Beweisen Sie

    • noldini
      noldini
      Bronze
      Dabei seit: 10.01.2008 Beiträge: 411
      Für alle a,b Element IR + : (a+b) ( 1/a + 1/b) >_ 4




      Wie beweise ich das, ich könnte ja theoretisch einfach direkt beweisen in dem ich eine Zahl einsetze und gucke, aber damit habe ich doch nich bewiesen, dass das für alle gilt, wie beweist man etwas, was für eine Zahl zählen kann aba nich für alle zählen muss??
  • 4 Antworten
    • Aerox88
      Aerox88
      Bronze
      Dabei seit: 31.01.2007 Beiträge: 2.909
      vlt klappts mit vollständiger induktion. (für a und b beweißen und dann für a+1 und b+1)


      edit: dann hast aber nur für natürlich zahlen bewießen
    • steinek
      steinek
      Bronze
      Dabei seit: 04.12.2006 Beiträge: 5.461
      Links ausmultiplizieren und schliesslich die Nenner hochmultiplizieren führt zu a^2+b^2 >= 2ab, was wahr ist, da es gleichwertig zu (a-b)^2>=0 ist.
      Dass die Zahlen grösser gleich 0 sind, brauchst du, damit sich beim Hochmultiplizieren das Relationszeichen nicht dreht.
    • papa10
      papa10
      Bronze
      Dabei seit: 21.01.2008 Beiträge: 69
      als dann:
      umformen
      (a+b)/a+(a+b)/b >=4

      1+b/a+1+a/b>=4

      zusammenfassen:
      2+b/a+a/b>=4 ->erweitern mit *aund*b

      2ab+bb+aa>=4
      umformen:

      (a+b)hoch2 >=4-> wurzel ziehen->( beide Seiten)

      a+b>=2

      einsetzen kleinste IR+:
      1+1>=2

      w.A egal was du einsetzt


      sorry etwas eingerostet ist schon 25 jahre her , glaube aber in diese richtung sollte das gehen

      lg

      alex
    • Hanseman
      Hanseman
      Bronze
      Dabei seit: 03.11.2006 Beiträge: 3.892
      Original von papa10
      als dann:
      umformen
      (a+b)/a+(a+b)/b >=4

      1+b/a+1+a/b>=4

      zusammenfassen:
      2+b/a+a/b>=4 ->erweitern mit *aund*b

      2ab+bb+aa>=4
      umformen:

      (a+b)hoch2 >=4-> wurzel ziehen->( beide Seiten)

      a+b>=2

      einsetzen kleinste IR+:
      1+1>=2

      w.A egal was du einsetzt


      sorry etwas eingerostet ist schon 25 jahre her , glaube aber in diese richtung sollte das gehen

      lg

      alex
      Du hast vergessen die rechte Seite mit ab zu multiplizieren. So kommst du auf keine Lösung mehr da (a+b)² >= 4 offentsichtlich nicht stimmt für alle a,b element R+.

      Du hast dann 2ab + b² + a² >= 4ab @| -4ab
      a² -2ab + b² >= 0
      (a-b)²>=0 gg

      Also so wie Steinek auch schon meinte.