kleines mathematisches Problem

    • noldini
      noldini
      Bronze
      Dabei seit: 10.01.2008 Beiträge: 411
      Hallo, ich weiß das hier genug Mathe Expterten unterwegs sind,
      kurze Frage:

      Die Aufgabe lautet:

      Berechnen sie ohne TR:

      200^2- 199^2+ 198^2 - 197^2 +......+ 102^2 - 101^2


      Kann mir jemand helfen, muss ja offensichtlich einfach sein, ich komme aber grad nich drauf


      Danke
  • 28 Antworten
    • garten309
      garten309
      SuperModerator
      SuperModerator
      Dabei seit: 02.07.2006 Beiträge: 12.097
      Als Hinweis:

      (x + 1)² - x² = x² + 2x + 1 - x² = 2x + 1

      Auf den Rest solltest du damit selbst kommen.
    • noldini
      noldini
      Bronze
      Dabei seit: 10.01.2008 Beiträge: 411
      Danke erstma schonmal,
      es geht aber darum, die einfachste Methode dafür zu finden, so muss ich ja diesen Term 2x+1 , 50 mal ausrechnen und das dann addieren, dass ist zwar rein mathematisch trivial, aber doch schon viel aufwand...
      jemand ne idee wie man das einfach ausrechnen kann?
    • Regentropfen
      Regentropfen
      Bronze
      Dabei seit: 07.02.2005 Beiträge: 592
      Original von noldini
      Danke erstma schonmal,
      es geht aber darum, die einfachste Methode dafür zu finden, so muss ich ja diesen Term 2x+1 , 50 mal ausrechnen und das dann addieren, dass ist zwar rein mathematisch trivial, aber doch schon viel aufwand...
      jemand ne idee wie man das einfach ausrechnen kann?
      das ist noch nicht der ganze "rest"
    • garten309
      garten309
      SuperModerator
      SuperModerator
      Dabei seit: 02.07.2006 Beiträge: 12.097
      Was erhältst du, wenn du diese Formel oben anwendest, aber noch nicht aufsummierst?
    • noldini
      noldini
      Bronze
      Dabei seit: 10.01.2008 Beiträge: 411
      wenn ich bspw. die ersten beiden nehme:


      (199+1)^2 - 199^2 = 2*199 +1 =399



      aber ich muss ja von 198 bis 101 das noch machen,
      erklärs doch kurz bitte
    • PowerGamer
      PowerGamer
      Bronze
      Dabei seit: 11.12.2007 Beiträge: 5.688
      naja 2*SUM[k = 101 bis 199, k gerade] + 50 sollte net so schwer ausrechnen zu sein ...

      101 + 199 = 300 übrigens ;)
      103 + 197 = 300 ...
      lol wie sick is das denn :s_cool:
      149 + 151 is ja auch noch 300 :f_p: :f_p: :f_p:


      25*50 + 50 = 1300
    • PowerGamer
      PowerGamer
      Bronze
      Dabei seit: 11.12.2007 Beiträge: 5.688
      Original von PowerGamer
      naja 2*SUM[k = 101 bis 199, k gerade] + 50 sollte net so schwer ausrechnen zu sein ...

      101 + 199 = 300 übrigens ;)
      103 + 197 = 300 ...
      lol wie sick is das denn :s_cool:
      149 + 151 is ja auch noch 300 :f_p: :f_p: :f_p:


      25*50 + 50 = 1300

      Ich hab net lange drüber nachgedacht ... könnt auch falsch sein ... aber echt mal, sagt den Jungs hier doch einfach eure Lösung, wie dumm is das denn nur irgendwelche Ansätze zu posten ...

      op is hier um was zu erfahren, net um was zu lernen ...
    • times78
      times78
      Bronze
      Dabei seit: 11.07.2007 Beiträge: 3
      Sollte mit der Summenformel von Gauß gehen:

      ∑[i = 0..n] (x) = (x * (x+1)) /2


      Das ergibt für die geraden Quadratzahlen in deinem Term (diese gehen ja nur von 102-200):

      A := ∑[100] (2x^2) - ∑[50] (2x^2)
      = 4 * ∑[100] (x^2) - 4 * ∑[50] (x^2)

      Für die ungeraden:

      B := ∑[100] (2x - 1)^2 - ∑[50] (2x - 1)^2
      = 4 * ∑[100] (x^2) + 4 * ∑[100] (x) + 100
      - 4 * ∑[50] (x^2) + 4 * ∑[50] (x) - 50

      Zusammen (das meiste kürzt sich weg):

      A - B := 4 * ∑[100] (x) - 4 * ∑[50] (x) - 50 = 15050
    • noldini
      noldini
      Bronze
      Dabei seit: 10.01.2008 Beiträge: 411
      Danke, aber erklär du mir auch bitte wieso es wichtig ist zu wissen das 149+151 = 300 ist und wieso 2* SUM [k=101 bis 199] +50
      Wieso +50 ??

      Also die Lösung wär echt cool aber ganz kurz wieso wär gut damit ich vll doch was lerne :-p
    • garten309
      garten309
      SuperModerator
      SuperModerator
      Dabei seit: 02.07.2006 Beiträge: 12.097
      200^2- 199^2+ 198^2 - 197^2 +......+ 102^2 - 101^2 =
      = 200 + 199 + 198 + ... + 101 =
      = (200 + 101) * 100/2 =
      = 301 * 50 =
      = 15050
    • PowerGamer
      PowerGamer
      Bronze
      Dabei seit: 11.12.2007 Beiträge: 5.688
      Du guckst dir wie in der ersten Antwort immer 2 Terme an wenn ich die Idee richtig gecheckt hab.
      Das "x" in 2x+1 wolltest du ja dann aufsummieren, es war dir aber zu viel arbeit.

      Naja ich muss nunmal für das x die Werte 101 bis 199 einsetzen damits passt, aber halt nur die ungeraden. (sorry war obv. falsch eben ^^)

      und naja dann steht da:
      2*101 + 1 + 2*103 + 1 + ... + 2*199 + 1
      = 2*(101 + 103 + ... + 199) + 50*1
      = 2* SUM[...] + 50
      = 2* 25*300 + 50
      = 50*300 + 50
      = 15050

      ok hab jetzt sowas raus ... is vermutlich wieder falsch ^^
      aber idee sollte klar sein

      edit: stimmt wohl doch ^^
    • noldini
      noldini
      Bronze
      Dabei seit: 10.01.2008 Beiträge: 411
      wieso


      und naja dann steht da:
      2*101 + 1 + 2*103 + 1 + ... + 2*199 + 1
      = 2*(101 + 103 + ... + 199) + 50*1


      +50*1 , wofür steht das 50*1
      Und kann man das quadrat einfach weglassen? wenn ja wieso danke aber schonmal
    • garten309
      garten309
      SuperModerator
      SuperModerator
      Dabei seit: 02.07.2006 Beiträge: 12.097
      Original von noldini
      wieso


      und naja dann steht da:
      2*101 + 1 + 2*103 + 1 + ... + 2*199 + 1
      = 2*(101 + 103 + ... + 199) + 50*1


      +50*1 , wofür steht das 50*1
      Und kann man das quadrat einfach weglassen? wenn ja wieso danke aber schonmal
      Das hab ich dir in der ersten Antwort bewiesen warum und woher die 1 kommt. Und da es ingesamt 50 zusammengefasste Terme gibt wird mit 50 multipliziert.
    • PowerGamer
      PowerGamer
      Bronze
      Dabei seit: 11.12.2007 Beiträge: 5.688
      wegen Antwort 1 im Thread:

      (x + 1)² - x² = x² + 2x + 1 - x² = 2x + 1


      srsly, das sollteste jetzt aber kapieren :D
    • noldini
      noldini
      Bronze
      Dabei seit: 10.01.2008 Beiträge: 411
      ahh jetz hats klick gemacht...

      Vielen Dank
    • noldini
      noldini
      Bronze
      Dabei seit: 10.01.2008 Beiträge: 411
      aber ne kurze Frage, wie habt ihr das so schnell erkannt?
      gibt es da ein Gesetz nach dem ich das immer so berechnen kann?
    • garten309
      garten309
      SuperModerator
      SuperModerator
      Dabei seit: 02.07.2006 Beiträge: 12.097
      + und - wechseln sich immer ab. Daher schaut man sich einmal die ersten 2 Terme an um eine Regelmäßigkeit erkennen zu können. Dabei kam Formel von Antwort 1 raus und der "Rest" ist Erfahrung bzw. Basiswissen aus der Schule.
    • hanratty
      hanratty
      Bronze
      Dabei seit: 18.02.2008 Beiträge: 1.905
      man muss halt einfach die formel
      SUMME(i von 1 bis n)(i) = (n+1)*n/2 (für n gerade)
      kennen
    • crt32
      crt32
      Bronze
      Dabei seit: 17.02.2007 Beiträge: 15.895
      kleiner gauß... ist fast schon allgemeinwissen
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