Standardabweichung für meine [BB/100Hände]

    • GodIsMyOnlyDrug
      GodIsMyOnlyDrug
      Bronze
      Dabei seit: 25.05.2007 Beiträge: 10
      Guten Tag

      Ich habe nun ca. 1k Hände mir 15BB/100Hände Gewinn gespielt.
      Das ist jedoch nicht der tatsächliche persönliche Erwartungswert, sondern nur das Produkt des Zufalls, mir welchen Karten und Gegnern ich in den letzten 1000 Händen zu tun hatte. Mein tatsächlicher Erwartungswert wird irgendwo zwischen (10 und 20) BB/100Hände, oder wenn ich ganz sicher (resp. sicherer) sei möchte zwischen (5 und 25) BB/100Hände liegen.

      Die Wahrscheinlichkeit der Anzahl BB/100Hände müsste normalverteilt sein, mit Erwartungswert 15BB/100Hände. Für normalverteilte Funktionen haben Wahrscheinlichkeitstheoretiker die Standardabweichung eingeführt. (In meinem Beispiel wäre das 5BB/100Hände). Das würde bedeuten, dass mein tatsächlicher Erwartungswert zu ca. 66% zwischen (10 und 20)BB/100Hände liegen würde, und zu ca. 95% zwischen (5 und 25)BB/100Hände.

      Je mehr Hände ich spiele, desto genauer werde ich an meinen tatsächlichen Erwartungswert gelangen. Das heisst, dass diese Standardabweichung mit mehr gespielten Händen kleiner wird.

      Ich nehme an, dass die Formel für diese Standardabweichung in Abhängigkeit von den gespielten Händen von folgendem Typ sein wird:
      Standardabweichung=a/log(#Hände*b+c)+d, wobei a,b,c,d: Konstanten.

      Kann mir jemand die genaue Formel angeben, oder mir eine ungefähre Abschätzung dazu geben?

      Ich kann mir vorstellen, dass einige Leser das zu schwierig, unnötig oder einfach als Zeitverschwendung betrachten. Diese Formel würde mich interessieren und hoffe, dass destruktive Kommentäre weggelassen werden.

      Vielen Dank für konstruktive, weiterhelfende Beiträge!
  • 13 Antworten
    • DoctorAce2009
      DoctorAce2009
      Einsteiger
      Dabei seit: 24.05.2009 Beiträge: 75
      Hast du es in Erwägung gezogen "standardabweichung" in google einzugeben? Wenn ja, was hat dich davon abgehalten?
    • GodIsMyOnlyDrug
      GodIsMyOnlyDrug
      Bronze
      Dabei seit: 25.05.2007 Beiträge: 10
      Ich glaube, du hast das Thema überhaupt nicht verstanden, es kann jedoch auch sein, dass du dies noch gar nicht hattest, da es ein über den üblichen gymnasialen mathematischen Stoff herausgeht.

      Natürlich, die Standardabweichung ist die Wurzel(Varianz). Damit ich das so berechnen kann, bräuchte ich ca. 10'000 Statistiken mit den genauen Erwartungswerter. Ein Programm zu schreiben, welches dies berechnet wäre zwar möglich, aber die 10'000 Personen zu finden, welche mir ihre Statistiken zur Verfügung stellen und diese Informationen in einem für mein Programm nutzbarem Format zu speichern, wäre doch ein (leicht!) schwierigeres Unterfangen...
    • Korn
      Korn
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2005 Beiträge: 12.511
      2 BB/100 oder bin ich ein winning player ?
    • Miggl
      Miggl
      Global
      Dabei seit: 04.06.2006 Beiträge: 6.207
      Original von Korn
      2 BB/100 oder bin ich ein winning player ?
      Link geht nicht (posted after Korn).
    • phil1312
      phil1312
      Global
      Dabei seit: 21.06.2008 Beiträge: 3.346
      Ups.

      Siehe Miggl
    • Tunnelblicker
      Tunnelblicker
      Bronze
      Dabei seit: 31.10.2007 Beiträge: 5.260
      Man muss Goldstatus haben um den thread lesen zu können.
    • Miggl
      Miggl
      Global
      Dabei seit: 04.06.2006 Beiträge: 6.207
      Das war mir schon klar (dein Status bla bla wurde ja angezeigt), aber da Op Bronze ist, hab ich mal gepostet, dass der Link nicht geht.
    • Aerox88
      Aerox88
      Bronze
      Dabei seit: 31.01.2007 Beiträge: 2.906
      ich zitier mal first post aus dem thread vlt hilfts dir: (ich weiß nich obs erlaubt is, falls net bitte löschen)

      alternativ kannst die standart abweichung auch aus pt3 oder hem raus hohlen

      Original von quick140
      Vorwort

      Dieser Thread ist all denen gewidmet, die von folgenden Problemen o.ä. gequält werden:

      - Ich habe 40.000 Hände gespielt und eine Winrate von ~ 2 BB/100 Hd. Muss ich mir Sorgen machen ?
      - Meine winrate ist +2 BB/100 Hd.. Ich habe 5.000 Hände gespielt. Bin ich ein winning player ?

      Diese oder ähnliche Fragen kann man vor allem in den Anfängercoachings, in diversen Threads oder auch in anderen Foren im Internet häufig antreffen.

      Erstaunlicherweise gibt es auf diese Fragen häufig 2 Standardantworten:
      - Du musst noch viel mehr Hände spielen, um hierüber eine Aussage machen zu können ! (diese Antwort ist immer gleich, egal wie viele Hände der Fragesteller angibt)
      - Da musst du aber mindestens 50.000 Hd., besser 500.000 Hd., am besten über 1.000.000 Hände gespielt haben, damit die Winrate eine Aussage zulässt !

      Diese Antworten sind selbstverständlich nicht hilfreich. Ich werde nachfolgend eine Methode vorstellen, mit denen sich jeder selbst die Frage beantworten kann. Zum besseren Verständnis muss ich aber etwas weiter ausholen. Wer den Hintergrund nicht verstehen will, sondern nur schnell eine Formel sucht, mit der er seine winrate abschätzen kann, wird am Ende dieser Ausführungen mit einer Kurzanleitung "belohnt".

      Wir wenden uns zuerst der Erläuterung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu.

      Der Coinflip

      Bevor wir uns dem Wetten auf Kartenverteilungen (Poker) widmen, benutzen wir den Münzwurf zur Einführung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

      Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf Kopf kommt ist bekanntermaßen p(K)= 0,5. Was passiert, wenn wir 10 mal die Münze werfen wollen?
      Die Wahrscheinlichkeit, dass 10 mal Kopf (oder 10 mal Zahl) kommt ist 0,5^10 = 0,1 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass 9 mal Kopf kommt ergibt sich aus der :
      - Wahrscheinlichkeit, dass zuerst Zahl kommt und anschließend 9 mal Kopf = 0,1 % plus der
      - Wahrscheinlichkeit, dass zuerst Kopf kommt, dann Zahl und anschließend 8 mal Kopf = 0,1 % plus
      - ...

      In der Summe ergibt sich hieraus die Gesamtwahrscheinlichkeit von 10 x 0,1 % = 1 %.

      In EXCEL lässt sich die Binomialverteilung einfach ausrechnen:
      "=BINOMVERT(D2;10;0,5;FALSCH)"
      In der Zelle D2 steht die Anzahl der günstigen Ereignisse. Es ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

      0 x Kopf = 0,1%
      1 x Kopf = 1,0%
      2 x Kopf = 4,4%
      3 x Kopf = 11,7%
      4 x Kopf = 20,5%
      5 x Kopf = 24,6%
      6 x Kopf = 20,5%
      7 x Kopf = 11,7%
      8 x Kopf = 4,4%
      9 x Kopf = 1,0%
      10 x Kopf = 0,1%


      Stellt man die Ergebnisse graphisch dar, ergibt sich eine glockenförmige Kurve. Sie stellt in anderer Form die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Münzwürfen dar. Die Form der Kurve bleibt auch bei jeglicher Steigerung der Anzahl der Würfe gleich und ähnelt einer Glocke. Der Mittelwert der Verteilung entspricht dem Erwartungswert. Würden wir dieses Spiel (10 mal die Münze werfen) spielen, könnten wir als arithmetischen Mittelwert die Anzahl Kopf (natürlich 5) erwarten.

      Wenden wir uns jetzt dem Pokern zu. Unsere Winrate berechnet sich aus dem Gesamtgewinn (oder Verlust) in der Einheit BB, dividiert durch die Anzahl der Hände in der Einheit 10^2 Hände. Analog zu 10 Münzwürfen betrachten wir die Ergebnisse von 10 Sessions. Unsere Winrate pro Session ist offensichtlich nicht binär (Kopf oder Zahl) verteilt, sondern kann beliebige Werte (leider auch beliebig negative) Werte bilden. Folglich lässt sich die oben beschriebene Binominalverteilung nicht anwenden. Stattdessen kann die statistische Beschreibung unserer Winrate in Form der Standardnormalverteilung erfolgen. Diese wird im folgenden erläutert.

      Die Standardnormalverteilung

      Der Pokerspieler A spielt 10 Sessions à 100 Hände mit folgenden Ergebnissen:
      {1,0;3,0;1,5;3,5;2,0;2,5;1,5;3,0;1,5;0,5}
      Der Spieler A spielt 10 Sessions à 100 Hände mit folgenden Ergebnissen:
      {-6,0;12,0;-5,0;3,0;-1,0;3,0;4,0;7,0;-2,0;5,0}
      Beide haben eine winrate von 2 BB/100 Hände, die sich jeweils als arithmetischer Mittelwert ergibt.
      [Hinweis: Die winrate wird aus dem Quotienten des Gesamtgewinns und der Anzahl der gespielten Hände berechnet und nicht wie in obigen Beispiel aus den winrates der einzelnen Sessions ! Will man die Winrate aus den Ergebnissen der einzelnen Sessions berechnen, müssen die Einzelergebnisse mit der jeweils in der Session gespielten Hände gewichtet werden !].
      Die Ergebnisse pro Sessions schwanken jedoch bei dem Spieler B deutlich stärker, als beim Spieler A. Zur Beschreibung dieser Schwankung dient die Standardabweichung.
      Die Formel in EXCEL ist "=STABW(A1:A30)".
      Die Standardabweichung des Spielers A (B) war folglich 0,97 (5,56).
      Mit Hilfe des arithmetischen Mittelwertes und der Standardabweichung kann die Standardnormalverteilung dargestellt werden. Wir nehmen im folgenden eine winrate von 1,5 BB/100 Hände und eine Standardabweichung von 16 BB/100 Hd. an.

      Die Normalverteilung gibt jetzt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Sessions zu 100 Händen mit einem bestimmten Ergebnis enden. Auf die mathematischen Behandlung der normalverteilten Zufallsvariablen verzichte ich. Stattdessen gebe ich einen workaround mit Hilfe von EXCEL in Form von Beispielen an. Bei allen Beispielen gilt die winrate von 1,5 BB/100 Hd. und eine Standardabweichung von 16 BB/100 Hd.

      Beispiele

      1. Wie häufig verliere ich in einer Session aus 100 Händen mehr als 20 BB ?

      8,95 % =NORMVERT(-20;1,5;16;WAHR)

      Die Syntax ist folgendermaßen: NORMVERT(x;Mittelwert;Standabweichung;Kumuliert)
      x = winrate, deren Wahrscheinlichkeit ich berechnen möchte.
      Mittelwert = arithmetische Mittel der Verteilung, das heißt unsere Winrate
      Standabweichung = Standardabweichung der Verteilung.
      Kumuliert = Wahrheitswert, der den Typ der Funktion bestimmt. Wir brauchen die kumulierte Dichtefunktion, das heißt "wahr".

      Sieh an, ich setze mich an den Tisch und schwupps verliere ich in fast 10 % aller Fälle in den ersten 100 Hände schon mal mindestens 20 BB.

      2. Wie häufig verliere ich in einer Session von 100 Hd. ?

      46,3 % =NORMVERT(0;1,5;16;WAHR)
      Ja, ja, in fast jeder 2. Session verliere ich (Ergebnis < 0 BB/100 Hd.). Als ob ich das nicht schon längst wüsste.


      3. Wie häufig gewinne ich in einer Session von 100 Hd. ?

      53,7 % =1-NORMVERT(0;1,5;16;WAHR)

      Ich hoffe, die Verwendung der Formel ist damit klar.

      Hilft uns das weiter bei der Frage, ob meine winrate bedeutet, dass ich ein winning player bin ? Nein, aber keine Panik, Hilfe naht. Aber zuvor müssen wir noch ein paar Dinge über die Standardnormalverteilung besprechen.

      Wenn ein beliebiges Merkmal, wie die Länge einer Schraube oder unsere winrate ausschließlich zufälligen Schwankungen unterliegt, kann man die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Merkmales mit der Standardnormalverteilung beschreiben. Voraussetzung ist, dass die Schwankungen zufälliger Natur sind. Die Normalverteilung von Merkmalen lässt dabei noch besondere Schlüsse zu.
      1. Ca. 68 % der Fläche und damit der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Merkmales liegt zwischen µ + si und µ - si
      2. Ca. 95 % zwischen µ +2si und µ - 2si
      3. Ca. 99,7 % zwischen µ + 3si und µ - 3si

      Dabei ist µ = Mittelwert und si = Standardabweichung.

      Würden wir jetzt µ, das heißt unsere wahre Winrate und si, die zugehörige individuelle Standardabweichung kennen, könnten wir jetzt wahrlich mit der Standardverteilung alles berechnen, was wir so zur Dokumentation unseres erfolgreichen Pokerleben brauchen. Wir kennen aber unserer wahre winrate nicht !
      Ein Beispiel aus der Technik. Eine Schraubenfabrik misst im ersten Jahr die Länge aller 20 Millionen produzierten Schrauben, bildet den Mittelwert und die Standardweichung.
      Im zweiten Jahr wird nur noch eine Stichprobe von 30 Schrauben genommen. Der Mittelwert der Länge dieser 30 Schrauben wird voraussichtlich von dem Mittelwert der 20 Millionen Schrauben abweichen. Der Schraubenproduzent hat den Vorteil, dass er den wahren Mittelwert kennt und so die Abweichung des Stichprobenmittelwertes beurteilen kann.
      Unser Problem besteht darin, dass wir nur unsere "Stichprobenwinrate" kennen. Die schlechte Nachricht zuerst. Wir werden unsere wahre winrate wahrscheinlich nie genau kennen lernen. Die guten Nachrichten sind aber:
      1. Wir können mit einer von uns gewählten Wahrscheinlichkeit die Grenzen bestimmen, innerhalb deren unsere theoretische winrate voraussichtlich liegt.
      2. Wir können die Grenzen selbst beeinflussen.
      [Ein Hinweis für Initiierte: Die Anwendbarkeit des central limit theorems wird im folgenden vorausgesetzt.]

      Die Winrate

      Grundsätzlich konvergiert die Standardabweichung s einer Stichprobe sehr schnell auf die Standardabweichung si des Gesamtkollektives. Erfahrungsgemäß ist bei einer Stichprobenzahl von 30 (Sessions !) die Ungenauigkeit der Standardabweichung der Stichprobe eher zu vernachlässigen. Das heißt, wir spielen mindestens 30 Sessions, bevor wir die nachfolgenden Berechnungen vornehmen.
      [ Es ginge zwar auch mit einer kleineren Anzahl von Sessions, sofern man die t-Verteilung benutzt, allerdings wird dadurch das Konfidenzintervall größer, was für unsere Zwecke keinen Sinn macht].

      Nach mindestens 30 Sessions gilt: s = si

      Unser Mittelwert µ ist ungenau (das ist ja unser Problem). Der Standardfehler sx des Mittelwertes µ ergibt sich aus

      sx = si/ wurzel(n) bzw. sx = s/ wurzel(n)

      n ist die Anzahl der gespielten Hände (in der Einheit 10^2 Hände, also bitte jeweils die gespielten Hände durch 100 teilen !).

      Wenn ich den Standardfehler des Mittelwertes kenne, kann ich auch den Bereich (das Vertrauensintervall VIµ) angeben, innerhalb dessen meine winrate voraussichtlich liegt:

      VIµ = µ - z* s/ Wurzel(n) ; µ + z* s/ Wurzel(n)

      Anders ausgedrückt ergibt sich die untere Grenze meiner Winrate

      UGWR = µ - z* s/ Wurzel(n) 


      resp. die Obergrenze der Winrate zu

      OGWR = µ + z* s/ Wurzel(n) 
       

      z ist der Faktor, der die Wahrscheinlichkeit steuert, zu dem diese Aussage bzw. das Ergebnis zutrifft. Je größer Z wird, umso wahrscheinlicher ist die Aussage wahr.

      In der praktischen Statistik wird häufig z = 3 gewählt. Das 3fache der Standardabweichung entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 99,7 %. Mir persönlich ist das zu risikoavers (ich bin schließlich Pokerspieler !). Ich neige eher zum 95 %-Intervall mit z = 1,96.

      In EXCEL umgesetzt bedeutet dies:

      OGWR =A2-STANDNORMINV((1-A4)/2)*A3*(1/WURZEL(A1))
      UGWR=A2+STANDNORMINV((1-A4)/2)*A3*(1/WURZEL(A1))

      Mit den Feldern:

      A1 = gespielte Hände dividiert durch 100
      A2 = winrate in BB/100 Hd.
      A3 = meine Standardabweichung in BB/100 Hd.
      A4 = mein gewähltes Wahrscheinlichkeitsintervall

      Beispielrechnung

      Auf 0.5/1 $ FH betrug nach den ersten 4800 Händen meine winrate µ = 1,4 BB/100 Hd. und meine Standardabweichung s = 16,8 BB/100 Hd. Ich bin mit einer 95 %igen Wahrscheinlichkeit zufrieden (Eingabe in EXCEL= 0,95).

      A1 = 48
      A2 = 1,4
      A3 = 16,8
      A4 = 0,95
      Eingesetzt in die obige Formel ergibt dies, dass meine winrate zu 95 % im Bereich von

      OGWR = 6,1 BB/100 Hd. und 
      UGWR= -3,3 BB/100 Hd. 


      liegt.

      Auf den ersten Blick ist das nicht berauschend, denn ich bin jetzt immer noch nicht schlauer. Geduld ! Wir betrachten nochmals unsere Formel zur Berechnung der Untergrenze:
      UGWR = µ - z* s/ Wurzel(n) 


      Offensichtlich sind wir zumindest kein Loosing player mehr, sofern die UGWR mindestens 0 wird oder µ (unsere ermittelte Winrate) mindestens so groß wie der rechte Ausdruck wird.

      Also, wir setzen UGWR = 0, lösen nach n auf und erhalten die Formel

      n = (z* s/µ)^2 


      Die Daten von oben eingesetzt ergibt sich ein Ergebnis von 553 (10^2 Hände). Das heißt, bleibt meine winrate konstant bei 1,4 BB/Hd., kann ich nach 55.300 gespielten Händen mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass ich ein winning player mit einer winrate von >= 0 BB/100 Hd. bin. Bleibt die winrate oder die Standardabweichung aber nicht konstant, muss ich die Rechnung jeweils wiederholen, da meine ursprünglichen Daten offensichtlich zu stark von einem Up- oder Downswing beeinflusst waren. Diese Berechnung sollte man regelmäßig machen.

      Reicht mir das nicht aus, sondern ich möchte wissen, ab wann ich mit 95-iger Wahrscheinlichkeit davon ausgehen kann, dass meine winrate z.B. > 1 BB/100 Hd. ist, ergibt sich folgende Formel (einfach für UGWR 1 einsetzen und nach n auflösen):
      n = (z* s/(µ-1))^2 

      Um dies sicherzustellen (95 %) sind dann 677600 gespielte Hände notwendig.

      Aus diesem Beispiel wird folgendes deutlich:

      - je größer die Winrate oder je kleiner die Standardabweichung, umso weniger Hände sind notwendig, um mit ausreichender statistischer Wahrscheinlichkeit eine Bestätigung darüber zu erhalten, dass man ein winning player ist.

      Short manual

      Damit haben wir alles zusammen. Anstelle der Zusammenfassung ein short manual.

      1. Ermittle aus dem Gesamtgewinn und der Summe der gespielten Hände die winrate in BB/100 Hd.
      2. Ermittle die Standardabweichung der winrates/Session entweder aus den Angaben von Pokertracker/Pokeroffice oder mit Hilfe von EXCEL (Formel =STABW())
      3. Lege dein individuelles Sicherheitsniveau 0,9; 0,95; 0,99 etc. fest.
      4. Ermittle die Grenzen der wahren Winrate:
      5. OGWR =A2+STANDNORMINV((1-A4)/2)*A3*(1/WURZEL(A1))
      6. UGWR=A2-STANDNORMINV((1-A4)/2)*A3*(1/WURZEL(A1))
      Mit den Feldern:
      A1 = gespielte Hände dividiert durch 100
      A2 = winrate in BB/100 Hd.
      A3 = Standardabweichung in BB/100 Hd.
      A4 = gewähltes Wahrscheinlichkeitsintervall
      7. Ermittle die Mindestanzahl der notwendigen Hände für den statistischen Nachweis für einen winning player mit:
      8. n = (z* s/µ)^2
      9. Sofern sich die Standardabweichung und die winrate nicht geändert haben, bist du nach n Händen wahrscheinlich ein winning player.
      10. Bei Änderungen der Kennzahlen muss eine Neuberechnung erfolgen.
      11. Spiele tight and agro
    • davaro
      davaro
      Bronze
      Dabei seit: 25.12.2006 Beiträge: 8.334
      Original von Korn
      2 BB/100 oder bin ich ein winning player ?
      soll das lustig sein?^^
    • Aerox88
      Aerox88
      Bronze
      Dabei seit: 31.01.2007 Beiträge: 2.906
      Original von davaro
      Original von Korn
      2 BB/100 oder bin ich ein winning player ?
      soll das lustig sein?^^

      korn muss euch doch irgendwie zum rakeproduzieren bringen.
      sorry korn for strich durch die rechnung mit meinem zitat
    • ronnie7277
      ronnie7277
      Bronze
      Dabei seit: 22.09.2007 Beiträge: 2.360
      Das koennte dir vielleicht helfen, hier das Tool Calculus und hier der dazugehoerige Blogeintrag http://fold4value.blogspot.com/2007/06/varianz.html
    • GodIsMyOnlyDrug
      GodIsMyOnlyDrug
      Bronze
      Dabei seit: 25.05.2007 Beiträge: 10
      @Aerox88: Danke viel mal für den informativen Beitrag. Konnte mir wirklich weiterhelfen.

      Damit ich die nun die Standardabweichung berechnen kann, muss ich wissen, was ich in meinen 10 Sessionen gemacht habe (auch wenn ich therotetisch erst nach der 30ten Session rechnen dürfte und deshalb mein Resultat ein bisschen ungenau ist...)

      Kann mir jemand sagen, wie ich bei Elephant den Gewinn nach
      100Hände
      200 Hände
      ...
      1000 Hände berechnen kann, oder muss ich das vom Graphen ablesen? -> sehr ungenau(!)
    • RatofDeath
      RatofDeath
      Bronze
      Dabei seit: 26.04.2007 Beiträge: 2.357
      Alternativ kannst du dir auch die Trial von Pokertracker oder Holdem Manager holen, der zeigt dir deine Standard Deviation an.