Divergent und konvergent?

  • 12 Antworten
    • DkotorKunsen
      DkotorKunsen
      Bronze
      Dabei seit: 23.12.2006 Beiträge: 1.333
      ^^
    • VTechMS
      VTechMS
      Bronze
      Dabei seit: 04.10.2006 Beiträge: 1.492
      kurzes Beispiel + Frage
    • qotsa7887
      qotsa7887
      Bronze
      Dabei seit: 05.08.2007 Beiträge: 1.351
      da der exponent von x im zähler und nenner gleich groß ist, geht die funktion weder gegen 0 noch unendlich (weder zaähler noch nenner "wachsen" schneller)
      da die faktoren vor x 4 und 2 sind, konvergiert die fkt. gegen 4/2 = 2
    • deuspluto
      deuspluto
      Bronze
      Dabei seit: 08.01.2007 Beiträge: 423
      der grad von 2 ist 0. du hast doch selber schon den limes berechnet, also konvergiert deine funktion doch offensichtlich
    • kain1
      kain1
      Bronze
      Dabei seit: 07.04.2009 Beiträge: 6
      warum sind alle mathematiker konvergent?


      weil se monoton und beschränkt sind. :D
    • VTechMS
      VTechMS
      Bronze
      Dabei seit: 04.10.2006 Beiträge: 1.492
      Original von deuspluto
      der grad von 2 ist 0. du hast doch selber schon den limes berechnet, also konvergiert deine funktion doch offensichtlich
      Ich dachte die Höhe der höchsten Hochzahl, ist gleich die Höhe des Grades der Funktion.
      Z.B.:

      2^1 = 2 = 1. Grad = divergent;
      nämlich 2^0 = 1 = 0. Grad = konvergent

      was ist den mein Denkfehler?
    • WebTiger
      WebTiger
      Bronze
      Dabei seit: 12.10.2005 Beiträge: 613
      Original von VTechMS
      was ist den mein Denkfehler?
      Du musst dir schon den Grad von x anschauen.

      2 = 2 * x^0 --> Grad 0
    • deuspluto
      deuspluto
      Bronze
      Dabei seit: 08.01.2007 Beiträge: 423
      wozu brauchst du das denn? scheinen ja größere verständnis probleme vorzuliegen ;) sind auch schon recht komische merkregeln die du da benutzt.
    • lego
      lego
      Bronze
      Dabei seit: 08.03.2005 Beiträge: 5.823
      edit: ach egal
    • SirThomse
      SirThomse
      Bronze
      Dabei seit: 22.06.2006 Beiträge: 1.830
      mach mal immer folgendes:
      1) Betrachte Zähler und Nenner und bestimme den Grad der beiden
      Bspl.:
      5x^2+2x+3
      ----------------
      3x^3-4x+2
      Grad im Zähler 2
      Grad im Nenner 3

      2) Klammere jeweils oben und unten "den kleineren Grad" aus, also hier x^2.

      x^2 (5+2/x+3/(x^2))
      ----------------------------
      x^2 (3x-4/x+2/(x^2))

      3) Kürze oben und unten das ausgeklammerte

      5 + 2/x + 3/(x^2)
      ----------------------------
      3x - 4/x + 2/(x^2)

      4) Betrachte die einzelnen Grenzwerte

      5 + 0 + 0
      -------------
      3x + 0 + 0

      5) Auswertung:
      Fall a) unten bleibt mindestens x (oder x^2, x^3,...) stehen, dann strebt das ganze gegen 0
      Fall b) oben bleibt mindestens x (oder x^2, x^3,...) stehen, dann divergiert das Ganze ("strebt gegen unendlich", darf man aber nicht sagen)
      Fall c) kein x bleibt übrig. das was stehen bleibt ist der Grenzwert.

      Beispiel2:
      1)
      8x^3-3x^2+4
      ----------------
      2x^3+7x-2
      Grad im Zähler 3
      Grad im Nenner 3

      2)

      x^3(8-3/x+4/x^3)
      ---------------------------
      x^3(2+7/x^2-2/x^3)
      3)

      8-3/x+4/x^3
      ---------------------------
      2+7/x^2-2/x^3

      4) Betrachte die einzelnen Grenzwerte

      8 + 0 + 0
      -------------
      2 + 0 + 0

      5) Fall c)
      8
      -- =8/2 = 4
      2

      noch fragen?
    • VTechMS
      VTechMS
      Bronze
      Dabei seit: 04.10.2006 Beiträge: 1.492
      vielen Dank SirThomse,

      aber ich hab noch eine Aufgabe in der ich durch Ausklammern nicht darauf komme, ob die Funktion divergent oder konvergent ist (ich hab den größeren x - Wert ausgeklammert).
      Aufgabe

      -----------------------------
      Asymptoten: (x geht gegen unendlich)
      - eine waagrechte Asymptote liegt vor, wenn der Grenzwert irgendeine Zahl ist
      - eine senkrechte Asymptote liegt vor, wenn der Grenzwert unendlich ist und der Zählergrad NICHT um 1 größer ist als der Nennergrad, ...
      - eine schiefe Asymptote liegt vor, wenn der Grenzwert unendlich ist und der Zählergrad um 1 größer ist als der Nennergrad der ganzrationale Funktion bzw. dem ganzrationalen Teil der Funktion.

      ^^stimmt das so
      (es mag ja sein das meine Merksätze bisschen komisch formuliert sind, aber um so einfacher, um so besser, sofern korrekt.)
    • Paty17
      Paty17
      Bronze
      Dabei seit: 26.03.2007 Beiträge: 1.048
      Original von VTechMS
      aber ich hab noch eine Aufgabe in der ich durch Ausklammern nicht darauf komme, ob die Funktion divergent oder konvergent ist (ich hab den größeren x - Wert ausgeklammert).
      Aufgabe
      Ok ich erklär dir das mal in einfach. Du betrachtest im Nenner und Zähler jeweils die höchste Potenz. Dazu brauchst du keine Polynomdivision oder ähnliches machen.
      In deinem Beispiel is das x^2 im Zähler und x im Nenner. 2 ist größer als 1, deshalb divergiert das gegen unendlich.

      Der Grund dafür ist, dass x^2 schneller steigt als x, also steigt der Zähler schneller als der Nenner und die Funktion wird größer. Umgekehrt gilt das natürlich auch.
      Noch ein paar zusätzliche Sachen. Hast du eine Zahl hat diese die Potenz 0 (x^0=1), 1/x hat -1 usw.
      Wenn die höchste Potenz von Zähler und Nenner gleich sind (2 funktionen gleichen Grades) dann schaust du die Zahl davor an. Also (4x^2+2x)/(x^2+1) läuft gegen 4.
      Eine Exponentialfunkion (a^x) steigt schneller als jede Potenz.

      Asymptoten:
      - waagrechte Asymptote: Läuft der Grenzwert für x gegen unendlich zu einem festen Wert, dann spricht man von einer waagrechten Asymptote (Grad Zähler <= Grad Nenner)
      - senkrechte Asymptote: Gibt es für x gegen unendlich nicht. Senkrechte Asymptoten gibt es bei Polstellen.
      - schiefe Asymptoten. in allen anderen Fällen gibt es eine schiefe Asymptote. Willst du sie bestimmen musst du eine Polynomdivision machen und schaust dir den Rest an.