Frage an die Mathematiker

    • Feinmogli
      Feinmogli
      Bronze
      Dabei seit: 29.10.2006 Beiträge: 107
      Hab hier eine Mathefrage die ihr Mathecracks alle leicht beantworten könnt (nehm ich mal an) Eine Urne enthält 6 rote und 4 weiße Kugeln! Außerhalb der Urne stehen noch genügend viele rote und weiße Kugeln zur Verfügung. Das Zufallsexperiment besteht darin das ein Kugel gezogen wird und danach eine andersfarbige aus dem Kugelvorrat zurückgelegt wird! Wenn ich das jetzt 23021540175ß18523789904 mal mache, sind dann im Schnitt 5 rote 5 weiße drin gewesen oder 6 rote und 4 weiße? Wenn mir dann noch jemand den mathematischen Beweis dafür liefern könnte warum das so ist, wird sich mein Mathelehrer morgen schämen! MfG
  • 21 Antworten
    • FastFourier
      FastFourier
      Bronze
      Dabei seit: 04.11.2005 Beiträge: 804
      Ich meine der Erwartungswert müsste 5:5 sein bzw. die größte Wahrscheinlichkeit, dass es eben 5:5 sind. Beweisen kann ich es nicht, aber ich versuche es mal zu begründen: Ich denke die Initialisierung ist irrelevant wenn die Anzahl der Versuche groß genug ist. Irgendwann wird es einen Zustand geben in dem nur rote oder nur weiße Kugeln da sind. Von den Zuständen in denen eine Kugelsorte überwiegt gibt es aber immer mehr Möglichkeiten (also eine höhere W'keit) in Zustände mit einer ausgeglicheneren Zahl zu gehen. (Es ist sehr viel Wahrscheinlicher aus 9 Roten und einer Weißen eine Rote zu ziehen und danach 8:2 zu erhalten...) Das Experiment pendelt unabhängig davon welche Kugeln am Anfang drin sind um den Zustand 5:5 - weil der eben am wahrscheinlichsten ist.
    • Feinmogli
      Feinmogli
      Bronze
      Dabei seit: 29.10.2006 Beiträge: 107
      genauso sehe ich das auch mein Mathelehrer irgendwie nich! Der meint 6:4 kann ich mir auch nich vorstellen......jetzt sollte ich das nur noch beweisen können.....
    • hazz
      hazz
      Black
      Dabei seit: 13.02.2006 Beiträge: 4.771
      ich bin mir auch sehr sicher, dass es 5:5 sein muss. male euch mal eben ein bild zur veranschaulichung ;)
    • FastFourier
      FastFourier
      Bronze
      Dabei seit: 04.11.2005 Beiträge: 804
      code:
      n=10000;
      count=0;
      for k=1:n
          array=zeros(1,10);
          for i=1:1000
              j=randperm(10); %j(1) Zufallszahl zwischen 1 und 10
              if (array(j(1)) == 0)
                  array(j(1)) = 1;
              else
                  array(j(1)) = 0;
              end
          end
          count=count+sum(array);
      end
      count/n
      
      Ergebnis: 5.0014 q.e.d. (Ich fange mit 10 Kugeln der Sorte "0" an. 1000 mal tausche ich eine beliebige aus. Das ganze lasse ich 10.000 mal laufen... der Durchschnittswert an 1-Kugeln ist 5.) PS: Es reichen sogar schon 30 Vertauschungen dass der wert fast bei 5 liegt. Wenn die Initialisierung 6:4 ist brauche ich vermutlich nur ein paar Schritte....
    • hazz
      hazz
      Black
      Dabei seit: 13.02.2006 Beiträge: 4.771
      bild ich hab das problem (links) zur veranschaulichung mal auf 2 kugeln reduziert (rechts). wenn ich jetzt den prozess im kasten starten lasse, egal wo, dann landet er doch eh in endlicher zeit bei [1-1]. wenn ich nun unendlich weiterlaufen lasse, dann ist dieser endliche zeitraum unerheblich und wir erhalten im schnitt eine 1:1 verteilung von rot und weiss.
    • Krach-Bumm-Ente
      Krach-Bumm-Ente
      Black
      Dabei seit: 01.05.2006 Beiträge: 10.467
      Es dauert eben so lange bis einmal 5:5 drin ist und dann wirds longterm auf 5.0000000000000000000000001:4.9999999999999999999999999 rauslaufen, wenn beim ersten mal ziehen eine der 4 gezogen wird.
    • Madzger
      Madzger
      Bronze
      Dabei seit: 16.09.2005 Beiträge: 915
      http://de.wikipedia.org/wiki/Markoff-Kette
    • Feinmogli
      Feinmogli
      Bronze
      Dabei seit: 29.10.2006 Beiträge: 107
      Thank you very much! Ich hab ihn also besiegt........yeah!
    • cjheigl
      cjheigl
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 09.04.2006 Beiträge: 24.651
      Hängt das nicht davon ab, welches Farbverhältnis die Kugeln in der Reserve haben? Das wurde nicht angegeben.
    • bobbel
      bobbel
      Bronze
      Dabei seit: 06.07.2006 Beiträge: 2.472
      Original von cjheigl Hängt das nicht davon ab, welches Farbverhältnis die Kugeln in der Reserve haben? Das wurde nicht angegeben.
      Die Reserve der Kugeln ist unendlich.
    • Kugelfang
      Kugelfang
      Bronze
      Dabei seit: 24.05.2005 Beiträge: 5.942
      Original von cjheigl Hängt das nicht davon ab, welches Farbverhältnis die Kugeln in der Reserve haben? Das wurde nicht angegeben.
      er hat doch gesagt wir haben unendliche viele und tun immer die jeweils anders farbige wieder rein
    • FastFourier
      FastFourier
      Bronze
      Dabei seit: 04.11.2005 Beiträge: 804
      Original von Kugelfang
      Original von cjheigl Hängt das nicht davon ab, welches Farbverhältnis die Kugeln in der Reserve haben? Das wurde nicht angegeben.
      er hat doch gesagt wir haben unendliche viele und tun immer die jeweils anders farbige wieder rein
      Jo... der Punkt ist, dass umgetauscht wird und nicht eine zufällige Kugel wieder reinkommt. Allerdings würde es auch nichts ändern, wenn man eien zufällige Kugel wieder reinpackt.
    • bobbel
      bobbel
      Bronze
      Dabei seit: 06.07.2006 Beiträge: 2.472
      Kann hier jemand mathematisch begründen, warum das Verhältnis 5 : 5 ist? (Nen Proggy kann ich mir auch schreiben, aber in ner Abschlussklausur kommt das beim Prof nicht so gut an :) ).
    • hazz
      hazz
      Black
      Dabei seit: 13.02.2006 Beiträge: 4.771
      http://gd.tuwien.ac.at/uni/skripten/collection-rbenedik/Wahrscheinlichkeitstheorie/Stochastik/Stochastische_Prozesse_I_001_g_68p.pdf dadrin solltest du alles finden: unser problem entspricht imo dem ehrenfestschen urnenmodell, für das eine gleichgewichtsverteilung existiert. ich bezweifel aber, dass der prof davon was verlangt, wenn stochastische prozesse etc nicht thema waren - und falls doch solltest du es doch wissen? :D
    • jfuechsl
      jfuechsl
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2006 Beiträge: 791
      @hazz: studierst du an der TU Wien ?
    • bobbel
      bobbel
      Bronze
      Dabei seit: 06.07.2006 Beiträge: 2.472
      Original von hazz ich bezweifel aber, dass der prof davon was verlangt, wenn stochastische prozesse etc nicht thema waren - und falls doch solltest du es doch wissen? :D
      Danke für den Link. Naja, ich sollte es wissen ;) , höhere Mathematik - Schwerpunkt Stochastik. Mein Prof findet auch ziemlich viel ziemlich trivial. Bin grad dabei, mich reinzuarbeiten für die Klausur. :)
    • hazz
      hazz
      Black
      Dabei seit: 13.02.2006 Beiträge: 4.771
      Original von jfuechsl @hazz: studierst du an der TU Wien ?
      nein :)
    • cjheigl
      cjheigl
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 09.04.2006 Beiträge: 24.651
      Sorry, hab das Experiment falsch verstanden. Es spielt tatsächlich keine Rolle, welche Farben bei der Kugelreserve wie oft vertreten sind, solange eine andersfarbige vorhanden ist. Mit Zurücklegen in die Kugelreserve reichen anfangs 4 rote und 6 weisse Kugeln in der Reserve völlig aus. Es ist aber völlig klar, dass nach der von dir angegebenen Zahl von Ziehungen niemals 5:5 Kugeln in der Urne liegen können. Das Farbverhältniss rot zu weiss am Ende der Ziehungen beträgt entweder 10:0, 8:2, 6:4, 4:6, 2:8 oder 0:10 Kugeln. Am wahrscheinlichsten sind Verhältnisse von 6:4 und 4:6. Beide sind gleich wahrscheinlich. Begründung: Es ist eine gerade Anzahl von Ziehungen. Nach einer geraden Anzahl von Ziehungen aus dieser Ausgangssituation müssen die Zahlen der Verhältnisse auch gerade sein. 5:5 kann nur bei einer ungeraden Zahl von Ziehungen vorkommen. Beweis: Übung. Tip: vollständige Induktion. Es ist auch klar, dass 6:4 und 4:6 die wahrscheinlichsten Verhältnisse sind. Bei jeder einzelnen Ziehung ist die Wahrscheinlichkeit für die Angleichung der Kugelverhältnisse proportional zur Anzahl der häufigeren Kugel im Verhältnis zur Gesamtzahl der Kugeln in der Urne. Beispiel: 7:3 Kugeln sind in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit für 6:4 nach der nächsten Ziehung beträgt 70%, die für 8:2 30%. Für die vorletzte Ziehung ist 5:5 am wahrscheinlichsten, gefolgt von 7:3 und 3:7. Nach 5:5 kommt auf jeden Fall 6:4 oder 4:6, nach 7:3 oder 3:7 immerhin zu 70% 6:4 bzw. 4:6. Da man davon ausgehen kann, dass bei dieser Menge an Ziehungen die Verteilung 5:5 irgendwann einmal vorkommt muss aus Symmetriegründen 6:4 und 4:6 gleich wahrscheinlich sein. (Was vor 5:5 passiert ist, ist irrelevant; aka der Pot hat kein Gedächtnis.)
    • hazz
      hazz
      Black
      Dabei seit: 13.02.2006 Beiträge: 4.771
      die spitze mit den geraden ziehungen wollte ich auch bringen, da er aber "im schnitt" schrieb ist das irrelevant :)
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