[Mathe] Mathe Olympiade ---- Gleichungssysteme

    • aphrooo
      aphrooo
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      Dabei seit: 05.11.2009 Beiträge: 99
      Hi,
      hab vor 2 Wochen Mathe Olympiade geschrieben und eine Aufgabe, die ich ein bisschen schwer fand (für die vorgegebene Zeit).

      Geben Sie alle positiven, ganzzahligen Lösungen für x und y an, so dass sie die Gleichungen 1 und 2 erfüllen.

      1: x^2-xy=2009
      2: y^2-x=15



      Habe die Lösung rausbekommen, allerdings ein bisschen komisch :-O

      Wie wärt ihr die Aufgabe angegangen?

      Gruß
      Aphrooo

      PS: Die anderen drei Aufgaben kann ich auch noch Posten wenn ihr wollt
  • 8 Antworten
    • SlowLarry
      SlowLarry
      Bronze
      Dabei seit: 07.04.2006 Beiträge: 940
      Hmm, ist das nicht relativ einfach?

      Aus der ersten Gleichung x(x-y) = 2009 folgt ja, dass x ein Teiler von 2009 = 7*7*41 sein muss, also 1, 7, 41, 49, 287 oder 2009. Dazu die passenden y ausrechnen und nur das Paar 49 und 8 erfüllt Gleichung 2 und ist positiv.
    • aphrooo
      aphrooo
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      Dabei seit: 05.11.2009 Beiträge: 99
      Gut.
      49 und 8 habe ich auch raus ^^
      meine Lösung schreibe ich rein wenn ich die Arbeit wieder habe =)

      Habe es aber so änlich gemacht.

      Gruß
      aphrooo

      PS: war anscheinend doch nicht so schwer =)
    • SlowLarry
      SlowLarry
      Bronze
      Dabei seit: 07.04.2006 Beiträge: 940
      Prima, kannst Du die anderen Aufgaben auch posten? War das die erste Runde der MO?
    • aphrooo
      aphrooo
      Global
      Dabei seit: 05.11.2009 Beiträge: 99
      Es war die zweite Runde der Mathe Olympiade.

      Die Ecken des Dreiecks ABC seien am Mittelpunkt dessen Umkreises zu A'B'C' gespiegelt. Berechnen sie das Verhältniss vom Dreieck ABC und dem 6-Eck AC'BA'CB'.

      Habe die genaue Aufgabenstellung nicht mehr im Kopf aber ungefähr so ging sie;)

      viel Spaß..

      weitere folgen dann nach der Lösung :-P
    • aphrooo
      aphrooo
      Global
      Dabei seit: 05.11.2009 Beiträge: 99
      Eine weiß ich noch:
      Allerdings ist mir die Aufgabe auch nicht mehr so im Kopf.

      Auf der Insel "Zelopanien" gibt es 6 Städte. Jade Stadt hat drei Verbindungen zu drei andern Städten, die sich in beide Richtungen laufen lassen. Beweisen Sie, dass es immer 4 Städte A,B,C,D gibt die man alle mit einem mal durchlaufen kann. Also von A zu B, von B zu C, von C zu D und von D wieder zurück zu A.


      Ich hoffe ihr könnt euch das vorstellen. kann nicht so gut formulieren^^
    • SlowLarry
      SlowLarry
      Bronze
      Dabei seit: 07.04.2006 Beiträge: 940
      Ich probiers mal:

      Seien o.B.d.A. B, C und D Städte, die mit A verbunden sind. Ist B mit C und D verbunden , so existiert z.B. der Zyklus ACBDA.
      Sei nun B nicht mit C und D verbunden, sondern o.B.d.A. mit E. Hat E eine Verbindung zu C bzw. D, so existieren die Zyklen ABECA bzw. ABEDA.
      Hat E stattdessen Verbindungen zu A und F, so gibt es mindestens eine der Verbindungen FB, FC, oder FD, womit einer der Zyklen AEFBA, AEFCA oder AEFDA existiert.
      q.e.d.

      Mit Bildchen ist es natürlich schöner :f_cool:
    • aphrooo
      aphrooo
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      Dabei seit: 05.11.2009 Beiträge: 99
      ja natürlich ist es das =)

      hinweis: man kann jede konstellation zu einem 6-eck verschönern ;) wenn du erstmal 2 verbindungen betrachtest

      hoffe die aufgaben waren verständlich
    • aphrooo
      aphrooo
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      Dabei seit: 05.11.2009 Beiträge: 99
      Ich gebe einen Tipp zur Aufgabe mit dem Flächeninhalt.
      Wie ist die Formel für den Flächeninhalt für ein Dreieck?
      Vielleicht müsst ihr eine Variable ja ersetzten durch zwei weitere ;)

      Berücksichtigt den Satz des Thales =)

      Viel Spaß noch