Matrix potenzieren

    • nerdixx
      nerdixx
      Bronze
      Dabei seit: 01.09.2006 Beiträge: 736
      Hey, kleine Frage am Rande

      Sei A ne m x m Matrix

      wenn dann A^m=0 für ein n aus N gilt, folgt dann daraus A=0? Muss da was beweisen und als nebenprodukt kommt dann sozusagen das raus. hab schon im internet geguckt aber nirgendwo was dazu gefunden. wundern würds mich nicht aber wäre dann ja analog zur normalen Multiplikation auf R

      danke schonmal im voraus
  • 13 Antworten
    • MadCow
      MadCow
      Bronze
      Dabei seit: 15.09.2006 Beiträge: 1.151
      für ein bestimmtes m €N gilt es nicht!
      in diesem fall ist die matrix nur nilpotent
      http://en.wikipedia.org/wiki/Nilpotent
    • nerdixx
      nerdixx
      Bronze
      Dabei seit: 01.09.2006 Beiträge: 736
      ok danke dir, vllt kannst du mir ja helfen den denkfehler zu finden:

      Wenn jetzt gilt A^m=0 fuer ein bestimmtes m

      und ich hab die Summe: Sum_i=1^m-1(A^i)

      also die Summe von i=1 bis m-1 von A^i. Kann ich das letzte glied A^(m-1) ja auch schreiben als A^m*A^-1 und das vorletzte A^(m-2)=A^m*A^-2 usw

      ich hab dann also in jeden glied den faktor null woraus ich folgern wuerde A=0
      aber da muss ja irgendwo nen denkfehler/fehlvorstellung vorliegen wenn dem nicht so ist.
    • kunnivah
      kunnivah
      Bronze
      Dabei seit: 09.04.2007 Beiträge: 1.201
      der denkfehler ist der, dass A^(m-1) = A^m * A^(-1) nicht gilt, da nilpotente matrizen nicht invertierbar sind.
    • nerdixx
      nerdixx
      Bronze
      Dabei seit: 01.09.2006 Beiträge: 736
      aja ok also wenn ne matrix nicht nilpotent is wuerde schon aus A^m=0 folgen A=0?
    • SanWogi
      SanWogi
      Bronze
      Dabei seit: 02.07.2008 Beiträge: 2.259
      korrekt. Das ist ja die Definition von Nilpotent. Alles was nilpotent ist, wird in endlicher Potenz Null. Und alles was nicht nilpotetn ist, wird in endlicher Potenz nicht Null. Die Nullmatrix selbst ist nilpotent.

      Kann man sich auch leicht über die Eigenwerte überlegen. Matrizen, die nur den Eigenwert Null haben, sind nilpotent.
    • kunnivah
      kunnivah
      Bronze
      Dabei seit: 09.04.2007 Beiträge: 1.201
      auch die nullmatrix ist nilpotent :) sie ist sogar die einzige matrix die nilpotent UND diagonalisierbar ist.
    • WonderBra
      WonderBra
      Bronze
      Dabei seit: 15.10.2006 Beiträge: 1.445
      Original von nerdixx
      aja ok also wenn ne matrix nicht nilpotent is wuerde schon aus A^m=0 folgen A=0?
      Der Satz macht so keinen Sinn.

      Das ist wie "also wenn 2+2 nicht 4 ist..."
      (Die Nullmatrix ist auch Nilpotent)
    • SanWogi
      SanWogi
      Bronze
      Dabei seit: 02.07.2008 Beiträge: 2.259
      @kunnivah: Hehe, du hast mich korrigiert, während ich meinen Post noch editiert habe. Aber doppelt hält eh' besser. :D
    • kunnivah
      kunnivah
      Bronze
      Dabei seit: 09.04.2007 Beiträge: 1.201
      Original von SanWogi
      Matrizen, die nur den Eigenwert Null haben, sind nilpotent.
      da muss man allerdings aufpassen, das kommt nämlich auf den körper an. es gibt matrizen die in IR nur den eigenwert 0 haben, aber trotzdem nicht nilpotent sind. ist der körper allerdings der der komplexen zahlen, so gilt deine aussage.
    • fishbone00
      fishbone00
      Bronze
      Dabei seit: 19.09.2008 Beiträge: 403
      Original von kunnivah
      Original von SanWogi
      Matrizen, die nur den Eigenwert Null haben, sind nilpotent.
      da muss man allerdings aufpassen, das kommt nämlich auf den körper an. es gibt matrizen die in IR nur den eigenwert 0 haben, aber trotzdem nicht nilpotent sind. ist der körper allerdings der der komplexen zahlen, so gilt deine aussage.
      Beispiel bitte! Meinst du reelle Matrizen mit NUR reellen Eigenwerten?
    • kunnivah
      kunnivah
      Bronze
      Dabei seit: 09.04.2007 Beiträge: 1.201
      Original von fishbone00
      Original von kunnivah
      Original von SanWogi
      Matrizen, die nur den Eigenwert Null haben, sind nilpotent.
      da muss man allerdings aufpassen, das kommt nämlich auf den körper an. es gibt matrizen die in IR nur den eigenwert 0 haben, aber trotzdem nicht nilpotent sind. ist der körper allerdings der der komplexen zahlen, so gilt deine aussage.
      Beispiel bitte! Meinst du reelle Matrizen mit NUR reellen Eigenwerten?
      nein.



      was ich meine ist halt, dass man die eigenwerte in IC betrachten muss, damit "A hat nur den EW 0 => A ist nilpotent" gilt.
    • fishbone00
      fishbone00
      Bronze
      Dabei seit: 19.09.2008 Beiträge: 403
      Also A ist isomorph zur Darstellung der Multiplikation mit "i" in IR², dann ist es klar.
    • kunnivah
      kunnivah
      Bronze
      Dabei seit: 09.04.2007 Beiträge: 1.201
      kein ahnund was du damit gerade sagen willst, aber isomorphie ist ne eigenschaft zwischen algebraischen strukturen und nicht zwischen einer matrix und irgendeiner darstellung ^^