichtlineare Funktion linear :rolleyes: :P

      Zeig mir mal bitte, wovon Spieler A, wie in der Tabelle angegeben, 5% betten soll, damit der Erwartungswert = 0.05BB ist!

      Die Nachricht and Jerrod Ankenman und Bill Chen über 2p2 habe ich gerade abgeschickt, ich hoffe mal, dass mein Englisch nicht all zu unverständlich war und ich vielleicht sogar eine Antwort bekomme.
      wenn Villain 5% seiner gesamten Range blufft und 20% seiner gesamten Range die Nuts sind, die er noch zusätzlich bettet (sprich er bettet 25% seiner Range), dann ergibt sich unter der vorraussetzung, dass Villain gebettet hat für den Call ein EV von 0.05 BB:
      EV(call) = 0.05 * 5 - 0.2 * 1 = 0.05
    • Funkmaster
      Funkmaster
      Bronze
      Dabei seit: 30.04.2005 Beiträge: 4.073
      Original von NoSekiller
      Original von Funkmaster
      Original von NoSekiller
      ich vermute einfach sie ham sich ungünstig ausgedrückt...oder euer Englisch ist schlecht :D

      gemeint ist logischerweise das Verhältnis...man könnte auch sagen: A hat 100 mögliche Combos in dem Spot, wovon 20 die Nuts und 80 Müll sind. Wieviele Combos muss er betten, damit '...'.

      Was ich sagen will: Ich glaube eigentl. nich, dass die Autoren so nen Denkfehler drin hatten, sondern sich halt einfach unklar ausgedrückt haben.
      Soso, durch ungünstige Ausdrucksweise wird also eine nichtlineare Funktion linear :rolleyes: :P

      Zeig mir mal bitte, wovon Spieler A, wie in der Tabelle angegeben, 5% betten soll, damit der Erwartungswert = 0.05BB ist!

      Die Nachricht and Jerrod Ankenman und Bill Chen über 2p2 habe ich gerade abgeschickt, ich hoffe mal, dass mein Englisch nicht all zu unverständlich war und ich vielleicht sogar eine Antwort bekomme.
      wenn Villain 5% seiner gesamten Range blufft und 20% seiner gesamten Range die Nuts sind, die er noch zusätzlich bettet (sprich er bettet 25% seiner Range), dann ergibt sich unter der vorraussetzung, dass Villain gebettet hat für den Call ein EV von 0.05 BB:
      EV(call) = 0.05 * 5 - 0.2 * 1 = 0.05
      Nein. Wenn Villain 5% zusätzlich bettet, besteht seine Bettingrange zu 0.2 / (0.2 + 0.05) = 0.8 = 80% aus den Nuts und 0.05 / (0.2 + 0.05) = 0.2 = 20% aus Bluffs. Die Korrekte EV Berechnung lautet dann:

      EV(call) = 0.2 * 5 - 0.8 * 1 = 0.2

      Nach deiner Rechnung müsste der EV für den Call falls A niemals Blufft bei -0.2 liegen. Wenn A allerdings niemals Blufft und B für einen Call 1BB zahlen muss, ist der EV logischerweiße -1BB (da er in 100% der Fälle diese verliert.)

      Denk mal drüber nach! ;)
    • SwissDave
      SwissDave
      Bronze
      Dabei seit: 12.02.2007 Beiträge: 637
      Der Fehler den du imho machst ist, dass du nicht ganz verstanden oder übersehen hast, was mit den Trashhands passiert die nicht geblufft werden.
      Die werden nämlich dann check, check gespielt, bleiben für den EV aber in der Rechnung!

      Wobei ich dann auch nicht ganz einverstanden mit MOP bin, dass sie dann einfach als EV = 0 gewertet werden. Denn schliesslich gewinnt B in diesem Fall die Hand ja, sie sollten deshalb imho EV = 4 haben.

      Meiner Meinung nach wäre also das korrekt:
      <B, call> = 5x - 0.2 + (0.8 - x) * 4
      <B, fold> = (0.8 - x) * 4

      MOP hat also eigentlich den "zusätzlichen EV durch calls im Vergleich zu folds pro Hand" ausgerechnet, ohne das gut zu deklarieren. Und zwar eben im Durchschnitt auf alle Hände, und nicht nur auf die, wo gebettet wurde.

      Hoffe das war einigermassen verständlich ;)
    • Funkmaster
      Funkmaster
      Bronze
      Dabei seit: 30.04.2005 Beiträge: 4.073
      Original von SwissDave
      Der Fehler den du imho machst ist, dass du nicht ganz verstanden oder übersehen hast, was mit den Trashhands passiert die nicht geblufft werden.
      Die werden nämlich dann check, check gespielt, bleiben für den EV aber in der Rechnung!

      Wobei ich dann auch nicht ganz einverstanden mit MOP bin, dass sie dann einfach als EV = 0 gewertet werden. Denn schliesslich gewinnt B in diesem Fall die Hand ja, sie sollten deshalb imho EV = 4 haben.

      Meiner Meinung nach wäre also das korrekt:
      <B, call> = 5x - 0.2 + (0.8 - x) * 4
      <B, fold> = (0.8 - x) * 4

      MOP hat also eigentlich den "zusätzlichen EV durch calls im Vergleich zu folds pro Hand" ausgerechnet, ohne das gut zu deklarieren. Und zwar eben im Durchschnitt auf alle Hände, und nicht nur auf die, wo gebettet wurde.

      Hoffe das war einigermassen verständlich ;)
      Das was du schreibst ist in sich schlüssig. Es macht imo allerdings überhaupt keinen Sinn, den zusätzlichen Value eines Calls einer Bet im Durchschnitt auf alle Hände zu errechnen. Entweder A hat gebettet, dann ergibt sich der Erwartungswert für einen Call aus:

      Original von Ajezz
      <B, call> = 0,2 / [0,2 + x] * (-1) + x / [0,2 + x] * 5
      <B, call> = [5x - 0,2] / [0,2+x]
      oder er hat gecheckt, dann ist der Erwartungswert für B checkt behind = 4.

      Natürlich kann man es theoretisch auch wie von dir interpretiert auf "alle möglichen Situationen" beziehen. Deine zwei EV-Rechnungen sind aber unabhängig vom gewählten x immer positiv und haben schon deshalb keine Aussagekraft.

      Es macht doch im Kontext des Themas am meisten Sinn, einfach den Erwartungswert für B callt unter der Bedingung A hat gebettet auszurechnen. Darauf deutet ja auch "the probability values below are conditional on A betting" aus MOP hin.
    • NoSekiller
      NoSekiller
      Bronze
      Dabei seit: 29.08.2006 Beiträge: 7.727
      Original von Funkmaster
      Original von NoSekiller
      Original von Funkmaster
      Original von NoSekiller
      ich vermute einfach sie ham sich ungünstig ausgedrückt...oder euer Englisch ist schlecht :D

      gemeint ist logischerweise das Verhältnis...man könnte auch sagen: A hat 100 mögliche Combos in dem Spot, wovon 20 die Nuts und 80 Müll sind. Wieviele Combos muss er betten, damit '...'.

      Was ich sagen will: Ich glaube eigentl. nich, dass die Autoren so nen Denkfehler drin hatten, sondern sich halt einfach unklar ausgedrückt haben.
      Soso, durch ungünstige Ausdrucksweise wird also eine nichtlineare Funktion linear :rolleyes: :P

      Zeig mir mal bitte, wovon Spieler A, wie in der Tabelle angegeben, 5% betten soll, damit der Erwartungswert = 0.05BB ist!

      Die Nachricht and Jerrod Ankenman und Bill Chen über 2p2 habe ich gerade abgeschickt, ich hoffe mal, dass mein Englisch nicht all zu unverständlich war und ich vielleicht sogar eine Antwort bekomme.
      wenn Villain 5% seiner gesamten Range blufft und 20% seiner gesamten Range die Nuts sind, die er noch zusätzlich bettet (sprich er bettet 25% seiner Range), dann ergibt sich unter der vorraussetzung, dass Villain gebettet hat für den Call ein EV von 0.05 BB:
      EV(call) = 0.05 * 5 - 0.2 * 1 = 0.05
      Nein. Wenn Villain 5% zusätzlich bettet, besteht seine Bettingrange zu 0.2 / (0.2 + 0.05) = 0.8 = 80% aus den Nuts und 0.05 / (0.2 + 0.05) = 0.2 = 20% aus Bluffs. Die Korrekte EV Berechnung lautet dann:

      EV(call) = 0.2 * 5 - 0.8 * 1 = 0.2

      Nach deiner Rechnung müsste der EV für den Call falls A niemals Blufft bei -0.2 liegen. Wenn A allerdings niemals Blufft und B für einen Call 1BB zahlen muss, ist der EV logischerweiße -1BB (da er in 100% der Fälle diese verliert.)

      Denk mal drüber nach! ;)

      ich sag ja es ist scheiße formuliert...ist aber auch egal...wir meinen quasi das selbe...
    • Ajezz
      Ajezz
      Black
      Dabei seit: 19.07.2005 Beiträge: 10.245
      Haben Sie nicht geantwortet?
    • Funkmaster
      Funkmaster
      Bronze
      Dabei seit: 30.04.2005 Beiträge: 4.073
      Original von Ajezz
      Haben Sie nicht geantwortet?
      nope leider nicht.

      ich bin zwar bill chen gestern im rio über den weg gelaufen, hatte aber nicht die eier ihn zu fragen was das soll. :(