Matheproblem: EV-Rechnung bei mehrfachem Dealen

    • StickyF
      StickyF
      Bronze
      Dabei seit: 25.08.2006 Beiträge: 36
      Man sagt ja, dass mehrfaches Dealen beim Holdem keinen Einfluss auf den EV hat. In diesem Thread habe ich allerdings behauptet, dass zweimaliges Dealen beim Holdem einen minimalen Einfluss auf den EV hat, sofern noch mehr als eine Karte kommt. Zumindest komme ich zu der Vermutung, wenn ich es an einem Beispiel nachrechne.

      Da der EV-Unterschied allerdings - wenn überhaupt - marginal und absolut vernachlässigbar ist und das ganze somit in erster Linie ein mathematisches Problem ist, dass mich interessiert, wollte ich dazu mal nen eigenen Thread aufmachen. Mich würd interessieren, ob ich irgendnen Denkfehler in meiner Rechnung hab.

      Folgende Situation:

      Hero: KsKc
      Villain: AsAc

      Am Flop AI

      Board: 8s7c2h

      Y=Pott
      D1=KK gewinnt beim 1. Deal (1=ja, 0=nein)
      D2=KK gewinnt beim 2. Deal (1=ja, 0=nein)

      EV für KK bei einmal dealen:

      (1) EV1=P(D1=1)*Y

      EV für KK zweimal dealen:

      (2) EV2=P(D1=1,D2=1)*Y+P(D1=1,D2=0)*Y/2+P(D1=0,D2=1)*Y/2

      zu (1):

      Es gibt 44*45=1980 Möglichkeiten wie sich das Board komplettieren kann. Davon helfen KK die Kombinationen

      KhKd oder KdKh (zwei Kombos)
      Khx und xKh, wobei x weder Kd noch A (80 Kombos)
      Kdx und xKd, wobei x weder Kh noch A (80 Kombos)

      => P(D1=1)=162/1980

      => EV1=162/1980*Y=146286/1787940*Y

      zu (2):

      Fangen wir bei der ersten Wsk. an. D1 und D2 sind nicht unabhängig, der zweite Deal hängt vom Ausgang des ersten Deals ab. Daher gilt im Allgemeinen NICHT:

      P(D1=1,D2=1) = P(D1=1)*P(D2=1),

      sondern man muss mit dem Satz von Bayes und bedingten Wahrscheinlicghkeiten arbeiten:

      P(D1=1,D2=1) = P(D1=1)*P(D2=1|D1=1)


      P(D2=1|D1=1) lässt sich nun mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen, indem wir die Möglichkeiten, wie die Bedingung

      D1=1 zustande kommen kann aufschlüsseln. Insgesamt gibt es 162 Möglichkeiten den ersten Deal zu gewinnen, welche sich in 2 Kategorien unterteilen lassen:

      K auf Turn und River -> 2 Möglichkeiten
      Wsk. im 2. Deal zu gewinnen: 0

      K auf Turn oder River, wobei die zweite Karte kein A oder K ist -> 160 Möglichkeiten
      Wsk. im 2. Deal zu gewinnen: 78/(42*43)=78/1806
      (42 unbekannte Karten, ein K, zwei Asse => jedes King board ohne Ass ist gut (78 Kombos))

      Somit gilt: P(D1=1,D2=1) = P(D1=1)*P(D2=1|D1=1) = 162/1980*(2/162*0+160/162*78/1806) = 3120/893970


      Mit der entsprechenden Gegenwahrscheinlichkeiten lässt sich P(D1=1,D2=0) bestimmen

      P(D1=1,D2=0) = P(D1=1)*P(D2=0|D1=1) = P(D1=1)*[1-P(D2=1|D1=1)] = 70023/893970


      Schließlich fehlt noch die letzte Wsk. aus (2):
      P(D1=0,D2=1) = P(D1=0)*P(D2=1|D1=0)

      P(D1=0)=1-P(D1=1)=1818/1980

      Die Wsk. im 2. Deal zu gewinnen hängt wieder vom Ausgang des ersten ab. KK verliert im ersten Deal bei 1818 von 1980 möglichen Boards. Es gilt 4 Fälle zu unterscheiden:

      AA im ersten Deal -> 2 Möglichkeiten
      Wsk. im 2. Deal zu gewinnen: 160/1806

      AK oder KA -> 8 Möglichkeiten
      Wsk. im 2. Deal zu gewinnen: 80/1806

      Ax oder xA, wobei x weder A noch K -> 160 Möglichkeiten
      Wsk. im 2. Deal zu gewinnen: 158/1806

      xx wobei x weder A noch K -> 1648 Möglichkeiten
      Wsk. im 2. Deal zu gewinnen: 154/1806

      Damit gilt:
      P(D1=1,D2=0)=1818/1980*(2/1818*160/1806+8/1818*80/1806+160/1818*158/1806+1648/1818*154/1806) = 70008/893970


      Insgesamt komm ich damit zu einem EV von:

      EV2 = 146271/1787940*Y

      Der Unterschied zu EV1 ist gering, aber vorhanden:

      EV1-EV2 = 15/1787940 = ca. 8.39*10^(-6)

      Demnach ist es für den Spieler mit KK ein minimaler Nachteil zweimal dealen zu lassen. Beim Spielen ist so ein minimaler EV-Unterschied natürlich scheißegal. Ich fänds trotzdem mal interessant zu wissen, ob ich mich verrechnet habe.
  • 12 Antworten
    • StephanN
      StephanN
      Bronze
      Dabei seit: 18.08.2007 Beiträge: 6.522
      Kann ich mir eigentlich nicht vorstellen, dass da ein Unterschied ist, aber die Rechnung ist mir zu aufwendig um sie zu kontrollieren.
    • n00bmare
      n00bmare
      Bronze
      Dabei seit: 23.09.2006 Beiträge: 6.549
      Original von StickyF
      Fangen wir bei der ersten Wsk. an. D1 und D2 sind nicht unabhängig, der zweite Deal hängt vom Ausgang des ersten Deals ab. Daher gilt im Allgemeinen NICHT:
      Meiner Meinung nach falsch.

      Du kannst ja auch einfach die beiden weiteren Karten, die noch kommen hinlegen ohne sie aufzudecken!

      Damit wär der EV jeweils der Gleiche wie bei einmaligem Dealen.
    • crt32
      crt32
      Bronze
      Dabei seit: 17.02.2007 Beiträge: 15.895
      Ne das ist schon ein Unterschied ob du einfach zwei Karten rauslegst ohne sie umzudrehen oder ob du sie umdrehst.

      Einfaches Beispiel:
      Du ziehst aus 52 Karten zwei Stück und beides sind Asse.
      Wenn du jetzt eine weitere Karte ziehst hat sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ass halbiert. (nur noch zwei Asse im Deck)
      Hättest du die Karten nicht umgedreht wäre die Wahrscheinlichkeit nach wie vor 4/52.

      Klingt im ersten Moment unlogisch, ist aber so =)
    • maechtigerHarry
      maechtigerHarry
      Bronze
      Dabei seit: 02.07.2007 Beiträge: 5.596
      Ich habs nur überflogen. Ob du nen Rechenfehler drin hast kann ich daher nicht sagen aber so grundsätzlich siehts richtig aus imo.
    • WebTiger
      WebTiger
      Bronze
      Dabei seit: 12.10.2005 Beiträge: 613
      Hab's nur bis zur Berechnung von P(D1=1) gelesen, da diese schon mal falsch ist. Es gibt bspw. 45*44 Möglichkeiten zur Komplettierung des Boards und nicht 44*43. Denke mal der Fehler wird sich komplett bis zum Ende durchziehen.
    • StickyF
      StickyF
      Bronze
      Dabei seit: 25.08.2006 Beiträge: 36
      Original von WebTiger
      Hab's nur bis zur Berechnung von P(D1=1) gelesen, da diese schon mal falsch ist. Es gibt bspw. 45*44 Möglichkeiten zur Komplettierung des Boards und nicht 44*43. Denke mal der Fehler wird sich komplett bis zum Ende durchziehen.
      Ups, stimmt. Spontan würd ich allerdings sagen, das sich die grundsätzliche Aussage trotzdem nicht ändert. Werd nochmal drüber gucken.

      So, habs geändert. Der Unterschied ist sogar noch größer geworden. Vorher wars dann im Prinzip für ein 51 Karten Deck gerechnet. Die Anzahl der Karten sollte aber an dem qualitativen Ergebnis nichts ändern.
    • killerfurbel
      killerfurbel
      Bronze
      Dabei seit: 14.01.2007 Beiträge: 1.490
      Original von crt32
      Ne das ist schon ein Unterschied ob du einfach zwei Karten rauslegst ohne sie umzudrehen oder ob du sie umdrehst.

      Einfaches Beispiel:
      Du ziehst aus 52 Karten zwei Stück und beides sind Asse.
      Wenn du jetzt eine weitere Karte ziehst hat sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ass halbiert. (nur noch zwei Asse im Deck)
      Hättest du die Karten nicht umgedreht wäre die Wahrscheinlichkeit nach wie vor 4/52.

      Klingt im ersten Moment unlogisch, ist aber so =)
      das einfache beispiel hinkt:

      du willst ja die wahrscheinlichkeit dass ein A kommt.
      Angenommen du hast 10 Karten, davon 4 Asse (ob 10 oder 52 ist ja völlig egal, es geht ums prinzip)
      Potgröße: X

      EV bei 1mal Dealen:
      4/10 * X

      EV bei 2 mal dealen:
      Fall1: Erste Karte A, zweite kein A: 4/10 * 6/9 * 1/2 * X
      Fall2: Erste Karte kein A, zweite A: 6/10 * 4/9 * 1/2 * X
      Fall3: Beides A: 4/10 * 3/9 * X
      Fall4: Kein A: 6/10 * 5/9 * 0

      Zusammen: X* (12/90+12/90+12/90) = 4/10 * X

      Das ganze kann man auch gerne noch für 3 mal dealen ausarbeiten, es bleibt immer gleich.

      Denn: würdest du alle Karten dealen, würdest du auch 4 der 10 deals gewinnen und somit auch 4/10*X bekommen.

      Der EV bleibt also immer gleich!


      EDIT: hier diese Situation ist halt allgemein: es gibt 10 karten und du hast 4 outs. Die 4 und 10 kannst ja ersetzen wie du willst...
    • StickyF
      StickyF
      Bronze
      Dabei seit: 25.08.2006 Beiträge: 36
      Original von killerfurbel
      Original von crt32
      Ne das ist schon ein Unterschied ob du einfach zwei Karten rauslegst ohne sie umzudrehen oder ob du sie umdrehst.

      Einfaches Beispiel:
      Du ziehst aus 52 Karten zwei Stück und beides sind Asse.
      Wenn du jetzt eine weitere Karte ziehst hat sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ass halbiert. (nur noch zwei Asse im Deck)
      Hättest du die Karten nicht umgedreht wäre die Wahrscheinlichkeit nach wie vor 4/52.

      Klingt im ersten Moment unlogisch, ist aber so =)
      das einfache beispiel hinkt:

      du willst ja die wahrscheinlichkeit dass ein A kommt.
      Angenommen du hast 10 Karten, davon 4 Asse (ob 10 oder 52 ist ja völlig egal, es geht ums prinzip)
      Potgröße: X

      EV bei 1mal Dealen:
      4/10 * X

      EV bei 2 mal dealen:
      Fall1: Erste Karte A, zweite kein A: 4/10 * 6/9 * 1/2 * X
      Fall2: Erste Karte kein A, zweite A: 6/10 * 4/9 * 1/2 * X
      Fall3: Beides A: 4/10 * 3/9 * X
      Fall4: Kein A: 6/10 * 5/9 * 0

      Zusammen: X* (12/90+12/90+12/90) = 4/10 * X

      Das ganze kann man auch gerne noch für 3 mal dealen ausarbeiten, es bleibt immer gleich.

      Denn: würdest du alle Karten dealen, würdest du auch 4 der 10 deals gewinnen und somit auch 4/10*X bekommen.

      Der EV bleibt also immer gleich!


      EDIT: hier diese Situation ist halt allgemein: es gibt 10 karten und du hast 4 outs. Die 4 und 10 kannst ja ersetzen wie du willst...
      In deinem Beispiel vernachlässigst du aber die Möglichkeit eines Redraws. Könnte mir vorstellen, dass es daran liegt, dass es hinhaut.
    • SoWe
      SoWe
      Global
      Dabei seit: 10.01.2008 Beiträge: 2.397
      hab mir sowas auch schon öfters durchgerechnet, allerdings an einzelbeispielen und nicht allgemeingültig...das wollte ich noch machen

      raus kommt: es verändert den EV nicht, zumindestens in meinen beispielen

      hier ein paar beispiele, mit redraws, split pots und allem:
      code:
      A mit KhKc gegen B mit AhAc auf 2d6s9c
      => A hat KsKd als Outs, B hat AsAd als redraw-Outs
      => 44 unbekannte Karten
      
      Einmal Runnen:
      A: 40/44*41/43 + 2/44*2/43 + 2/44*43/43 = 865/946
      B: 2/44*41/43 + 40/44*2/43 = 81/946
      
      Zweimal Runnen:
      Fall 1: A gewinnt den ersten Run, keines der Outs kam, passiert in 40/44*39/43 = 390/473
      => je 2 Outs, 42 unbekannte Karten
      1a) A gewinnt zweiten Run: 38/42*39/41 + 2/42*2/41 + 2/42*41/41 = 112/123
      => 43680/58179
      1b) B gewinnt  zweiten Run: 2/42*39/41 + 38/42*2/41 = 11/123
      => 4290/58179
      ~47970/58179
      
      Fall 2: A gewinnt den ersten Run, es kommt ein A und kein K, passiert in 40/44*2/43 + 2/44*40/43
      = 40/473
      => 1 Out und 2 Outs, 42 unbekannte Karten
      2a) A gewinnt den zweiten Run: 39/42*39/41 + 2/42*1/41 +1/42*41/41 = 782/861
      =>31280/407253
      2b) B gewinnt den zweiten Run: 2/42*40/41 + 39/42*2/41 = 79/861
      => 3160/407253
      ~34440/407253
      
      Fall 3: A gewinnt den ersten Run, es kommt ein A und ein K, passiert in 4/44*2/43 = 2/473
      => 1 Out und 1 Out, 42 unbekannte Karten
      3a) A gewinnt den zweiten Run: 40/42*40/41 + 1/42*1/41 + 1/42*41/41 = 821/861
      => 1642/407253
      3b) B gewinnt den zweiten Run: 1/42*40/41 + 40/42*1/41 = 40/861
      => 80/407253
      ~1722/407253
      
      Fall 4: A gewinnt den ersten Run, es kommen zwei Asse, passiert in 2/44*1/43 = 1/946
      => 0 Outs und 2 Outs, 42 unbekannte Karten
      4a) A gewinnt den zweiten Run: 40/42*39/41 = 260/287
      => 260/271502
      4b) B gewinnt den zweiten Run: 2/42*41/41 + 40/42*2/41 = 27/287
      => 27/271502
      ~287/271502
      
      Fall 5: B gewinnt den ersten Run, es kommt genau ein K, passiert in 2/44*40/43 + 40/44*2/43 = 
      = 40/473
      => 2 Outs und 1 Out, 42 unbekannte Karten
      5a) A gewinnt den zweiten Run: 39/42*40/41 + 1/42*2/41 + 2/42*41/41 = 274/287
      => 10960/135751
      5b) B gewinnt den zweiten Run: 1/42*39/41 + 39/42*1/41 = 13/287
      => 520/135751
      ~11480/135751
      
      Fall 6: B gewinnt den ersten Run, es kommen 2 K, passiert in 2/44*1/43 = 1/946
      => 2 Outs und 0 Outs, 42 unbekannte Karten
      A gewinnt den zweiten Run zu 100%
      => 1/946
      
      => Scoop(B) = 5b = 520/135751
      
      Scoop(A) = 1a + 2a + 3a + 4a = 113024/135751
      
      Split = 1b + 2b + 3b + 4b + 5a + 6 = 22207/135751
      
      => Equity von B: 1/2*22207/135751 + 520/135751 = 81/946
      Equity von A: 1/2*22207/135751  + 113042/135751 = 865/946
      
      blieb gleich!

      code:
      Situation zwei: am Flop, kein Redraw, keine Splits möglich, Pot P
      
      6d7d gegen 8h8c auf 5d8s8d
      => 2 Outs 4d9d
      8 Karten bekannt => (52 – 8)=44 unbekannte Karten
      Chance bei einmal laufen lassen: 2/44 + 42/44*2/43 =  85/946
      Erwartungswert also 85*P/946
      Varianz: 85/946*(P-85/946*P)^2 + 861/946*(0-85/946*P)^2 = 63012285/846590536 + 6220725/846590536 = 69233010/846590536 =8,1779%
      
      Zweimal laufen lassen:
      Run1: 85/946 darauf, dass mind. 1Mal eines der Outs kommt
      beachten: in 2/44*1/43 = 1/946 Fällen kommen beide Outs!
      
      Run2:
      1)es kamen beide Outs (1/946) => 0%
      2)es kam genau ein Out (84/946)
      zwei weitere Karten bekannt => 1 Out, 42 Unbekannte
      
      Chance auf Draw: 1/42 + 41/42*1/41 = 1/42 + 1/42 = 1/21
      
      Chance auf Scoop: 84/946*1/21 = 2/473
      
      3)es kam kein Out an (861/946)
      zwei weitere Karten bekannt => 2 Outs, 42 Unbekannte
      
      Chance auf Draw: 2/42 + 40/42*2/41 = 27/287
      
      Chance darauf, leer auszugehen: 861/946*260/287 = 780/946
      
      => Chance auf ½ Pot: 1/946 + 84/946*20/21 + 861/946*27/287 = 162/946
      Chance auf gesamten Pot: 4/946
      Chance darauf, leer auszugehen: 780/946
      
      Test: 162+4+780 = 946, passt
      
      Erwartungswert: 1/2*P*162/946 + 4/946*P = 85/946*P
      blieb gleich

      code:
      Situation 1: am Turn, Pot P
      
      ThTc gegen AhKh auf TsJh6h3c
      => Outs: QsQcQdQh2h3h4h5h7h8h9h => 11 Outs
      Erwartungswert wäre bei einem Run 11/44*Pot
      Varianz wäre 1/4*(P-1/4*P)^2 + 3/4*(0-1/4*P)^2 = 1/4*9/16*P^2 + 3/4*1/16*P^2 = 3/16*P^2
      
      Zweimal Runnen:
      Erster Run:
      8 Karten bekannt => (52-8)=44 unbekannte Karten
      Chance, dass der Draw ankommt: 11/44 = 25%
      
      Zweiter Run:
      1)Draw kam beim ersten Run an (1/4=25%):
      9 Karten bekannt => 43 unbekannte Karten
      10 Outs
      Chance, dass der Draw ankommt: 10/43
      
      Chance auf Scoop: 10/172
      
      2)Draw kam beim ersten Run nicht an (¾ = 75%)
      9 Karten bekannt => 43 unbekannte Karten
      11 Outs
      Chance, dass der Draw ankommt: 11/43
      
      Chance darauf, leer auszugehen: 3/4*32/43 = 96/172
      
      Chance darauf, genau einen der Runs zu gewinnen:
      1/4*33/43 + 3/4*11/43 = 66/172
      
      Test: 66+96+10 = 172, passt
      Erwartungswert bei zwei Runs also: ½ *P* 66/172 + 1*P * 10/172 + 0*P*96/172 = 43/172 = ¼
      Blieb gleich.
      Varianz wäre 66/172*(1/2*P – 1/4*P)^2 + 10/172*(P – 1/4*P)^2 + 96/172*(0-1/4*P)^2 =
      33/1376*P^2 + 45/1376*P^2 + 48/1376*P^2 = 63/688*P^2
      Ist kleiner (um 33/344), als bei einem Run.
    • cjheigl
      cjheigl
      Moderator
      Moderator
      Dabei seit: 09.04.2006 Beiträge: 24.498
      Ich glaube nicht, dass mehrfaches Dealen etwas ändert. Ich denke, man kann es beweisen, in dem man die möglichen Permutationen der obersten 4 Karten des Restdecks betrachtet. Es sollen noch 2 Karten gedealt werden (Turn und River). Der Einfachheit nehmen wir zunächst an, dass es im Restdeck genau ein Out gibt und genau eine Karte, die unser Out counterfeitet (der "Redraw", der auch schon auf dem Turn fallen kann). Nennen wir das Out K, den Redraw A. Alle anderen Karten benennen wir mit Kleinbuchstaben.

      Für die ersten 4 Karten gibt es folgende Möglichkeiten:

      Permutation Anzahl Gewinne 1mal/2mal gedealt

      uxyz........................0/0
      ...je 24 Kombos ohne A und K durch Permutation
      run it twice ändert nichts bzw. man hat mit run it twice doppelt so viele Gewinne wie mit run it once (2*0 = 0)

      xyzA........................0/0
      xyzK........................0/1
      xyAz........................0/0
      xyKz........................0/1
      xAyz........................0/0
      xKyz........................1/1
      Ayxz........................0/0
      Kyxz........................1/1
      ...je 6 Kombos durch Permutation von xyz
      offensichtlich doppelt so viele Gewinne bei run it twice, passt also.

      xyAK........................0/0
      xyKA........................0/0
      xAyK........................0/1
      xAKy........................0/1
      xKyA........................1/1
      xKAy........................1/1
      AxyK........................0/1
      AxKy........................0/1
      AKxy........................0/0
      KxyA........................1/1
      KxAy........................1/1
      KAxy........................0/0
      ...je 2 Kombos durch Permutation von xy
      wieder doppelt so viele Gewinne bei run it twice, passt auch.

      Ersetzt man x durch K oder y durch A oder beide durch K und A stellt man fest, dass das Verhältnis von doppelt so vielen Gewinnen bei run it twice zu run it once erhalten bleibt. Das Prinzip wurde das schon bei AKxy im Vergleich zu Axyz bzw. Kxyz vorgeführt, wo das z ersetzt wurde. Wer will, kann es für alle Kombos nachvollziehen :)

      Als Ergebnis erhält man auch, dass es auf die Grösse des Reststapels nicht ankommt, so lange wenigstens 4 Karten drin sind. Man betrachtet ja immer nur die ersten 4 Karten.
    • The4thPhase
      The4thPhase
      Bronze
      Dabei seit: 09.02.2006 Beiträge: 1.732
      Ich habe das ganze auch mal auf einer A4 Seite für durchgerechnet (in dem Fall für AA vs 88 auf 334r aber das ganze kommt ja aufs Gleiche raus). Um es vorweg zu nehmen, EV(rio)=EV(rit).
      Dein (1) ist auf jeden Fall falsch. Abgesehen davon, dass du deine Combos doppelt zählst (xy=yx) müsste bei
      Khx und xKh, wobei x weder Kd noch A (80 Kombos)
      Kdx und xKd, wobei x weder Kh noch A (80 Kombos)
      jeweils "82 Kombos" in der Klammer stehen (1*(44-3)*2). Weiter habe ich noch nicht geguckt.
      Und wie gesagt, ich komme zu dem gleichen Ergebnis wie SoWe.
    • StickyF
      StickyF
      Bronze
      Dabei seit: 25.08.2006 Beiträge: 36
      Original von The4thPhase
      Ich habe das ganze auch mal auf einer A4 Seite für durchgerechnet (in dem Fall für AA vs 88 auf 334r aber das ganze kommt ja aufs Gleiche raus). Um es vorweg zu nehmen, EV(rio)=EV(rit).
      Dein (1) ist auf jeden Fall falsch. Abgesehen davon, dass du deine Combos doppelt zählst (xy=yx) müsste bei
      Khx und xKh, wobei x weder Kd noch A (80 Kombos)
      Kdx und xKd, wobei x weder Kh noch A (80 Kombos)
      jeweils "82 Kombos" in der Klammer stehen (1*(44-3)*2). Weiter habe ich noch nicht geguckt.
      Und wie gesagt, ich komme zu dem gleichen Ergebnis wie SoWe.
      Doppelt zählen muss ich die Kombos wenn ich von 45*44 möglichen boards ausgehe. Dann wird die Reihenfolge nämlich berücksichtigt. Alternativ kann man natürlich von 45*44/2 Boards ausgehen und nur einfach zählen. Nichtsdestotrotz stimmt die Sache mit den 82 Kombos natürlich. Hab beim korrigieren des letzten Fehlers (44 unbekannte Karten statt 45) nicht berücksichtigt, dass der sich auch auf die Kombos auswirkt.

      Der wesentliche Fehler bestand allerdings darin, dass ich bei der Berechnung der Wsk. den zweiten Deal zu gewinnen, wenn im ersten Deal AA kam 2 Kombos vergessen hatte. Ansonsten war die erste Rechnung, die ich gepostet hatte richtig, nur eben für ein 51 Karten Deck mit 4 Assen und 4 Königen.

      Ich komm jetzt jedenfalls auch zu dem Ergebnis, dass die EVs exakt gleich sind. Besten Dank an alle Helfer :)