Bock auf n Spielchen? St.Petersburger Paradoxon

    • fishbone00
      fishbone00
      Bronze
      Dabei seit: 19.09.2008 Beiträge: 403
      Einsatz: 1 Spiel kostet 10€.

      Spielregeln:
      Es wird eine faire Münze so oft geworfen, bis zum ersten Mal Zahl erscheint. Pro geworfenem Kopf erhälst du:
      (0) 0 mal Kopf -> 0€
      (1) 1 mal Kopf -> 1€
      (2) 2 mal Kopf -> 2€
      (3) 3 mal Kopf -> 4€
      (4) 4 mal Kopf -> 8€
      (5) 5 mal Kopf -> 16€
      (6) 6 mal Kopf -> 32€
      usw.
      (n) n mal Kopf -> 2^(n-1) €.

      Jemand "virtuell" Bock?

      Hier kann mans übrigens auch spielen:
      http://www.mathematik.com/Petersburg/Petersburg.html

      P.S. Der Erwartungswert dieses Spiels ist +unendlich, bzw. existiert nicht!
  • 23 Antworten
    • JayBeeee
      JayBeeee
      Bronze
      Dabei seit: 16.03.2009 Beiträge: 2.418
      ist ja fast wie die verdopplungsstrategie bei roulette :P


      war sehr schnell bei -500 o0
    • partylion
      partylion
      Bronze
      Dabei seit: 21.10.2008 Beiträge: 2.906
      wann verliert man?

      €: ah jetzt hab ichs verstanden
    • JayBeeee
      JayBeeee
      Bronze
      Dabei seit: 16.03.2009 Beiträge: 2.418
      kann man da die einsätze irgendwie einstellen?

      so hat man doch keine chance zu gewinnen o0
      oder mach ich was falsch?

      man braucht ja erstmal 6x kopf um bei einem spiel ins + zu kommen...

      vllt hätte ich mir das drunter einfach mal durchlesen sollen :P
    • Grinsefisch
      Grinsefisch
      Bronze
      Dabei seit: 17.12.2008 Beiträge: 1.036
      1000 Buyins im Minus... kein Bock mehr.
    • josch2001
      josch2001
      Black
      Dabei seit: 25.03.2006 Beiträge: 17.279
      Hab ich da ne positive Gewinnerwartung, oder wo ist da das Paradoxon?
    • holgero
      holgero
      Bronze
      Dabei seit: 19.08.2007 Beiträge: 301
      Das Problem liegt im echten Leben darin, dass die Bank Dir Deinen Gewinn nicht auszahlen kann für die Fälle, in denen Dein Gewinn so langsam in die Größenordnung von Staatshaushalten gerät.

      Sprich, so ab ca. n >= 30 (entspricht ca. 10^9 €) stimmt die Formel für Deinen Gewinn nicht mehr und der theoretische EV von +unendlich wird dann doch wieder negativ.

      (Oder, falls die Bank tatsächlich unendlich liquide sein sollte, ist der Nutzen von Gewinnen größer als alle Staatshaushalte auf der Erde zusammen für Dich auch nicht mehr steigerbar, was dann auf denselben Effekt hinausläuft: Nur in der Theorie ist das Spiel +EV, in der Praxis verlierst Du doch dabei.)
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.512
      Das ist allerdings eben kein Paradoxon, sondern hängt einfach mit der Definition von EV zusammen.

      P(wir sind im minus) tendiert gegen 1 (erreicht 1 aber nie)
      EV tendiert gegen + unendlich

      Sehe das Problem hier nicht :)

      Psychologisch spielt hier der sog. logarithmische Wert des Geldes eine Rolle. 1 mio zu haben ist für einen Menschen eben nicht 10 mal besser als 100k.

      Nimmt du den log vom EV des Spiels, siehst du auch, dass es negativ ist.

      Damit man ein Spiel wirklich "for serious money" spielen sollte, sollte daher der EV des Spiels und der log dieses EV positiv sein.
    • Moo2000
      Moo2000
      Bronze
      Dabei seit: 31.03.2009 Beiträge: 1.750
      Außerdem ist es unmöglich, ein vernünftiges Bankrollmanagement bei dem Spiel einzuhalten, da die Varianz vermutlich ebenfalls gegen unendlich geht. Und dass man ohne vernünftiges BRM höchstwahrscheinlich pleite geht, wissen wir ja ;) .
    • Cyclonus
      Cyclonus
      Bronze
      Dabei seit: 17.01.2005 Beiträge: 1.414
      Original von Korn
      Das ist allerdings eben kein Paradoxon, sondern hängt einfach mit der Definition von EV zusammen.

      P(wir sind im minus) tendiert gegen 1 (erreicht 1 aber nie)
      EV tendiert gegen + unendlich

      Sehe das Problem hier nicht :)

      Psychologisch spielt hier der sog. logarithmische Wert des Geldes eine Rolle. 1 mio zu haben ist für einen Menschen eben nicht 10 mal besser als 100k.

      Nimmt du den log vom EV des Spiels, siehst du auch, dass es negativ ist.

      Damit man ein Spiel wirklich "for serious money" spielen sollte, sollte daher der EV des Spiels und der log dieses EV positiv sein.
      Diesen Ausweg kann man aber umgehen, indem man "Super-Sankt-Petersburg-Lotterien" konstruiert, die in der Art E^(2^k) auszahlen, hier zieht das Argument mit dem Log nicht. Das Paradoxon ist doch gerade, dass der EV eben gegen + unendlich geht, man aber obv. nicht unendlich viel für ein "Los" bezahlen würde, obwohl man im Mittel eben unendlich viel gewinnen sollte.
      Letztlich ist hier nur die Varianz der Tod des Spielers.
    • fishbone00
      fishbone00
      Bronze
      Dabei seit: 19.09.2008 Beiträge: 403
      Original von Cyclonus
      Original von Korn
      Das ist allerdings eben kein Paradoxon, sondern hängt einfach mit der Definition von EV zusammen.

      P(wir sind im minus) tendiert gegen 1 (erreicht 1 aber nie)
      EV tendiert gegen + unendlich

      Sehe das Problem hier nicht :)

      Psychologisch spielt hier der sog. logarithmische Wert des Geldes eine Rolle. 1 mio zu haben ist für einen Menschen eben nicht 10 mal besser als 100k.

      Nimmt du den log vom EV des Spiels, siehst du auch, dass es negativ ist.

      Damit man ein Spiel wirklich "for serious money" spielen sollte, sollte daher der EV des Spiels und der log dieses EV positiv sein.
      Diesen Ausweg kann man aber umgehen, indem man "Super-Sankt-Petersburg-Lotterien" konstruiert, die in der Art E^(2^k) auszahlen, hier zieht das Argument mit dem Log nicht. Das Paradoxon ist doch gerade, dass der EV eben gegen + unendlich geht, man aber obv. nicht unendlich viel für ein "Los" bezahlen würde, obwohl man im Mittel eben unendlich viel gewinnen sollte.
      Letztlich ist hier nur die Varianz der Tod des Spielers.
      Wunderbar! Korrekt!

      Egal, wie hoch der Einsatz für das Spiel ist, der wahrscheinlichkeitstheoretische Erwartungswert ist +unendlich, sprich er existiert nicht! Die Varianz existiert bei diesem Spiel auch nicht!

      Statistisch gesehen macht es aber dennoch einen großen Unterschied, wie hoch der Einsatz ist! Man kann praktisch für eine bereits vorher festgelegte Anzahl an Durchläufen (sagen wir n = 1000) einen Einsatz so berechnen, dass das Spiel fair wird. Und unendlich oft würde eh niemand spielen wollen, oder? :) (Damit sind die Grinder unter euch gemeint).
    • BayesLaw
      BayesLaw
      Global
      Dabei seit: 09.07.2007 Beiträge: 2.626
      Original von Cyclonus
      Das Paradoxon ist doch gerade, dass der EV eben gegen + unendlich geht, man aber obv. nicht unendlich viel für ein "Los" bezahlen würde, obwohl man im Mittel eben unendlich viel gewinnen sollte.
      Imo auch die einzige interessante Frage an dem Spiel. Wieviel ist man bereit zu setzen um teilzunehmen. Bzw. welchen Einsatz will man selber sehen, so dass man bereit ist es anzubieten.
    • Ignite
      Ignite
      Bronze
      Dabei seit: 15.02.2006 Beiträge: 5.649
      Original von JayBeeee
      ist ja fast wie die verdopplungsstrategie bei roulette :P


      war sehr schnell bei -500 o0

      und ich war sehr schnell bei -50.000
    • Midas
      Midas
      Bronze
      Dabei seit: 05.06.2005 Beiträge: 934
      Original von Ignite
      Original von JayBeeee
      ist ja fast wie die verdopplungsstrategie bei roulette :P


      war sehr schnell bei -500 o0

      und ich war sehr schnell bei -50.000
      Vielleicht ist die Seite rigged?
    • holgero
      holgero
      Bronze
      Dabei seit: 19.08.2007 Beiträge: 301
      Ich hab mal versucht das Problem durchzurechnen:
      Annahme: Die Münze funktioniert so, dass bei N durchgeführten Spielen alle Ergebnisse in einer Häufigkeit auftreten, die ihrer Wahrscheinlichkeit möglichst genau entspricht.

      Zur Illustration hier ein Beispiel mit 1024 Spielen:
      512 * 0 mal Kopf: - 10 €
      256 * 1 mal Kopf: - 09 €
      128 * 2 mal Kopf: - 08 €
      64 * 3 mal Kopf: - 06 €
      32 * 4 mal Kopf: - 02 €
      16 * 5 mal Kopf: + 06 €
      8 * 6 mal Kopf: + 22 €
      4 * 7 mal Kopf: + 54 €
      2 * 8 mal Kopf: + 118 €
      1 * 9 mal Kopf: + 246 €
      1 * 10 mal Kopf: + 502 €

      Bei diesem Ausgang der 1024 Spiele würde man 7424 € verlieren. Die Frage ist jetzt: Wie oft müsste man Spielen, dass bei einer solchen "fairen" Münze die N Spiele mit Gewinn beendet?

      Mit dem Ansatz (sorry, mir fehlen hier die mathematischen Symbole):
      Gewinn = -10N/2 + Summe(von n=2 bis k über N/2^n( 2^(n-2) -10)
      wobei N die Anzahl der Spiele ist und k die Lösung der Gleichung (2^k = N).
      Ich komme mit ein bisschen Rechnen darauf, dass k >= 40 sein muss, damit der Gewinn positiv wird.

      Das entspricht einem N von 2^40 oder ca. 1 000 000 000 000.

      Man muss also nur oft genug spielen, dann kommt man (wenn man eine solche "faire" Münze hat) auch mit Gewinn raus. Aber der Stundenlohn ist bescheiden. (Dann lieber weiter beim Pokern verlieren, als von diesem Spiel leben müssen :) ).
    • Chef0815
      Chef0815
      Bronze
      Dabei seit: 18.03.2007 Beiträge: 1.916
      hatte grade 10mal Kopf.. ;) Funktioniert also echt.. ;)
      Nur noch -265$$..
    • nagafen
      nagafen
      Bronze
      Dabei seit: 05.08.2009 Beiträge: 1.761
      5 Minuten meine Maus gequält:


      -20295$

      also ich weiß ja nicht,...
    • sarc
      sarc
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 06.06.2008 Beiträge: 12.521
      Gefällt mir! :) Hab auch erst mal den EV ausgerechnet, den Kopf über das lächerliche Problem geschüttelt und dann gestaunt...

      Es ist in der Tat die Varianz, die einen hier umhaut. Wenn man einmal so was wie 20x Kopf hinkriegt, hat man ausgesorgt. Und zwar in der Form, dass man sehr viele verlorene Spiele davor wieder reinholen kann. Allerdings ist das natürlich auch entsprechend unwahrscheinlich, so dass man tatsächlich auch sehr viele Spiele braucht. Keiner wird Lust haben, so oft zu klicken... ;)

      Sehr viele heißt dabei auch wirklich sehr viele. Hab mir mal den Spaß gemacht und das programmiert. Die angesprochene Grenze von 1 000 000 000 Spiele sorgt nur für saftige Verluste, langt aber gefühlt noch lange nicht. Noch größere Zahlen zu probieren hab ich dann doch keine Lust, dafür rechnet mir das zu lange... ;)
    • jonny2times
      jonny2times
      Bronze
      Dabei seit: 26.07.2008 Beiträge: 495
      Original von Korn
      Psychologisch spielt hier der sog. logarithmische Wert des Geldes eine Rolle. 1 mio zu haben ist für einen Menschen eben nicht 10 mal besser als 100k.
      korn hat keinen spass mehr an pokerstrategy :(
    • w3cRaY
      w3cRaY
      Bronze
      Dabei seit: 12.06.2007 Beiträge: 5.279
      Endless Variance... wie ultraunwahrscheinlich schon 10 mal Kopf ist...
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