WK einer Gewinnserie berechnen

    • dhuppert
      dhuppert
      Bronze
      Dabei seit: 16.09.2006 Beiträge: 562
      Ich hab ein mathematisches Problem.

      Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, mit der ich in 100 HU-SNGs eine Gewinnserie von 10 SNGs hinlege wenn ich 50% der SNGs gewinne.

      Ist das gar nicht so einfach, oder stehe ich nur auf dem Schlauch?
  • 13 Antworten
    • Unam
      Unam
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 17.08.2006 Beiträge: 8.999
      Hi dhuppert,

      hier ist zwar nach einer Verlustserie gefragt, aber der Weg ist der gleiche, ich hoffe das hilft dir.

      edit:
      ich glaube ich habe dich zuerst falsch verstanden, wenn es um gewinn in Folge geht, dann sollte folgendes stimmen:
      0,5^10 * 100 = 0,0976= ca. 9,8%

      LG
      Manu
    • fishbone00
      fishbone00
      Bronze
      Dabei seit: 19.09.2008 Beiträge: 403
      Original von Unam
      Hi dhuppert,

      hier ist zwar nach einer Verlustserie gefragt, aber der Weg ist der gleiche, ich hoffe das hilft dir.

      edit:
      ich glaube ich habe dich zuerst falsch verstanden, wenn es um gewinn in Folge geht, dann sollte folgendes stimmen:
      0,5^10 * 100 = 0,0976= ca. 9,8%

      LG
      Manu
      genauer:

      P(10 Gewinne nacheinander in 100 Spielen) = 0.5^10 * (100 - 10 + 1) = 0.0888672

      P(mind. 10 Gewinne nacheinander in 100 Spielen) = sum(0.5^i * (100 - i + 1), i=10,...,100) = 0.175781
    • Unam
      Unam
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 17.08.2006 Beiträge: 8.999
      Original von fishbone00
      Original von Unam
      Hi dhuppert,

      hier ist zwar nach einer Verlustserie gefragt, aber der Weg ist der gleiche, ich hoffe das hilft dir.

      edit:
      ich glaube ich habe dich zuerst falsch verstanden, wenn es um gewinn in Folge geht, dann sollte folgendes stimmen:
      0,5^10 * 100 = 0,0976= ca. 9,8%

      LG
      Manu
      genauer:

      P(10 Gewinne nacheinander in 100 Spielen) = 0.5^10 * (100 - 10 + 1) = 0.0888672

      P(mind. 10 Gewinne nacheinander in 100 Spielen) = sum(0.5^i * (100 - i + 1), i=10,...,100) = 0.175781
      :D du darfst anstelle von genauer schon sagen richtig

      auf jeden Fall vielen Dank
    • 00Visor
      00Visor
      Bronze
      Dabei seit: 26.11.2007 Beiträge: 14.438
      Original von fishbone00
      genauer:

      P(10 Gewinne nacheinander in 100 Spielen) = 0.5^10 * (100 - 10 + 1) = 0.0888672

      P(mind. 10 Gewinne nacheinander in 100 Spielen) = sum(0.5^i * (100 - i + 1), i=10,...,100) = 0.175781
      Eure Lösungen sind alle falsch :f_p: .
      Die Formeln beachten nicht, dass ich bei "genau 10 Spielen" vorher und nachher verloren haben muss.
      Wenn ich gleich mit "mind." 10 Spielen rechnen, bekommen ich ein Problem, dass sich Ereignisse überschneiden. (z.b. bei n=11 mind. die ersten 10 und mind. die letzten 10).

      Ich weiß gar nicht, ob es dafür ne wirkliche Formel gibt. Ist auf jeden Fall nicht einfach. Werd mich mal umsehen.

      Ein Ansatz wäre ein rekursiver.
      Wenn ich die Wahrscheinlichkeit für (n-1) kenne, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit für n darum, dass genau die letzten 10 gewonnen wurden (und das davor verloren), natürlich muss man dabei ausschließen, dass man in den (n-11) Versuchen davor erfolgreich war.

      P(n) = P(n-1) + (1/2)^11 * (1 - P(n-11))

      Mal schaun, ob man darüber ne Formel aufstellen kann.

      Edit: Also ne Formel find ich da so schnell nich.
      Aber ich habs mal meine obige Rekursion mal durch Matlab gejagt und das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 4,4% (für mind. 10x hintereinander gewinnen bei 100 Spielen).
    • dhuppert
      dhuppert
      Bronze
      Dabei seit: 16.09.2006 Beiträge: 562
      deine Rekursion verstehe ich zwar nicht, ich habe mir aber mal eine Versuchsreihe gebastelt und einfach ausprobiert.

      Heraus kam, dass man in 4,5% aller 100er Serien einen (mindestens) 10-Gewinne-Lauf hat. dein Ansatz scheint also zu passen.

      Ich bin ja beruhigt, dass es doch nicht so einfach war, wie erst befürchtet =)
    • fishbone00
      fishbone00
      Bronze
      Dabei seit: 19.09.2008 Beiträge: 403
      Lasst uns doch mal ein Paper schreiben und veröffentlichen!
    • fishbone00
      fishbone00
      Bronze
      Dabei seit: 19.09.2008 Beiträge: 403
      Mal gucken, ob ich es jetzt packe:

      Sei n die Anzahl der Spiele und k \in {0,...,n} die gewünschte Länge einer Winning-Reihe. Sei weiterhin p die Win-Wahrscheinlichkeit für 1 Spiel.

      Definiere P(n,k) als die Wahrscheinlichkeit eine Winning-Reihe mit höchstens k Wins in dieser Reihe zu haben. (Wir können nicht genau k Wins i.A. haben, da das schlicht und einfach nicht geht!)

      Die Wahrscheinlichkeit mind. i Wins in einer Reihe zu haben, ist gegeben durch

      (n-i+1) * p^i

      Warum? Naja, stellen wir uns die n Spiele nacheinander vor, dann wählen wir uns genau i dieser Spiele aus, die wir gewinnen (Wkeit p^i für diese i Spiele). Dazu gibt es n-i+1 Auswahlmöglichkeiten diese Reihe innerhalb der n Spiele zu positionieren. Wie die anderen Spiele ausgegangen sind, interessiert hier nicht! Das bedeutet, dass diese Wahrscheinlichkeit nur _mind._ eine Reihe der Länge i berechnet (es können nat. auch mehrere Reihen derart geben). Wir haben nur die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass es mind. eine Reihe der Länge i gibt.

      Dementsprechend ist dann die Wahrscheinlichkeit eine Reihe der Länge höchstens k zu haben gegeben durch 1 - W.keit Länge mind. i=k+1.

      Hoffe, das passt so. Wer ist so freundlich un TeX-t das Zeug? ^^
    • 00Visor
      00Visor
      Bronze
      Dabei seit: 26.11.2007 Beiträge: 14.438
      Bei "mind." gibt es Überschneidungen der Ereignisse. Wenn du dein Beispiel für n=11 machst, wär die Wahrscheinlichkeit p^10 * 2.

      Aber das Ereignis "die ersten 10" und "die letzten 10" können sich überschneiden.
      Korrekt wären Ereignisse "die ersten 10" und "das erste nicht, aber die letzten 10".

      Dafür ist die Wahrscheinlichkeit p^10 + p^11.
    • fishbone00
      fishbone00
      Bronze
      Dabei seit: 19.09.2008 Beiträge: 403
      Original von 00Visor
      Bei "mind." gibt es Überschneidungen der Ereignisse. Wenn du dein Beispiel für n=11 machst, wär die Wahrscheinlichkeit p^10 * 2.

      Aber das Ereignis "die ersten 10" und "die letzten 10" können sich überschneiden.
      Korrekt wären Ereignisse "die ersten 10" und "das erste nicht, aber die letzten 10".

      Dafür ist die Wahrscheinlichkeit p^10 + p^11.
      Ja, für n=11 sieht die Sache ja auch leicht aus, aber jetzt mal allgemeiner.

      Was sagt uns die Zahl

      (n-k+1) * p^k

      aus?

      Ich wähle mir aus den n Spielen, k Stück in Reihe aus. Dafür gibt es n-k+1 Möglichkeiten. Diese ausgewählten k Spiele, sollen die Eigenschaft haben, dass man diese Spiele mit jeweils Wkeit p stoch. unabhängig gewonnen hat, also: p^k. Was die anderen Spiele für Ergebnisse liefern, ist uns egal. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass
      (1) direkt davor oder direkt nach unserer Reihe der Länge k kann auch ein Spiel mit Wkeit p gewonnen sein
      (2) Es kann auch andere Reihen geben, die länger oder kürzer sind als k - das ist hier nicht ausgeschlossen.

      Was für eine Wkeit haben wir damit bestimmt?
      Die Wkeit, dass es mind. eine Reihe der Länge mind. k gibt.

      Die anderen Wahrscheinlichkeiten, die ein "genau" etc. beinhalten, sind etwas komplizierter, da gebe ich dir Recht - deswegen wäre ja ein Paper evtl. nicht schlecht ^^ (in einer Pokerzeitschrift *g*).
    • 00Visor
      00Visor
      Bronze
      Dabei seit: 26.11.2007 Beiträge: 14.438
      Ich hab dir grad erklärt, dass deine Formel bereits für n=11 falsch ist.
      Es ist eben nicht egal, was vorher und nachher passiert, weil die so mehrere Fälle doppelt (oder noch öfter) zählst (bei n=11 "alle Spiele gewonnen" zählst du 2x).
    • fishbone00
      fishbone00
      Bronze
      Dabei seit: 19.09.2008 Beiträge: 403
      Original von 00Visor
      Ich hab dir grad erklärt, dass deine Formel bereits für n=11 falsch ist.
      Es ist eben nicht egal, was vorher und nachher passiert, weil die so mehrere Fälle doppelt (oder noch öfter) zählst (bei n=11 "alle Spiele gewonnen" zählst du 2x).
      nein.

      n=11
      alle Spiele gewonnen => k = 11
      => (n-k+1) * p^k = (11 - 11 + 1) * p^11 = p^11 = alle Spiele gewonnen.

      Ich zähle nicht doppelt, sondern bestimme die Wahrscheinlichkeit
      _mind._ eine Reihe der Länge _mind._ k.
    • 00Visor
      00Visor
      Bronze
      Dabei seit: 26.11.2007 Beiträge: 14.438
      Ich weiß nicht, wie genau ich es noch erklären soll.

      Du zählst für n=11, k=10:
      (n-k+1) * p^k = 2 * 2^10.

      Also Wahrscheinlichkeit "mind. die ersten 10" + Wahrscheinlichkeit "mind. die letzten 10".
      Der Fall, dass alle Spiele gewonnen werden wird so doppelt gezählt, weil dort sowohl die ersten 10 als auch die letzten 10 gewonnen werden.

      Setz dich bitte mal damit auseinander.
      Ansonsten wette bitte um ne x-beliebige Summe, dass du richtig liegst. Ist ja nicht normal, wie beratungsresistent du bist.
    • Carty
      Carty
      Bronze
      Dabei seit: 17.05.2006 Beiträge: 11.783
      ich liebe visor´s kleine stochastik-postings :D