Ab wann ist Winrate kein Ergebnis der Varianz?

    • korn85
      korn85
      Bronze
      Dabei seit: 23.11.2007 Beiträge: 35
      Hallo zusammen,

      ich bin heut mal einer Frage nachgegangen die mich schon seit längerem beschäftigt, und zwar ab welcher Winrate man mit einem hohen Signifikanzniveau davon ausgehen kann Winning- bzw. Loosingplayer zu sein, bzw. in welchem Bereich die Varianz der ausschlaggebende Faktor ist.
      Im Folgenden habe ich meine Berechnungen und Ergebnisse beschrieben und bitte euch, diese auf Denkfehler zu überprüfen und mir mitzuteilen ob es dazu irgendwo Literatur gibt.

      Als Wahrscheinlichkeitsmodell wird zunächst eine Binomialverteilung angenommen. Zur Berechnung des Erwartungswertes und der Varianz wird die Größe des durchschnittlichen Pots benötigt. Diese wird aus den empirischen Daten der eigenen Datenbank berechnet (Statistiken aus Elephant, Annahmen: Spiel short handed, 5 % Rake):

      Av-Pot = ((Summe Rake/ Rakesatz) / ((V$PIP + (Check BB/6)) * Anzahl Hände)) / Höhe des BB
      Av-Pot = ((1.339,56/0,05)/((0,195+0,16/6))*37.793))/0,5
      Av-Pot = 6,396 BB

      Wenn wir davon ausgehen postflop immer heads up zu sein und es nur die Möglichkeiten gibt zu gewinnen oder zu verlieren, jeweils mir einer Wahrscheinlichkeit von 50%, erwarten wir pro Hand folgenden Verlust:

      E = P(Gewinn) * Av-Pot * (1 – Rakesatz) – 0,5 * Av-Pot
      E = 0,5*6,396*0,95 -0,5*6,396
      E = - 0,1599 BB

      Die Varianz einer Binomialverteilung wird berechnet aus V = P(Gewinn) * (1 – P(Gewinn)). Da man pro Hand nicht nur 1 BB gewinnt/ nicht gewinnt, muss die Varianz angepasst werden:

      V = (Av-Pot)² * P(Gewinn) * (1 – P(Gewinn))
      V = 6,396²*0,5*0,5
      V = 10,2272 BB²

      Auf eine große Samplesize kann die Binomialverteilung mittels der Normalverteilung approximiert werden, so dass wir Konfidenzintervalle mittels der folgenden Formel bestimmen können:

      KI = [E – z(1-a/2) * (√(V / Anzahl Hände)) ; E + z(1-a/2) * (√(V / Anzahl Hände))]

      Hier bezeichnet z(1-a/2) das z-Quantil der Standardnormalverteilung zu einem Signifikanzniveau in Höhe von a (für a=0,1: 1,29; a=0,05: 1,65; a=0,01: 2,33). Die folgende Tabelle gibt die Konfidenzintervalle für verschiedene Samplesizes und Signifikanzniveaus wieder (bereits umgerechnet auf BB/100 Hände):

      a = 0,1 a = 0,05 a = 0,01
      n = 10.000 [-4,5 ; -2,6] [-4,7 ; -2,4] [-5,2 ; -1,9]
      n = 50.000 [-4,0 ; -3,1] [-4,1 ; -3,0] [-4,3 ; -2,8]
      n = 100.000 [-3,8 ; -3,3] [-3,9 ; -3,2] [-4,1 ; -3,0]

      Zur Interpretation: Die Modellannahmen unterstellen, dass wir keine bessere Preflop-Handselektion vornehmen als unsere Gegner, pro Hand um einen Durchschnittspot spielen und am River Karten vergleichen, somit in 50% der Fälle gewinnen, somit auf Dauer aufgrund des Rakes verlieren. Falls dies der Fall wäre, würde sich mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit (1-a) unsere Winrate im angegebenen Bereich befinden. Falls wir die Grenzen über- bzw. unterschreiten spielen wir signifikant besser bzw. schlechter als unsere Gegner.

      Für Feedback bin ich sehr dankbar.
  • 15 Antworten
    • OAndiAceO
      OAndiAceO
      Black
      Dabei seit: 30.07.2006 Beiträge: 3.279
      das kann man mMn rechnerisch einfach nicht richtig erfassen, da viel zu viele unterschiedliche Variablen von Bedeutung sind!
      Ich verlass mich da lieber auf Erfahrungswerte und denke ab einer Samplesize von ~60k Händen kann man mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit sagen ob man Winning- oder Loosingplayer ist.

      Die genaue Winrate kann man mMn gar nicht bestimmen, da man man eine zu große Samplesize benötigen würde und das Spiel sich innerhalb dieser Samplesize so stark verbessern/verschlechtern kann, dass man nicht sagen kann mit welcher Winrate man zur Zeit spielt. :f_eek:
    • KTU
      KTU
      HeadAdmin
      HeadAdmin
      Dabei seit: 24.01.2007 Beiträge: 6.231
      naja, BSS 6max hat ungefähr ne std. abweichung von 115bb, zumindest ist das bei mir und meinen Freunden so :)

      Sicher kann man damit alles exakt berechnen, aber bei den heutigen Computern kann man es dann auch einfach auf riesen sample simulieren, so dass die Ergebnisse bis auf die erste nachkommastelle exakt sind.

      wenn es irgendwen interessiert, kann ich es hier mal posten, hab den Sourcecode aber einfach nur so hingerotzt.

      Rauskam (zumindest woran ich mich erinnern kann), dass ein 3ptbb winner auf 45k hands in 3.6% der Fälle im Minus ist und dann im Schnitt 5.4 Stacks verliert.

      edit: habs gefunden:

      #include <iostream>
      #include <conio.h>
      #include <stdio.h>
      #include <stdlib.h>
      #include <time.h>
      using namespace std;

      int main(){
      int i,j,tmp;
      time_t t;
      time(&t);
      int x;
      int k=0;
      int geld =0;
      tmp =0;
      srand((unsigned int)t);
      for (j=1;j<5000;j++){
      geld =0;
      for (i=1;i<451;i++){
      x = rand();
      if (x % 2 == 1){
      geld = geld + 77;
      }
      else {

      geld = geld - 65;
      }
      }
      if (geld < 0){
      k = k+1;
      tmp = tmp + geld;
      cout <<tmp <<" " <<k<<"\n";
      }
      }

      getch();
      return 0;
      }

      as i said. hässlicher geht's nicht.
      Das Programm simuliert auf jeden Fall 5000 mal 45 000 Hände und zählt dann a) wieviele Male ist der Spieler nach 45000 Händen im Minus und b) Wieviel verliert er dann im Schnitt.
    • mcmighty
      mcmighty
      Bronze
      Dabei seit: 27.11.2007 Beiträge: 520
      immer wieder interessant ist auch folgende seite:
      http://fold4value.blogspot.com/2007/06/varianz.html
    • Sim87
      Sim87
      Black
      Dabei seit: 29.10.2006 Beiträge: 8.692
      dein winrate ist immer ergebnis der varianz, die abweichung wird nur kleiner
    • nleeson111
      nleeson111
      Bronze
      Dabei seit: 14.09.2007 Beiträge: 25.296
      Ich denke ab 200k nähert sich die Winrate der "richtigen Winrate" stark an. Ist aber sicherlich subjektiv.
    • OAndiAceO
      OAndiAceO
      Black
      Dabei seit: 30.07.2006 Beiträge: 3.279
      was verstehst du unter stark?
      ich denke dass bei 200k händen noch immer +-1,5ptBB schwankungen vorkommen können?
    • Sim87
      Sim87
      Black
      Dabei seit: 29.10.2006 Beiträge: 8.692
      ja:

    • coke178
      coke178
      Bronze
      Dabei seit: 18.08.2007 Beiträge: 3.100
      Original von nleeson111
      Ich denke ab 200k nähert sich die Winrate der "richtigen Winrate" stark an. Ist aber sicherlich subjektiv.
      halte ich auch für falsch
    • tomsnho
      tomsnho
      Bronze
      Dabei seit: 24.11.2006 Beiträge: 7.565
      Bei einer angenommen Std.-Abweichung von 50 ptBB / 100 H. (also 1 Stack/100 H.) ergibt sich:

      10k Hände - Std-Abweichung: 10 Stacks sprich 5 ptBB/100
      40k Hände - Std-Abweichung: 20 Stacks sprich 2,5 ptBB/100
      100k Hände - Std-Abweichung 31,6 Stacks sprich knapp 1,6 ptBB/100
      200k Hände - Std-Abweichung 44,7 Stacks sprich etwas über 1,1 ptBB/100

      wobei ich annehme dass sich das Ganze bei zunehmender Samplesize in etwa einer Normalverteilung annähert.

      Woraus folgt:

      Bei 10k Hands liegt ein Spieler mit angenommenen 3 ptBB/100 True Winrate zu ca. 16 % schlechter als - 2 ptBB/100, zu 68 % im Bereich zwischen -2 und +8 ptBB/100 und zu 16 % über 8 ptBB/100. Zu ca. 2,5 % ist er schlechter als -7 ptBB/10 zu 95 % liegt er im Intervall [-7, +13] und zu 2,5 % wiederum > 13 ptBB/100.

      Bei 100k Hands sind es immer noch weniger als 2 Std.Abweichungen (1,6 * 2 = 3,2 ptBB/100) die ihn vom BE spielen trennen. D.h. zu 2,5 % läuft er auf -0,2 ptBB/100 oder schlechter.


      Auch wenn es mathematisch nicht korrekt ist, denk ich mal dass man über große Samplesizes umgekehrt aus der tatsächlich erreichten Winrate dann die True Winrate auch auf diese Weise abschätzen kann.

      D.h. wer 3 ptBB/100 über 100k Hands hat ist (bei gegebener Std.-Abweichung) eben zu ca. 2,5 % schlechter als -0,2 ptBB/100, also zu 3 - 4 % (mag das jetzt nicht in den TAbellen nachschauen) < 0 ptBB/100 also Losing Player, zu 46 - 47 % 0 - 3 ptBB/100 Winning Player usw.

      Bei 200k Hands und 3 ptBB/100 kann man dann schon ziemlich sicher sein Winning Player zu sein (fast 3 Std.-Abweichungen über BE)

      Wie gesagt, mathematisch nicht korrekt aber sicher nicht weit von der Wahrheit entfernt.
    • Wody
      Wody
      Black
      Dabei seit: 23.01.2007 Beiträge: 3.737
      nice post @ tomsnho

      Sonst kann man auch anschauen wie sich die winrate nach 200k Händen verändert wenn man einen 30+ Stack downswing dranhängt.
    • Hanseman
      Hanseman
      Bronze
      Dabei seit: 03.11.2006 Beiträge: 3.892
      Habt ihr euch alle garnicht den Link von MCMighty angeguckt? Der ist hoch interresant und wenn man das gelesen hat, kann man nur noch Demütig sein und hoffen das Fortuna einen mag.

      Dann erübrigen sich auch einige Posts danach auch wenn sie gut sind ;)
    • LinusCaldwell
      LinusCaldwell
      Bronze
      Dabei seit: 26.09.2007 Beiträge: 1.095
      Original von Hanseman
      Habt ihr euch alle garnicht den Link von MCMighty angeguckt? Der ist hoch interresant und wenn man das gelesen hat, kann man nur noch Demütig sein und hoffen das Fortuna einen mag.
      oder schnell 10 Mio hände spielen ;)

      du darfst auch nicht vergessen, dass es noch sowas wie rakeback gibt
    • Hanseman
      Hanseman
      Bronze
      Dabei seit: 03.11.2006 Beiträge: 3.892
      Original von LinusCaldwell
      Original von Hanseman
      Habt ihr euch alle garnicht den Link von MCMighty angeguckt? Der ist hoch interresant und wenn man das gelesen hat, kann man nur noch Demütig sein und hoffen das Fortuna einen mag.
      oder schnell 10 Mio hände spielen ;)

      du darfst auch nicht vergessen, dass es noch sowas wie rakeback gibt
      Irre ich mich oder kann man den Rakeback nicht einfach auf die Winrate draufrechnen ? Also sagen wir ich bin halt 1PTBB Winner ohne Rakeback und dann halt mit Rakeback 2PTBB Winner im Schnitt. Der Rakeback schützt dich doch nicht vor Varianz sondern erhöht quasi nur deinen EV !?

      Korrigier mich wenn ich falsch liege.
    • xkinghighx
      xkinghighx
      Gold
      Dabei seit: 25.10.2007 Beiträge: 4.439
      es gibt kein grund den sticky aussem wahrscheinlichkeiten forum nochmal neu aufzudröseln.
      dort sind excel formeln etc alles griffbereit das sich das jeder ausrechnen kann.
    • monarco
      monarco
      Bronze
      Dabei seit: 16.09.2007 Beiträge: 2.148
      Original von mcmighty
      immer wieder interessant ist auch folgende seite:
      http://fold4value.blogspot.com/2007/06/varianz.html

      hier kann man diese graphen selbst erzeugen: http://forumserver.twoplustwo.com/54/poker-beats-brags-variance/variance-simulator-535212/