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StrategiePoker-Basics

Wahrscheinlichkeiten im Texas Hold'em

Einleitung

Die Kenntnis der grundlegenden Wahrscheinlichkeiten helfen dir, dein Poker fundamental zu verbessern, und zwar in allen Spielarten. Aus diesem Grund werden dir in diesem Artikel wichtige und interessante Wahrscheinlichkeiten vorgestellt. 

Wahrscheinlichkeit im Poker

Unter Wahrscheinlichkeit versteht man den Grad der Gewissheit von möglichen Ereignissen. Nach einer klassischen Definition ist Wahrscheinlichkeit das Verhältnis der günstigen Ereignisse zur Gesamtzahl der Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Kopf zu erhalten, ist also 1 aus 2 oder 50%.

Für Pokerspieler ist dabei die Stochastik der interessanteste Teil der Wahrscheinlichkeitslehre. Sie befasst sich mit Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten. Zu ihr gehören unter anderem die Kombinatorik (Kartenkombinationen), die Statistik (Samplesize) und weitere Teilgebiete.

Wahrscheinlichkeiten sind immer Zahlen zwischen 0 und 1 und werden meistens in Prozent ausgedrückt. Alternativ gibt es die Odds Schreibweise, die angibt, in wievielen Fällen das eine im Verhältnis zum anderen Ereignis eintritt (1:2).

In den folgenden Abschnitten bekommst du einen Überblick über viele nützliche Wahrscheinlichkeiten, die dir bei deinem alltäglichen Spiel sehr behilflich sein werden. Auf Seite 2 findet ihr die Rechenwege, die zu diesen Ergebnissen führen.

Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Starthand

Das folgende Chart gibt dir genauere Informationen darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit du eine bestimmte Starthand erhältst. Diese Werte können schon sehr hilfreich sein, um die Stärke deiner Starthand einzuschätzen.

 Starthände
WK in % Odds
Bestimmtes Pocketpair (z.B. AA, KK...) 0,453 219,75:1
Pocketpair QQ+ 1,36 72,53:1
Pocketpair JJ+ 1,81 54,25:1
Pocketpair TT+ 2,24 43,24:1
irgendein Pocketpair 5,88 16:1
Bestimmtes Nonpair (z.b. AKo, AKs…) 1,21 82,64:1
Bestimmte suited Cards (z.B. AKs, AQs…) 0,302 330,12:1
Suited Cards 23,53 3,25:1
Suited Connectors 3,92 24,5:1
Suited Cards T or better 3,02 32,11:1
Connected Cards 15,7 5,37:1
Connected Cards T or better 4,83 19,7:1
Any two Q+ (z.B. AQ, KQ...) 4,98 19,08:1
Any Two J+ (z.B. AQ, AJ, KJ...) 9,05 10,04:1
Any Two T+ (z.B. AT, AQ, KT...) 14,3 5,99:1

Wahrscheinlichkeit eines höheren Paars, wenn du ein Paar hältst

Anhand der beiden nun folgenden Charts kannst du ablesen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass du mit deiner Starthand hinten liegst, obwohl du ein Paar hältst. Die erste Tabelle gibt die prozentuale Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau ein einziges höheres Paar bei einem deiner Gegner gibt.

 Deine Starthand
Wahrscheinlichkeit eines höheren Paars (in %) gegen
  1 Spieler 2 Spieler 3 Spieler 4 Spieler 5 Spieler 6 Spieler 7 Spieler 8 Spieler 9 Spieler
KK 0,49 0,98 1,47 1,96 2,44 2,93 3,42 3,91 4,39
QQ 0,98 1,95 2,92 3,88 4,84 5,79 6,73 7,66 8,59
JJ 1,47 2,92 4,36 5,77 7,17 8,56 9,92 11,27 12,59
TT 1,96 3,89 5,78 7,64 9,46 11,24 12,99 14,7 16,37
99 2,45 4,84 7,18 9,46 11,68 13,84 15,93 17,95 19,9
88 2,94 5,8 8,57 11,25 13,84 16,34 18,73 21,01 23,18
77 3,43 6,74 9,94 13,01 15,95 18,74 21,38 23,87 26,19
66 3,92 7,69 11,3 14,73 17,99 21,04 23,89 26,51 28,9
55 4,41 8,62 12,63 16,42 19,96 23,24 26,23 28,92 31,29
44 4,9 9,56 13,95 18,06 21,86 25,32 28,41 31,09 33,34
33 5,39 10,48 15,26 19,67 23,7 27,29 30,4 33 35,03
22 
5,88
11,41 16,54 21,24 25,46 29,14 32,22 34,64 36,33

Wahrscheinlichkeit mehrerer höherer Paare, wenn du ein Paar hältst

Anhand dieser Werte ist kalkulierbar, wie wahrscheinlich es ist, dass du mit deinem Paar vor dem Flop sogar gegen mehrere Gegner im Hintertreffen bist.

Deine Starthand
Wahrscheinlichkeit mehrerer höherer Paare (in %) gegen
  2 Spieler 3 Spieler 4 Spieler 5 Spieler 6 Spieler 7 Spieler 8 Spieler 9 Spieler
KK <0,001 0,001 0,003 0,004 0,007 0,009 0,012 0,016
QQ 0,006 0,018 0,037 0,061 0,091 0,128 0,171 0,22
JJ 0,017 0,051 0,102 0,171 0,257 0,36 0,482 0,621
TT 0,033 0,099 0,2 0,335 0,504 0,709 0,95 1,226
99 0,054 0,164 0,33 0,553 0,836 1,177 1,58 2,045
88 0,081 0,244 0,493 0,828 1,253 1,769 2,378 3,084
77 0,112 0,341 0,689 1,16 1,758 2,487 3,351 4,353
66 0,149 0,454 0,918 1,55 2,353 3,335 4,503 5,861
55 0,191 0,583 1,182 1,998 3,04 4,318 5,84 7,619
44 0,239 0,728 1,48 2,506 3,821 5,438 7,371 9,635
33 0,291 0,89 1,812 3,075 4,698 6,699 9,099 11,919
22 0,349 1,068 2,18 3,706 5,673 8,107 11,034 14,484

Wahrscheinlichkeit eines höheren A, wenn du ein A hältst

Das nächste Chart geht davon aus, dass du selber ein A hältst. Wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass dein Gegner ebenfalls ein A hält, aber über einen besseren Kicker verfügt, kannst du den Werten entnehmen.

Deine Starthand
Wahrscheinlichkeit eines höheren A (in %) gegen
  1 Spieler 2 Spieler 3 Spieler 4 Spieler 5 Spieler 6 Spieler 7 Spieler 8 Spieler 9 Spieler
AK 0,245 0,489 0,733 0,976 1,219 1,46 1,702 1,942 2,183
AQ 1,224
2,434
3,629 4,809 5,974 7,126 8,263 9,386 10,496
AJ 2,204 4,36 6,468 8,529 10,545 12,517 14,445 16,331 18,175
AT 3,184 6,266 9,25 12,139 14,937 17,645 20,267 22,805 25,263
A9 4,163 8,153 11,977 15,642 19,154 22,52 25,745 28,837 31,799
A8 5,143 10,021 14,649 19,038 23,202 27,152 30,898 34,452 37,823
A7 6,122 11,87 17,266 22,331 27,086 31,55 35,741 39,675 43,369
A6 7,102 13,7 19,829 25,523 30,812 35,726 40,291 44,531 48,471
A5 8,082 15,51 22,338 28,615 34,384 39,687 44,561 49,041 53,16
A4 9,061 17,301 24,795 31,609 37,806 43,442 48,567 53,227 57,465
A3 10,041 19,073 27,199 34,509
41,085 47 52,322 57,109 61,416
A2 11,02 20,826 29,552 37,315 44,223 50,37 55,84 60,706 65,037

Wahrscheinlichkeit, dass keine Overcard kommt

Du hältst preflop ein Paar und willst wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass im Flop eine Overcard aufgedeckt wird und deine Hand damit angreifbarer wird? Dann ist das folgende Chart für dich sehr aufschlussgebend.

Deine Starthand
Keine Overcard Flop Keine Overcard Turn Keine Overcard River
  WK in % Odds WK in % Odds WK in % Odds
KK 77,45 0,29:1 70,86 0,41:1 64,7 0,55:1
QQ 58,57 0,71:1 48,6 1,06:1 40,15 1,49:1
JJ 43,04 1,32:1 32,05 2,12:1 23,69 3,22:1
TT 30,53 2,28:1 20,14 3,97:1 13,13 6,61:1
99 20,71 3,83:1 11,9 7,40:1 6,73 13,87:1
88 13,27 6,54:1 6,49 14,40:1 3,1 31,26:1
77 7,86 11,73:1 3,18 30,44:1 1,24 79,64:1
66 4,16 23,04:1 1,33 74,18:1 0,4 249:1
55 1,86 52,76:1 0,43 231,56:1 0,09 1110,12:1
44 0,61 162,93:1 0,09 1110,12:1 0,01 9999:1
33 0,1 999,00:1 0,01 15352,33:1
<0,01 353125,67:1

Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Hand (5 aus 52)

Anhand der folgenden Werte kannst du ablesen, mit welcher Wahrscheinlichkeit du eine bestimmte Hand erhältst. Während ein Paar noch ein relativ häufiges Vergnügen ist, wird dir ein Straight oder gar Royal Flush wohl eher selten über den Weg laufen. 5 aus 52 heißt, dass du deine Hand aus 5 Karten bildest.

Hand Anzahl an Möglichkeiten Wahrscheinlichkeit in % Odds
Royal Flush 4 0,0001539077 649737:1
Straight Flush 36 0,0013851695 72193,5:1
Vierling 624 0,0240096038 4163,99:1
Full House 3744 0,144057623 693,17:1
Flush 5108 0,1965401545 507,8:1
Straight 10200 0,3924646782 253,8:1
Drilling 54912 2,1128451381 46,3:1
Zwei Paare 123552 4,7539015606 20:1
Ein Paar 1098240 42,2569027611 1,366:1
Highcard 1202540 50,1177394035 0,995:1

Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Hand (7 aus 52)

Anhand der folgenden Werte kannst du ablesen, mit welcher Wahrscheinlichkeit du eine bestimmte Hand erhältst. Während ein Paar noch ein relativ häufiges Vergnügen ist, wird dir ein Straight oder gar Royal Flush wohl eher selten über den Weg laufen.

7 aus 52 bedeutet, dass du deine Hand zwar auch noch aus 5 Karten bildest, du aber 7 Karten zur Auswahl hast. Im Fall von Texas Hold'em also deine zwei HoleCards und das Board. Es ist der eigentlich korrekte Weg, die Wahrscheinlichkeiten im Holdem zu berechnen. Allerdings ist die Annäherung 5 aus 52 absolut praxistauglich und sehr viel leichter zu berechnen.

Hand Anzahl an Möglichkeiten Wahrscheinlichkeit in % Odds
Royal Flush 4324 0,003232062 30939:1
Straight Flush 37260 0,027850748 3589,57:1
Vierling 224848 0,168067227 594:1
Full House 3473184 2,596102271 37,52:1
Flush 4047644 3,025494123 32,05:1
Straight 6180020 4,619382087 20,65:1
Drilling 6461620 4,829869755 19,7:1
Zwei Paare 31433400 23,49553641 3,26:1
Ein Paar 58627800 43,82254574 1,28:1
Highcard 23294460 17,41191958 4,74:1

Verbesserung der Starthand am Flop

Wenn du preflop eine mehr oder weniger vielversprechende Hand hältst, hilft dir das folgende Chart weiter. Hierin ist aufgelistet wie die Chancen auf eine Aufwertung der Hand am Flop stehen.

Starthand Gefloppte Hand Wahrscheinlichkeit in % Odds
Pocketpair Drilling oder besser 12,7 6,9:1
Pocketpair Drilling 11,8 7,5:1
Pocketpair Full House 0,73 136:1
Pocketpair Vierling 0,24 415,67:1
2 ungepaarte Karten ein Paar 32,4 2,1:1
2 ungepaarte Karten zwei Paar 2 48,5:1
Suited Cards Flush 0,842 118:1
Suited Cards Flushdraw 10,9 8,17:1
Suited Cards Backdoor Flush 41,6 1,4:1
Connectors 45o-JTo OESD 9,6 9,42:1
Connectors 45s-JTs Straight- oder Flushdraw
19,1 4,21:1
Connectors 45o-JTo Straight 1,31 75:1

Verbesserung deiner Hand am Turn

Nach dem Flop folgt bekanntlich der Turn und auch hier gibt es einen Chart der dir anzeigt, wie wahrscheinlich eine Verbesserung deiner Hand ist.

Deine Hand Geturnte Hand Wahrscheinlichkeit in % Odds
Flushdraw Flush 19,1 4,24:1
OESD Straight 17 4,9:1
Gutshot Straight Draw Straight 8,5 10,76:1
Drilling Vierling 2,1 46,61:1
zwei Paar Full House 8,5 10,76:1
ein Paar Drilling 4,3 22,26:1
zwei ungepaarte Karten Paar mit Pocketcard 12,8 6,8:1

Verbesserung deiner Hand am River

Wenn du mit der letzten Karte noch eine Aufbesserung deiner Hand benötigst, zeigt dir der folgende Chart die Wahrscheinlichkeiten hierfür an.>

Deine Hand Geriverte Hand Wahrscheinlichkeit in % Odds
Flushdraw Flush 19,6 4,1:1
OESD Straight 17,4 4,74:1
Gutshot Straight Draw Straight 8,7 10,5:1
Drilling Vierling 2,2 45,46:1
zwei Paar Full House 8,7 10,5:1
ein Paar Drilling 4,3 22,26:1
zwei ungepaarte Karten Paar mit Pocketcard 13 6,7:1

 

Verbesserung deiner Hand vom Flop zum River

Der Chart zeigt dir an, wie deine Chancen zur Verbesserung deiner Hand nach dem Flop und bis zum River zusammengefasst stehen. Turn und River werden hier als sozusagen zusammengefasst. Dies kann dir für das Berechnen des gesamten Postflopspiels sehr hilfreich sein.

Deine Hand Hand am River Wahrscheinlichkeit in % Odds
Flushdraw Flush 35 1,86:1
Backdoor Flushdraw Flush 4,2 22,8:1
OESD Straight 32 2,13:1
Gutshot Straight Draw Straight 17 4,88:1
Drilling Vierling 4,3 22,26:1
zwei Paar Full House 17 4,88:1
ein Paar Vierling 0,09 1100:1
ein Paar Drilling 8,4 10,9:1

Wahrscheinlichkeit auf ein bestimmtes Board am Flop

Dieser Chart kann preflop für dich wichtig sein. Du siehst hier, wie wahrscheinlich bestimmte Boards am Flop sind. Während du häufiger z.B. mit einem Paar auf dem Board zu tun haben wirst, ist ein Drilling im Normalfall eher die Ausnahme. Du kannst durch diese Werte besser einschätzen, was deine Hand preflop wirklich wert ist.

Der Flop zeigt Wahrscheinlichkeit in % Odds
Drilling 0,24 415,67:1
ein Paar 16,9 4,91:1
3 suited Cards 5,17 18,34:1
2 suited Cards 55 0,82:1
keine suited Cards 39,8 1,5:1
3 Straight Cards 3,45 27,99:1
2 Straight Cards 40 1,5:1
keine Straight Cards 55,6 0,799:1

Rechenwege der Wahrscheinlichkeiten


1. Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Starthand

a) Vorüberlegungen

Anzahl Starthände: 169
Davon:
- Pocket Pairs: 13
- Suited Hands: 78
- Offsuited Hands: 78 (ohne Pockets)

Anzahl aller möglichen Kombinationen:
formule1

b) Pocketpairs

Anzahl: 13

Suit-Kombinationen je Hand:
formel
(Bsp.: 22, 22, 22, 22, 22, 22)

Kombinationen (gesamt): 13 x 6 = 78

Wahrscheinlichkeiten
Bestimmte Hand:
formel3
- In Odds: 220:1

Beliebige Hand:
formel4
- In Odds: 16:1

c) Suited Hands

Anzahl: 78

Suit-Kombinationen je Hand:
formel5
(Bsp.: AK; AK; AK; AK)

Kombinationen (gesamt): 78 x 4 = 312

Wahrscheinlichkeiten
Bestimmte Hand:
formel6
- In Odds: 331:1

Beliebige Hand:
formel7
- In Odds: 3,25:1

d) Offsuited Hands

Anzahl: 78 (ohne Pocketpairs)

Suit-Kombinationen je Hand:
formel8
(Bsp.: AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK)

Komibnationen (gesamt): 78 x 12 = 936

Wahrscheinlichkeiten
Bestimmte Hand:
formel9
- In Odds: 110:1

Beliebige Hand:
formel10
- In Odds: 0,417:1

e) Ranges

Für bestimmte Ranges ändert sich im Grunde genommen nichts. Du teilst einfach die Anzahl der jeweiligen Kombinationsmöglichkeiten durch die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten.

Beispiel 1:

Range: AKs, KQs, QJs, JTs
Anzahl Kombinationen: 16 (jeweils 4/Hand)
(Bsp.: AK; AK; AK; AK; KQ; KQ; KQ; KQ; QJ; QJ; QJ; QJ; JT; JT; JT; JT)

Wahrscheinlichkeit:
formel11
In Odds: 81,9:1

Beispiel 2:

Range: AA, KK, QQ
Anzahl Kombinationen: 18 (jeweils 6/Hand)

Wahrscheinlichkeit:
formel12
In Odds: 72,7:1

2. Wahrscheinlichkeit eines höheren Paares, wenn du ein Paar hältst

a) Ein höheres Pocket Pair bei einem Gegner

formel13

r = Rang des eigenen Pocket Pairs (2=2,... ,J=11, Q=12, K=13, A=14)

Es gibt (14 – r) x 4 Karten eines höheren Rangs, 50 Karten kann dein Gegner noch bekommen (2 hast du bereits). Hat er die erste Karte erhalten, bleiben von 49 Karten noch 3 Karten übrig, die ihm ein höheres Pocket Pair geben können.

b) Ein höheres Pocket Pair bei mehreren Gegnern

Zunächst multiplizierst du die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler ein höheres Paar hält, mit der Anzahl der noch verbliebenen Spielern (n). Dann subtrahierst du davon die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als nur ein Gegner ein höheres Paar hält (formel14).

formel15
n = Anzahl der Spieler, welche sich noch in der Hand befinden
formel 14 Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Gegner noch ein Pocket Pair halten, wobei

formel17
formel18 Wahrscheinlichkeit, dass genau n Spieler ein höheres Paar halten, wobei formel19 .

3. Wahrscheinlichkeit mehrerer höhere Paare, wenn du ein Paar hältst

Berechnet sich im Grunde wie oben jedoch gilt: formel20, wobei formel21

4. Wahrscheinlichkeit eines höheren A, wenn du ein A hältst

a) Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Gegner AA hält, wenn du bereits ein A hältst

formel22
Es verbleiben bei 50 Karten (2 haben wir, davon 1 Ass) noch 3 Asse im Deck. Nachdem der Gegner ein Ass erhalten hat, bleiben bei 49 Karten noch 2 Asse, die ihm das Paar geben können.

b) Wahrscheinlichkeit, dass ein Gegner AA hält, wenn du bereits ein A hältst

  formel23
n = Anzahl der Gegner.

c) Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Gegner ein besseres A hält, wenn du bereits ein A hältst

  formel24
wobei r den Rang deiner zweiten Karte (Kicker) darstellt (2=2,..., J=11, Q=12, K=13)

5. Wahrscheinlichkeit, dass keine Overcard kommt, wenn du ein Pocketpair hältst

a) Vorüberlegungen

Mögliche Flops, bei beliebiger Starthand:
formel25

Mögliche Turns, bei beliebiger Starthand:
formel26
Mögliche River, bei beliebiger Starthand:
formel27

b) Keine höhere Karte am Flop

formel28
, wobei r den Rang des eigenen Pocket Pairs darstellt (2=2,..., J=11, Q=12, K=13)

c) Keine höhere Karte bis zum Turn

formel29
, wobei r den Rang des eigenen Pocket Pairs darstellt (2=2,..., J=11, Q=12, K=13)

d) Keine höhere Karte bis zum River

formel30
, wobei r den Rang des eigenen Pocket Pairs darstellt (2=2,..., J=11, Q=12, K=13)

6. Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Hand

Die Wahrscheinlichkeit bestimmt sich aus der Anzahl der Möglichen Kombinationen für eine Hand, dividiert durch die Anzahl aller möglichen Kombinationen:
formel31

Royal Flush: Möglichkeiten:
formel32
Wahrscheinlichkeit:
formel33

Straight Flush: Möglichkeiten:
formel34
Wahrscheinlichkeit:
formel35

Vierling: Möglichkeiten:
formel36
Wahrscheinlichkeit:
formel37

Full House: Möglichkeiten:
formel38
Wahrscheinlichkeit:
formel39

Flush: Möglichkeiten:
formel40
Wahrscheinlichkeit:
formel41

Straight: Möglichkeiten:
formel42
Wahrscheinlichkeit:
formel43

Drilling: Möglichkeiten:
formel44
Wahrscheinlichkeit:
formel45

Zwei Paare: Möglichkeiten:
formel46
Wahrscheinlichkeit:
formel47

Ein Paar: Möglichkeiten:
formel48
Wahrscheinlichkeit:
formel49

High Card: Möglichkeiten:
formel50
Wahrscheinlichkeit:
formel51

7. Verbesserung der Starthand am Flop

formel52
x steht hier für die Anzahl der Outs, die deine Hand Preflop hat, y beschreibt, wie viele dieser Outs du treffen willst. a beschreibt die verbleibenden Karten, also die 50, abzüglich der Outs. b beschreibt dann, wie viele Karten du aus dieser Menge treffen willst.
Willst du keine Karten aus dieser Menge treffen, entfällt
formel53
formel54
steht dabei für die möglichen Flopkombinationen (19600).

Beispiel 3:

Pocket Pair soll am Flop genau einen Drilling ergeben:
formel55

Beispiel 4:

2 Suited Cards sollen am Flop einen Flush treffen:
formel56

8. Verbesserung der Hand am Turn

Simples Berechnen nach Odds und Outs.

Es ergibt sich für den Turn:
formel57
Beachte: Möchtest du hier berechnen, dass das Ereignis nicht eintrifft, muss du das Ergebnis noch von 1 subtrahieren.

9. Verbesserung der Hand am River

Simples Berechnen nach Odds und Outs.

Es ergibt sich für den River:
formel58

10. Verbesserung deiner Hand vom Flop zum River

Auch hier bleibt es beim Berechnen nach den Odds und Outs:
formel59
Für (abhängige) Runner Runner Outs ergibt sich die Formel:
formel60
wobei Outs hier für die Runner-Runner Outs stehen. Bei einem Backdoor Flush Draw wären es also 10 Outs, die dir zum Flushdraw verhelfen und dann noch mal 9 Outs, die den Flush ergeben.

Beachte: Nicht anwendbar auf Straight- bzw. Straight Flush Draws, da hier die Karten voneinander unabhängig sind.

Hier gilt die Formel:
formel61
wobei x die Outs für die erste Karte darstellt und y die Anzahl an Outs für die 2. Karte

11. Wahrscheinlichkeit auf einen bestimmten Flop

Diese Rechnung berücksichtigt nicht, dass du und deine Gegner bereits Karten erhalten haben, sondern stellt die Wahrscheinlichkeit auf einen bestimmten Flop dar, wenn das Deck noch aus 52 Karten besteht.

Variante 1: Eine Möglichkeit zur Berechnung ergibt sich mit Hilfe der Binomialkoeffizienten.

Für die Anzahl aller möglichen Kombinationen von 3 aus 52 ergibt sich
formel62
Dann stellst du alle möglichen Kombinationen für einen bestimmten Flop auf und dividierst diesen durch die Anzahl aller möglichen Flopkombinationen:
formel63
Zur genaueren Darstellung, hier ein paar Beispiele:

a) Wahrscheinlichkeit für einen Drilling im Flop
formel64
b) Wahrscheinlichkeit für 3 Straight Karten im Flop (ohne solche, die zu einem Straight Flush gehören)
formel65

Da 48 der möglichen Kombinationen zeitgleich auch einen Straight Flush darstellen, du aber nur einen normalen Straight berechnen willst, muss du diese hier noch abziehen.

Variante 2:
Eine andere Möglichkeit ist es, mit den Wahrscheinlichkeiten zu arbeiten. Hier musst du nur schauen, dass du die richtigen Wahrscheinlichkeiten bekommst. Die erste Karte ist i.d.R. egal und wird deshalb der Übersicht halber als formel66 beschrieben. Du kannst den Bruch aber auch weglassen. Danach schaust du dir die Ereignisse an, die eintreten bzw. nicht eintreten sollen und multiplizierst das Ganze miteinander.

Zur genaueren Darstellung hier ein paar Beispiele:

c) Für die Wahrscheinlichkeit eines Flops in nur einem Suit ergibt sich z.B.:
  formel67
Die formel68 gibt dabei nur an, dass es egal ist, welche Karte zu erst fällt, kann also auch weggelassen werden. formel69 und formel70 beschreiben dann die Wahrscheinlichkeit, dass die 2. und 3. Karte zum gleichen Suit gehören, wie die erste.
d) Ein paired Flop würde sich folgendermaßen berechnen:
formel71

Auch hier kann man die erste Karte ignorieren. Nachdem sie jedoch gefallen ist, verbleiben noch 3 von 51 Karten, die dir ein Paar geben. Danach darf keine passende Karte mehr fallen, also muss eine der übrigen 48 unpassenden Karten Fallen. Das Ganze wird mit 3 multipliziert, da die Nicht-Paar Karte bei jeder der drei Karten fallen kann.

e) Keine suited Karten im Flop
formel72

Hier multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten, dass keine zweite Karte eines Suits kommt miteinander.

Anhang

Umrechnung Wahrscheinlichkeiten in Odds:

Bisher hast du dich noch nicht darum gekümmert, wie du die Wahrscheinlichkeiten in Odds umrechnest. Dazu bedienst du dich folgender Formel:

formel73

P stellt dabei die Wahrscheinlichkeit dar. Das „:“ steht in diesem Fall für „zu“ bzw. „to“ und stellt kein „Geteiltzeichen“ dar. Anstatt formel74 kannst du hier auch formel75 schreiben.

 

Kommentare (68)

#1 Schwabba, 04.08.09 21:13

First!<br /> <br /> Sehr schöner Artikel.

#2 HamburgmeinePerle, 04.08.09 23:47

jo, also mir macht sowas eigentlich Spaß, aber das ist mir grade alles zu viel^^<br /> <br /> Auf Seite 2 ganz oben hat sich ein Fehler eingeschlichen, unter "a) Vorüberlegungen" fehlt bei der Anzahl der möglichen Kombinationen die Fakultät hinter dem n im Zähler.<br /> <br /> Und bei 2. b) und 3. schreibt man doch 2 <= n <= 9 und nicht n >= 2 <=9<br /> weil das würde ja heißen, dass n eine beliebige Zahl größer als 2 ist und 2 ist kleiner als 9, was ja bekannt sein sollte, aber die obere Grenze für n ist da streng genommen nicht angegeben.<br /> <br /> <br /> Ansonsten echt schöner Artikel, hast dir obv viel Mühe gemacht, leider bringen einem die Wahrscheinlichkeiten für die Praxis größtenteils nichts und die, die was bringen, kennt man schon, trotzdem ists interessant :)

#3 Indy1701e, 05.08.09 11:01

Hallo HamburgmeinePerle,<br /> <br /> du hast Recht, oben fehlt die Fakultät bei dem Zähler. <br /> <br /> Für die Punkte 2. b) und 3. hab ich jetzt extra meine alten Mathehefte ausgekramt, um zu sehen, wie man das richtig schreibt. Scheint aber so, als sei deine Schreibweise die Richtige. Ich werde das schnellstmöglich ändern lassen. Bin eben Jurist und kein Mathematiker ;). <br /> <br /> Ansonsten ist der Artikel in der Praxis sicherlich nicht anwendbar, aber immerhin habt ihr ein paar Tabellen, mit denen ihr arbeiten könnt. der Rest ist nur nice to know. <br /> <br /> Sollten euch noch Fehler auffallen, schreibt die bitte in die Comments.<br /> <br /> Viele Grüße,<br /> Indy

#4 Huckebein, 05.08.09 12:40

@2+3: Habe die Formeln jetzt angepasst, danke für eure Hinweise!

#5 Egozocker, 07.08.09 04:33

Bei den Wahrscheinlichkeiten, seine Starthand durch den Flop zu verbessern fehlt m.E.:<br /> connectors zu OESD<br /> sc zu OESD oder flushdraw<br /> <br /> ansonsten nette Spielerei

#6 Zinsch, 07.08.09 04:48

Also ich bin ja nur bis zur allerersten Tabelle gekommen, aber gleich da hat sich ein Fehler eingeschlichen:<br /> <br /> Bestimmtes Nonpair (z.b. AKo, AKs…) 0,121 81,9:1<br /> <br /> Das Komma ist um eine Stelle verrutscht.

#7 chrsbckr75, 07.08.09 05:56

müssen die Wahrscheinlichkeiten der PP FlopVerbesserung bei Drilling und Drillingundbesser nicht vertauischt werden?

#8 Danotheone, 07.08.09 06:11

Richtig guter Artikel!

#9 Goalhammer, 07.08.09 06:33

Die Wahrscheinlich dafür, dass ein A kommt, wenn man KK hält, ist doch in der Realität viel höher, oder? Es kommt doch eigentlich sogut wie immer ein A im Flop, wenn man KK oder QQ hält.... ;)<br /> Aber sonst sehr guter Artikel

#10 matzi25, 07.08.09 07:09

@7: JA

#11 millencolin66, 07.08.09 07:48

Ansich ist die Theorie zu den unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten ja interessant, aber nur wenige von den gezeigten W. sind in der Praxis anwendbar. Als Hintergrundwissen sicherlich sinnvoll, aber mir fehlt einfach oft der Praxisbezug.

#12 ny152, 07.08.09 08:11

Klasse bei Wikipedia kopiert, ein einfacher Link zum Artikel hätte glaube ich auch gereicht.....

#13 Bloodcyclon, 07.08.09 08:12

Sehr schöner Artikel! Sehr hilfreich, wie ich finde! Jetzt muss ich mir nicht mehr die gesagten Wahrscheinlichkeiten aus den Videos rausschreiben ;)<br /> <br /> Gruß Bloody

#14 Toerke79, 07.08.09 08:23

"Wahrscheinlichkeit eines höheren A, wenn du ein A hältst" <br /> AK.....<br /> Steh ich jetzt gerade tierisch auf dem Schlauch, oder warum fällt mir da kein höherer Kicker ein?^^<br /> Beim zweiten A würden wir doch nicht mehr vom Kicker sprechen, oder?

#15 Indy1701e, 07.08.09 08:27

#5 Connectors -> OESD: 9,42:1<br /> SC -> Straightdraw oder Flushdraw: 4,23:1<br /> Ich gebe mal bescheid, die Werte noch hinzuzufügen.<br /> <br /> #6: Da ist in der Tat ein Komma verrutscht, kann es leider nicht selbst fixen, leite es aber weiter.<br /> <br /> #7: Ja, müssen vertauscht werden, auch hier leite ich es mal weiter.<br /> <br /> #9: In der Realität (=rigged Pokerseiten) hast du natürlich recht ;). Bei unseren Partnerräumen geht aber alles mit rechten Dingen zu!

#16 Indy1701e, 07.08.09 08:28

#14 Doch, dass andere A ist der höhere Kicker ;)

#17 Rolo23, 07.08.09 08:32

bei "wahrscheinlichkeit einer bestimmten hand" stimmen die odds nicht

#18 Settra, 07.08.09 08:44

@17<br /> die ganze Tabelle is versaut, zumindest vor Texas Holdem. Evtl. entspricht das ja den Gefühlen Wahrscheinlichkeiten.

#19 Toerke79, 07.08.09 09:15

@16: Alles klar, wenn ich demnächst beim homegame im shwodown sage ich hab ein Ass, der Gegner nach den Chips greift, ich das zweite aufdecke und ich dann sage neenee, mein Freund mit Ass-Kicker, dann verweise ich auf euch ;)

#20 partylion, 07.08.09 09:47

Pocketpair Drilling oder besser 10,5 8,5:1<br /> Pocketpair Drilling 11,8 7,5:1<br /> <br /> stimmt wie schon oben gesagt nicht, da wenn man in X,XX% der Fälle ein Set hat muss man ja in mehr als X,XX% der Fälle Set oder besser haben. <br /> Also Set = 10,5% und Set+=11,8%<br /> <br /> Ansonsten guter Artikel aber zu wenig praxisbezug. Und viel davon wurde ja mal einfach von hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeiten_bei_Texas_Hold%E2%80%99em übernommen.

#21 Huckebein, 07.08.09 09:47

@15: Die weiteren Werte sind berichtigt und eingefügt.<br /> <br /> @12: Der Artikel ist selbstverständlich nicht bei Wikipedia kopiert, unser Artikel ist umfangreicher. Natürlich gibt es auf auf mathematische Zahlenverhältnisse und Wahrscheinlichkeiten kein copyright, da sie universal gültig sind.<br /> <br /> Wenn wir einzigartige Wahrscheinlichkeiten und "innovativere" Zahlen als andere Quellen im Netz anbieten würden, wäre das sicher nicht in eurem Interesse. :P

#22 Phoe, 07.08.09 10:08

@#20<br /> bei den odds für das set werden doch quads und FH's rausgenommen, die warscheinlichkeit ein set, FH oder Quads zutreffen ist also höher als die ausschließlich ein set zu hitten.

#23 Gamma85, 07.08.09 10:10

1. WTF wer spielt denn noch Fullring<br /> 2. wo ist hier die Eigenleistung?<br /> 3. der Artikel is voll mit Fehlern...<br /> <br /> Ihr könnt froh sein, dass ich nicht Nani bin, sonst würde ich hier meinen Unmut über die stark sinkende Qualität von ps.de auch mal rauslassen...

#24 rainseeker, 07.08.09 10:39

Ich würde mir den Artikel als PDF zum Ausdrucken wünschen.

#25 cal, 07.08.09 10:39

Ganz toller Artikel! Echt interessant!

#26 cal, 07.08.09 10:46

Ist das möglich? Eine Wahrscheinlichkeit von 55% für ein 2-suited board?

#27 driemekasten, 07.08.09 10:48

Anfangs fand ich es schön, mal solch einen umfassenden Artikel zu lesen. Wenn ich aber sehe, wie viele Fehler schon gefunden wurden, habe ich leider schon kein Vertrauen mehr in den Artikel.<br /> Behauptungen, der Artikel wäre nur aus Wikipedia abgeschrieben, finde ich aber etwas daneben. Der Wikipedia-Beitrag ist wesentlich kürzer.<br /> <br /> @24: Klick auf das Druckersymbol über dem Artikel und drucke dir das auf einem PDF-Drucker aus, dann hast du ein PDF. ;)

#28 BoneCS, 07.08.09 10:53

@24<br /> markieren -> Str+C -> word -> strg+v -> markieren -> shiftt+f9

#29 Coolhawk, 07.08.09 12:34

Auch wenn noch nicht komplett gelesen, aber netter Artikel, i like.

#30 Huckebein, 07.08.09 13:04

@23, 26: Bei so vielen Zahlen können leicht Zahlendreher oder Kommafehler passieren. Wenn ihr etwas findet, sagt uns doch, in welcher Tabelle und in welchem Beispiel etwas nicht richtig ist. Dann können wir das überprüfen und berichtigen.

#31 Maddi, 07.08.09 13:08

hi wikipedia

#32 Speckftw, 07.08.09 13:17

Hätte ich für die Facharbeit gebraucht. ^^

#33 mrk1988, 07.08.09 14:44

An alle flamer/hater und Wikipedia schreier... <br /> <br /> ihr seid aber auch mit gar nichts zufrieden was hier auf ps.com gemacht und geleistet wird oder? <br /> <br /> Natürlich findet sich auf Wikipedia ein ähnlicher Artikel mit logischerweiße gleichen Ergebnissen... Mathematik eben. <br /> <br /> Ich fand den Artikel nett, kann zwar nicht viel damit anfangen, aber das heißt noch lange nicht, dass man auch hier die Arbeit die dahinter steckt, nicht würdigen sollte.

#34 JoergBS, 07.08.09 14:49

Statt Karten seh ich nur noch Zahlen....<br /> aber sehr schöne Formelsammlung und für nicht so geübte Mathematiker wie mich auch prima Charts. Da kann ich mein Gefühl ( ->5 min Eier! )<br /> auch mal überprüfen<br /> Danke dafür :))

#35 patterson, 07.08.09 20:19

Hammer Artikel, die tabellen find ich mega interessant :)

#36 Doneit, 07.08.09 22:24

Verbesserung der Starthand am Flop; Connectors 45o-JTo muss wohl 45s-JTs heißen bei "Gefloppte Hand" OESD oder Flushdraw.

#37 Moenogle, 07.08.09 22:34

@ 15: Indy1701e<br /> <br /> In der Realität (=rigged Pokerseiten) hast du natürlich recht ;). Bei unseren Partnerräumen geht aber alles mit rechten Dingen zu!<br /> <br /> könntest Du mir das auf Schallplatte sprechen, damit ich das irgendwann glauben kann? ;-)

#38 Doneit, 07.08.09 22:39

Nachtrag zu #36<br /> wobei da ja steht Straight- oder Flushdraw. Wobei man da noch definieren müsste ab wann man es als Straightdraw wertet, ich nehme mal an, dass in dem Fall nicht nur ein OESD gemeint ist, sondern double belly und OESD , aber kein Gutshot.

#39 MrGfy, 12.08.09 13:01

624 Möglichkeiten für einen Poker (Vierling)??<br /> Ich zähle nur 13...

#40 lslxxl, 20.08.09 13:10

@39:<br /> da vergißt du wohl die 5.karte<br /> du kannst einen vierling ja bspw mit einem pocketpair erhalten, mit nur einer deiner holecards, ohne einer deiner holecards mit kicker einer deiner holecards oder du spielst überhaupt das board<br /> in allen dieser fälle gibt es auf jedenfall immer 12 mögliche kicker in 4 farben <br /> 13 x 12 x 4<br /> =624<br />

#41 000nitram, 12.10.09 11:11

sehr schöner artikel für die mathecracks...<br />

#42 MisterBam, 15.10.09 20:06

Wusste nichmal, dass man da so viele Tabellen machen kann xDD<br /> <br /> Und: die Mathematik is echt krass dahinter, hab da so ne alte Formelsammlung (so ne wirklich alte mit viel drin) und die kommt mir vor wie Dreck wenn ich mir die Rechnungen mal gebe^^

#43 Kanaga, 29.10.09 19:15

also ich habe nachgerechnet und die wahrscheinlichkeit mit QQ kein Ass oder King auf dem Flop zu sehen beträgt demnach ca 66%... und nicht 58%...

#44 caeci, 05.11.09 01:09

Die Muse der Mathematik hat wieder zugeschlagen,hart aber herzlich.

#45 Eishoernchen, 16.11.09 17:30

was mir fehlt ist ja in der Tabelle. Hand am Flop:<br /> Set bzw Drilling, über Turn und River zu Full House ausbauen.<br /> <br /> Sonst super!

#46 Eishoernchen, 16.11.09 17:39

ich hab raus:<br /> <br /> 33,40 <br /> bzw <br /> 1,99:1

#47 currant, 14.12.09 18:14

#46 dein Realname ist wohl "Mathehoernchen", denn es stimmt.<br />

#48 jojojojo89, 27.01.10 17:09

hey ich hab mal eine banale frage und zwar wie errechnen sich die 78suited kombinationen? bzw die 139 mögliche starthände?<br /> vielen dank bin nicht so der mathemensch;)<br /> <br />

#49 jojojojo89, 27.01.10 17:11

ah 13^2=139 die starthände und jetzt bräucht ich noch die suited hände?<br /> danke lg

#50 jojojojo89, 27.01.10 17:42

ok meine überlegung ist falsch^^

#51 jojojojo89, 27.01.10 18:16

ok ich habs suited hands K= (13¦2)*(4¦1) = 312 -> 78<br /> starthände 13^2 ->169

#52 Huckebein, 05.02.10 10:10

@51: War das überhaupt eine Frage und wenn ja, ist sie jetzt geklärt? :)

#53 MarBobley, 27.04.10 20:19

und wo sind die 1/2/3 gapper? schade!

#54 maensen, 13.07.10 05:33

oO also ab seite 2 versteh ich nix mehr :/ <br /> bin einfach ein mathe bob :D

#55 vangelis7, 02.11.10 13:25

hab eine Frage zu 6.Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Hand:<br /> für den Flush werden (1 aus 4) mal (1 aus 10) = 40 im zähler abgezogen. Kann mir jemand bitte erklären wieso das gemacht wird. <br /> danke

#56 Smeagoli, 26.11.10 09:01

Hallo, die zwei Tabellen der Wahrscheinlichkeiten eines höheren Pockets. Wieso eine Tabelle mit genau ein höheres Pocket und eine mit 2+ höhere Pockets, mich interessiert als Pokerspieler doch die Wahrscheinlichkeit von 1+ höhere Pockets.

#57 Smeagoli, 26.11.10 09:03

Hallo,<br /> <br /> wo ist die Tabelle für die Verteilungswahrscheinlichkeit für mindestens ein höheres Pocket.

#58 David, 29.11.10 17:11

@56+57: Hi, der Artikel wird zur Zeit überarbeitet, in der neuen Version werden wir die Tabelle einfügen.

#59 deghos, 27.12.10 16:47

Schöner Artikel, allerdings ein bissle to much für mich XD

#60 Figopolski, 29.09.11 10:52

PDF?

#61 Sommersommer, 23.07.12 09:22

Danke für den Artikel. Wäre schön als pdf.

#62 moeb1us, 31.01.13 20:05

Bin über folgendes gestolpert: Die Wahrscheinlichkeiten für pp overcards am flop zu sehen haben in der Praxis wenig Relevanz. Man könnte das ändern wenn man betrachtet, welche p sich ergeben für mindestens 1 overcard UND man hat _kein_ set (denn habe ich ein set und sehe eine overcard, ist das nicht kacke sondern häufig sogar gut da evtl hit vom villain und payout).<br /> KK .21<br /> QQ .38<br /> JJ .52 <br /> TT .63<br /> 99 .72<br /> 88 .78<br /> 77 .82<br /> 66 .85<br /> 55 .87<br /> 44-22 .88

#63 BambisAces, 06.05.13 11:10

OMG, muss ich die Rechenwege wirklich verstehen/verinnerlichen, wenn ich ein guter Player werden möchte....?!!<br /> wenn ja, kann ich glaube ich heute mein Account löschen.....;)

#64 BigDaddyD666, 26.01.15 16:40

Alles schön und gut, aber wie soll ich so etwas im Eifer des Gefechtes ausrechnen können?<br /> <br /> Ist es empfehlenswert die Tabellen auswendig zu können oder wie geht Ihr damit am Tisch beim spielen um?

#65 DieTreue, 20.04.15 04:47

Das ist mir alles ein wenig zu viel! Besonders wenn ich in einer Hand am Tisch 6max sitze.<br /> Habe gar nicht die Zeit dafür das alles so schnell zu rechnen.

#66 Lichtrebell, 18.09.15 08:21

Es soll also genau so viele Suited Startands wie Offsuited Startands geben?<br /> Wie kann denn das angehen? Das wird doch ein Fehler sein oder?<br /> Das kann ich mir bei 4 Farben beim besten Willen nicht vorstellen.<br /> Das würde doch nur stimmen wenn ich nur rot/schwarz betrachte.<br /> Aber doch nicht bei 4 Farben?<br /> <br /> a) Vorüberlegungen <br /> Anzahl Starthände: 169<br /> Davon:<br /> - Pocket Pairs: 13<br /> - Suited Hands: 78<br /> - Offsuited Hands: 78 (ohne Pockets)

#67 AnAppleADay, 06.03.16 11:45

@66 es gibt zwar 169 Starthandkombinationen, das trifft aber keine Aussage daraus, wieviele Starthände es tatsächlich gibt, das sind nämlich 52*51 / 2 (Reihenfolge ist egal) = 1326<br /> Dabei gibt es von den Pocketpairs je 6 Kombinationen von verschiedenen Farben, von den Suited Hands je 4 und von den Offsuited je 12.<br /> Das macht in deinem Beispiel<br /> 13 * 6<br /> 78 * 4<br /> 78 * 12<br /> Macht in Summe wieder 1326, voila.

#68 AnAppleADay, 06.03.16 11:48

Noch eine andere Frage: Im Chart steht bei Wahrscheinlichkeit mit 2 Karten ungepaarten Karten ein Paar zu treffen am Flop 32.4% und für 2 Paare 2%. Das wäre also eine Wahrscheinlichkeit von 34.4% etwas zu treffen, mit AK zum Beispiel. Weiter vorn bei Wahrscheinlichkeit, dass keine Overcard kommt steht bei QQ jedoch 58,57%, also dass eine Overcard kommt (A oder K) 41.4%. Wie passt das zusammen? Wo kommen die 7% Differenz her?