Gradient versus Nivaulinie

    • PokerEnemyNo1
      PokerEnemyNo1
      Bronze
      Dabei seit: 17.06.2009 Beiträge: 16
      Ich schreibe gerade meine Facharbeit über Funktionen mit zwei Variablen.
      Dabei stoße ich auf folgendes Problem.
      Niveaulinen und Gradient liegen senkrecht aufeinander. Ich verstehe das graphisch, kann mir es mathematisch aber nur zur hälfte erklären.
      Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander liegen, dann ist das Skalarprodukt, der beiden Vektoren, Null.
      Daraus ergibt sich die Form gradf * t = 0. (t=Tangentenvektor)
      Ich wollte in meiner Facharbeit, um diese Form zu "beweisen", zeigen das die Skalarfunktion des Tangentenvektors und des Gradienten der Funktion f(x,y)=x^2+y^2 im Punkt (1,1,2) Null ergeben, komme aber nicht auf den Tangentenvektor.
      (Niveaulinienfunktion: y= (2-x^2)^0.5 )
      Könnt ihr mir helfen? Bin euch im voraus schon dankbar. :f_grin:
  • 3 Antworten
    • make0
      make0
      Bronze
      Dabei seit: 24.06.2007 Beiträge: 307
      Ich würde die Niveaulinie (n) mit einem parameter a beschreiben: n = sqrt(2) * vec( cos(a), sin(a))
      der punkt (1,1,2) entspricht dann a = pi/4.
      Die Tangente bekommst du, indem du dann n nach a ableitest und a = pi/4 einsetzt. Da kommt dann tangente = sqrt(2) * (1;-1) raus.
    • PokerEnemyNo1
      PokerEnemyNo1
      Bronze
      Dabei seit: 17.06.2009 Beiträge: 16
      Huch, wie kommst du denn von sqrt(2-x^2) auf sqrt(2) * vec( cos(a), sin(a)) ?
      Aber die Lösung is richtig denk ich.
    • make0
      make0
      Bronze
      Dabei seit: 24.06.2007 Beiträge: 307
      y= (2-x^2)^0.5 | ^2
      y^2+x^2 = 2
      --> Wir haben einen Kreis mit Radius sqrt(2). Und den kann man einfach mit Polarkoordinaten schreiben (also x = r* cos(alpha), y = r* sin(alpha))

      Polarkoordinaten braucht man aber nicht unbedingt. Allgemein kann man die Tangente an eine Bahnkurve ausrechnen, indem man die Bahn mit einem Vektor beschreibt, in dem man noch einen freien Paramter hat. Das kann dan bei dir z.B. auch x sein:
      t = (x, y) = (x, (2-x^2)^.5)
      Dann nach dem freien Parameter ableiten:
      t' = (1, -x/sqrt(2-x^2))
      Und den Punkt (also x=1) einsetzten:
      t' = (1,-1)